Theorem distnq0r 7673

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7669 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distnq0r	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Proof of Theorem distnq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrnq0 7669	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
2		addclnq0 7661	. . . 4 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( B +Q0 C ) e. Q0 )
3		mulcomnq0 7670	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B +Q0 C ) e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
4	2, 3	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
5	4	3impb 1223	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
6		mulcomnq0 7670	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
7	6	3adant3 1041	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
8		mulcomnq0 7670	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
9	8	3adant2 1040	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
10	7, 9	oveq12d 6031	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )
11	1, 5, 10	3eqtr3d 2270	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200  (class class class)co 6013  Q₀cnq0 7497   +_Q0 cplq0 7499   ·_Q0 cmq0 7500

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-er 6697  df-ec 6699  df-qs 6703  df-ni 7514  df-mi 7516  df-enq0 7634  df-nq0 7635  df-plq0 7637  df-mq0 7638

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7712