ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distnq0r Unicode version

Theorem distnq0r 7464
Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7460 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distnq0r  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( ( B +Q0  C ) ·Q0  A )  =  ( ( B ·Q0  A ) +Q0  ( C ·Q0 
A ) ) )

Proof of Theorem distnq0r
StepHypRef Expression
1 distrnq0 7460 . 2  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( A ·Q0 
B ) +Q0  ( A ·Q0 
C ) ) )
2 addclnq0 7452 . . . 4  |-  ( ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( B +Q0  C )  e. Q0 )
3 mulcomnq0 7461 . . . 4  |-  ( ( A  e. Q0  /\  ( B +Q0  C )  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( B +Q0  C ) ·Q0 
A ) )
42, 3sylan2 286 . . 3  |-  ( ( A  e. Q0  /\  ( B  e. Q0  /\  C  e. Q0 ) )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( B +Q0  C ) ·Q0 
A ) )
543impb 1199 . 2  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  ( B +Q0  C
) )  =  ( ( B +Q0  C ) ·Q0 
A ) )
6 mulcomnq0 7461 . . . 4  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )
763adant3 1017 . . 3  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  B )  =  ( B ·Q0 
A ) )
8 mulcomnq0 7461 . . . 4  |-  ( ( A  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  C )  =  ( C ·Q0 
A ) )
983adant2 1016 . . 3  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( A ·Q0  C )  =  ( C ·Q0 
A ) )
107, 9oveq12d 5895 . 2  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( ( A ·Q0  B
) +Q0  ( A ·Q0 
C ) )  =  ( ( B ·Q0 
A ) +Q0  ( C ·Q0 
A ) ) )
111, 5, 103eqtr3d 2218 1  |-  ( ( A  e. Q0  /\  B  e. Q0  /\  C  e. Q0 )  ->  ( ( B +Q0  C ) ·Q0  A )  =  ( ( B ·Q0  A ) +Q0  ( C ·Q0 
A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148  (class class class)co 5877  Q0cnq0 7288   +Q0 cplq0 7290   ·Q0 cmq0 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-mi 7307  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-plq0 7428  df-mq0 7429
This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7503
  Copyright terms: Public domain W3C validator