Theorem distnq0r 7618

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. Version of distrnq0 7614 with the multiplications commuted. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distnq0r	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴) = ((𝐵 ·Q0 𝐴) +Q0 (𝐶 ·Q0 𝐴)))

Proof of Theorem distnq0r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distrnq0 7614	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))
2		addclnq0 7606	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐵 +Q0 𝐶) ∈ Q0)
3		mulcomnq0 7615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ (𝐵 +Q0 𝐶) ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴))
4	2, 3	sylan2 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ (𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0)) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴))
5	4	3impb 1204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴))
6		mulcomnq0 7615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
7	6	3adant3 1022	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
8		mulcomnq0 7615	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 𝐴))
9	8	3adant2 1021	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐶) = (𝐶 ·Q0 𝐴))
10	7, 9	oveq12d 5992	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)) = ((𝐵 ·Q0 𝐴) +Q0 (𝐶 ·Q0 𝐴)))
11	1, 5, 10	3eqtr3d 2250	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐵 +Q0 𝐶) ·Q0 𝐴) = ((𝐵 ·Q0 𝐴) +Q0 (𝐶 ·Q0 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 983   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  (class class class)co 5974  Q₀cnq0 7442   +_Q0 cplq0 7444   ·_Q0 cmq0 7445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-nul 4189  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-iinf 4657

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 839  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-tr 4162  df-id 4361  df-iord 4434  df-on 4436  df-suc 4439  df-iom 4660  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-1st 6256  df-2nd 6257  df-recs 6421  df-irdg 6486  df-oadd 6536  df-omul 6537  df-er 6650  df-ec 6652  df-qs 6656  df-ni 7459  df-mi 7461  df-enq0 7579  df-nq0 7580  df-plq0 7582  df-mq0 7583

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7657