Theorem numlti 9745

Description: Comparing a digit to a decimal integer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlti.1	|- T e. NN
numlti.2	|- A e. NN
numlti.3	|- B e. NN0
numlti.4	|- C e. NN0
numlti.5	|- C < T

Assertion

Ref	Expression
numlti	|- C < ( ( T x. A ) + B )

Proof of Theorem numlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlti.1	. . . 4 |- T e. NN
2	1	nnnn0i 9504	. . 3 |- T e. NN0
3		numlti.4	. . 3 |- C e. NN0
4	2, 3	num0h 9720	. 2 |- C = ( ( T x. 0 ) + C )
5		0nn0 9511	. . 3 |- 0 e. NN0
6		numlti.2	. . . 4 |- A e. NN
7	6	nnnn0i 9504	. . 3 |- A e. NN0
8		numlti.3	. . 3 |- B e. NN0
9		numlti.5	. . 3 |- C < T
10	6	nngt0i 9267	. . 3 |- 0 < A
11	1, 5, 7, 3, 8, 9, 10	numltc 9734	. 2 |- ( ( T x. 0 ) + C ) < ( ( T x. A ) + B )
12	4, 11	eqbrtri 4130	1 |- C < ( ( T x. A ) + B )

Syntax hints:   e. wcel 2203   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   0cc0 8127   + caddc 8130   x. cmul 8132   < clt 8308   NNcn 9237   NN0cn0 9496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578

This theorem is referenced by:  declti  9746  dec5nprm  13112  dec2nprm  13113