Theorem decle 9215

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decle.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decle.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decle.4	⊢ 𝐵 ≤ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decle	⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
2		decle.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 8988	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		decle.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	4	nn0rei 8988	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		10nn0 9199	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7		decle.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0mulcli 9015	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
9	8	nn0rei 8988	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℝ
10	3, 5, 9	leadd2i 8266	. . 3 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
11	1, 10	mpbi 144	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
12		dfdec10 9185	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13		dfdec10 9185	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
14	11, 12, 13	3brtr4i 3958	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  0cc0 7620  1c1 7621   + caddc 7623   · cmul 7625   ≤ cle 7801  ℕ₀cn0 8977  ;cdc 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-dec 9183

This theorem is referenced by: (None)