Theorem eltpsi 14730

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
eltpsi.u	|- A = U. J
eltpsi.j	|- J e. Top

Assertion

Ref	Expression
eltpsi	|- K e. TopSp

Proof of Theorem eltpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpsi.j	. . 3 |- J e. Top
2		eltpsi.u	. . . 4 |- A = U. J
3	2	toptopon 14707	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` A ) )
4	1, 3	mpbi 145	. 2 |- J e. (TopOn ` A )
5		eltpsi.k	. . 3 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
6	5	eltpsg 14729	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- K e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   {cpr 3667   <.cop 3669   U.cuni 3888   ` cfv 5318   ndxcnx 13044   Basecbs 13047  TopSetcts 13131   Topctop 14686  TopOnctopon 14699   TopSpctps 14719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-tset 13144  df-rest 13289  df-topn 13290  df-top 14687  df-topon 14700  df-topsp 14720

This theorem is referenced by:  distps  14780  retps  15216