Theorem distps 12451

Description: The discrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
distps.a	⊢ 𝐴 ∈ V
distps.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}

Assertion

Ref	Expression
distps	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distps.k	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}
2		unipw 4176	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2161	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		distps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		distop 12445	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝒫 𝐴 ∈ Top
7	1, 3, 6	eltpsi 12399	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712  𝒫 cpw 3543  {cpr 3561  ⟨cop 3563  ∪ cuni 3772  ‘cfv 5167  ndxcnx 12147  Basecbs 12150  TopSetcts 12218  Topctop 12355  TopSpctps 12388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-ltadd 7831

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-ltxr 7900  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-5 8878  df-6 8879  df-7 8880  df-8 8881  df-9 8882  df-ndx 12153  df-slot 12154  df-base 12156  df-tset 12231  df-rest 12313  df-topn 12314  df-top 12356  df-topon 12369  df-topsp 12389

This theorem is referenced by: (None)