Theorem distps 12731

Description: The discrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space. (Contributed by FL, 20-Aug-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
distps.a	⊢ 𝐴 ∈ V
distps.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}

Assertion

Ref	Expression
distps	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem distps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		distps.k	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝒫 𝐴⟩}
2		unipw 4195	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝐴 = 𝐴
3	2	eqcomi 2169	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝒫 𝐴
4		distps.a	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
5		distop 12725	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ Top)
6	4, 5	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝒫 𝐴 ∈ Top
7	1, 3, 6	eltpsi 12679	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726  𝒫 cpw 3559  {cpr 3577  ⟨cop 3579  ∪ cuni 3789  ‘cfv 5188  ndxcnx 12391  Basecbs 12394  TopSetcts 12463  Topctop 12635  TopSpctps 12668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-ltxr 7938  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-base 12400  df-tset 12476  df-rest 12558  df-topn 12559  df-top 12636  df-topon 12649  df-topsp 12669

This theorem is referenced by: (None)