Theorem distps 12260

Description: The discrete topology on a set A expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
distps.a	|- A e. _V
distps.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , ~P A >. }

Assertion

Ref	Expression
distps	|- K e. TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distps.k	. 2 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , ~P A >. }
2		unipw 4139	. . 3 |- U. ~P A = A
3	2	eqcomi 2143	. 2 |- A = U. ~P A
4		distps.a	. . 3 |- A e. _V
5		distop 12254	. . 3 |- ( A e. _V -> ~P A e. Top )
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 |- ~P A e. Top
7	1, 3, 6	eltpsi 12208	1 |- K e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1331   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   ~Pcpw 3510   {cpr 3528   <.cop 3530   U.cuni 3736   ` cfv 5123   ndxcnx 11956   Basecbs 11959  TopSetcts 12027   Topctop 12164   TopSpctps 12197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-ltxr 7805  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-base 11965  df-tset 12040  df-rest 12122  df-topn 12123  df-top 12165  df-topon 12178  df-topsp 12198

This theorem is referenced by: (None)