Theorem distps 12885

Description: The discrete topology on a set A expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
distps.a	|- A e. _V
distps.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , ~P A >. }

Assertion

Ref	Expression
distps	|- K e. TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distps.k	. 2 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , ~P A >. }
2		unipw 4202	. . 3 |- U. ~P A = A
3	2	eqcomi 2174	. 2 |- A = U. ~P A
4		distps.a	. . 3 |- A e. _V
5		distop 12879	. . 3 |- ( A e. _V -> ~P A e. Top )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ~P A e. Top
7	1, 3, 6	eltpsi 12833	1 |- K e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   ~Pcpw 3566   {cpr 3584   <.cop 3586   U.cuni 3796   ` cfv 5198   ndxcnx 12413   Basecbs 12416  TopSetcts 12486   Topctop 12789   TopSpctps 12822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-ltxr 7959  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-tset 12499  df-rest 12581  df-topn 12582  df-top 12790  df-topon 12803  df-topsp 12823

This theorem is referenced by: (None)