Theorem declei 9217

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by AV, 17-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
declei.1	|- A e. NN
declei.2	|- B e. NN0
declei.3	|- C e. NN0
declei.4	|- C <_ 9

Assertion

Ref	Expression
declei	|- C <_ ; A B

Proof of Theorem declei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		declei.3	. . 3 |- C e. NN0
2	1	dec0h 9203	. 2 |- C = ; 0 C
3		0nn0 8992	. . 3 |- 0 e. NN0
4		declei.1	. . . 4 |- A e. NN
5	4	nnnn0i 8985	. . 3 |- A e. NN0
6		declei.2	. . 3 |- B e. NN0
7		declei.4	. . 3 |- C <_ 9
8	4	nngt0i 8750	. . 3 |- 0 < A
9	3, 5, 1, 6, 7, 8	decleh 9216	. 2 |- ; 0 C <_ ; A B
10	2, 9	eqbrtri 3949	1 |- C <_ ; A B

Syntax hints:   e. wcel 1480   class class class wbr 3929   0cc0 7620   <_ cle 7801   NNcn 8720   9c9 8778   NN0cn0 8977  ;cdc 9182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-dec 9183

This theorem is referenced by: (None)