Theorem decle 9481

Description: Comparing two decimal integers (equal higher places). (Contributed by AV, 17-Aug-2021.) (Revised by AV, 8-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
decle.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
decle.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
decle.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
decle.4	⊢ 𝐵 ≤ 𝐶

Assertion

Ref	Expression
decle	⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Proof of Theorem decle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		decle.4	. . 3 ⊢ 𝐵 ≤ 𝐶
2		decle.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	2	nn0rei 9251	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4		decle.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
5	4	nn0rei 9251	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
6		10nn0 9465	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
7		decle.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0mulcli 9278	. . . . 5 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℕ0
9	8	nn0rei 9251	. . . 4 ⊢ (;10 · 𝐴) ∈ ℝ
10	3, 5, 9	leadd2i 8523	. . 3 ⊢ (𝐵 ≤ 𝐶 ↔ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((;10 · 𝐴) + 𝐶))
11	1, 10	mpbi 145	. 2 ⊢ ((;10 · 𝐴) + 𝐵) ≤ ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
12		dfdec10 9451	. 2 ⊢ ;𝐴𝐵 = ((;10 · 𝐴) + 𝐵)
13		dfdec10 9451	. 2 ⊢ ;𝐴𝐶 = ((;10 · 𝐴) + 𝐶)
14	11, 12, 13	3brtr4i 4059	1 ⊢ ;𝐴𝐵 ≤ ;𝐴𝐶

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   ≤ cle 8055  ℕ₀cn0 9240  ;cdc 9448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-dec 9449

This theorem is referenced by: (None)