Theorem distps 15192

Description: The discrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
distps.a	⊢ 𝐴 ∈ V
distps.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}

Assertion

Ref	Expression
distps	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distps.k	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}
2		unipw 4357	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2242	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		distps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		distop 15186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝒫 𝐴 ∈ Top
7	1, 3, 6	eltpsi 15142	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  𝒫 cpw 3688  {cpr 3710  ⟨cop 3712  ∪ cuni 3935  ‘cfv 5377  ndxcnx 13349  Basecbs 13352  TopSetcts 13437  Topctop 15098  TopSpctps 15131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-tset 13450  df-rest 13595  df-topn 13596  df-top 15099  df-topon 15112  df-topsp 15132

This theorem is used by: (None)