Theorem distnq0r 7461

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7457 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distnq0r	|- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Proof of Theorem distnq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrnq0 7457	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) )
2		addclnq0 7449	. . . 4 |- ( ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( B +Q0 C ) e. Q0 )
3		mulcomnq0 7458	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B +Q0 C ) e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
4	2, 3	sylan2 286	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ ( B e. Q0 /\ C e. Q0 ) ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
5	4	3impb 1199	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 ( B +Q0 C ) ) = ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) )
6		mulcomnq0 7458	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
7	6	3adant3 1017	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 B ) = ( B ·Q0 A ) )
8		mulcomnq0 7458	. . . 4 |- ( ( A e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
9	8	3adant2 1016	. . 3 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( A ·Q0 C ) = ( C ·Q0 A ) )
10	7, 9	oveq12d 5892	. 2 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( A ·Q0 B ) +Q0 ( A ·Q0 C ) ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )
11	1, 5, 10	3eqtr3d 2218	1 |- ( ( A e. Q0 /\ B e. Q0 /\ C e. Q0 ) -> ( ( B +Q0 C ) ·Q0 A ) = ( ( B ·Q0 A ) +Q0 ( C ·Q0 A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148  (class class class)co 5874  Q₀cnq0 7285   +_Q0 cplq0 7287   ·_Q0 cmq0 7288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-mi 7304  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-plq0 7425  df-mq0 7426

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7500