Theorem distnq0r 7575

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7571 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distnq0r	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Proof of Theorem distnq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrnq0 7571	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
2		addclnq0 7563	. . . 4 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( B +Q0 C ) e. Q0 )
3		mulcomnq0 7572	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B +Q0 C ) e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
4	2, 3	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
5	4	3impb 1201	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
6		mulcomnq0 7572	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
7	6	3adant3 1019	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
8		mulcomnq0 7572	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
9	8	3adant2 1018	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
10	7, 9	oveq12d 5961	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )
11	1, 5, 10	3eqtr3d 2245	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175  (class class class)co 5943  Q₀cnq0 7399   +_Q0 cplq0 7401   ·_Q0 cmq0 7402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-oadd 6505  df-omul 6506  df-er 6619  df-ec 6621  df-qs 6625  df-ni 7416  df-mi 7418  df-enq0 7536  df-nq0 7537  df-plq0 7539  df-mq0 7540

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7614