Theorem declei 9433

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declei.1	|- A e. NN
declei.2	|- B e. NN0
declei.3	|- C e. NN0
declei.4	|- C <_ 9

Assertion

Ref	Expression
declei	|- C <_ ; A B

Proof of Theorem declei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		declei.3	. . 3 |- C e. NN0
2	1	dec0h 9419	. 2 |- C = ; 0 C
3		0nn0 9205	. . 3 |- 0 e. NN0
4		declei.1	. . . 4 |- A e. NN
5	4	nnnn0i 9198	. . 3 |- A e. NN0
6		declei.2	. . 3 |- B e. NN0
7		declei.4	. . 3 |- C <_ 9
8	4	nngt0i 8963	. . 3 |- 0 < A
9	3, 5, 1, 6, 7, 8	decleh 9432	. 2 |- ; 0 C <_ ; A B
10	2, 9	eqbrtri 4036	1 |- C <_ ; A B

Syntax hints:   e. wcel 2158   class class class wbr 4015   0cc0 7825   <_ cle 8007   NNcn 8933   9c9 8991   NN0cn0 9190  ;cdc 9398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-dec 9399

This theorem is referenced by:  cnfldstr  13796