Theorem eltpsi 12247

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltpsi.k	|- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
eltpsi.u	|- A = U. J
eltpsi.j	|- J e. Top

Assertion

Ref	Expression
eltpsi	|- K e. TopSp

Proof of Theorem eltpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpsi.j	. . 3 |- J e. Top
2		eltpsi.u	. . . 4 |- A = U. J
3	2	toptopon 12224	. . 3 |- ( J e. Top <-> J e. (TopOn ` A ) )
4	1, 3	mpbi 144	. 2 |- J e. (TopOn ` A )
5		eltpsi.k	. . 3 |- K = { <. ( Base ` ndx ) , A >. , <. (TopSet ` ndx ) , J >. }
6	5	eltpsg 12246	. 2 |- ( J e. (TopOn ` A ) -> K e. TopSp )
7	4, 6	ax-mp 5	1 |- K e. TopSp

Syntax hints:   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cpr 3533   <.cop 3535   U.cuni 3744   ` cfv 5131   ndxcnx 11995   Basecbs 11998  TopSetcts 12066   Topctop 12203  TopOnctopon 12216   TopSpctps 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-ltxr 7829  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-9 8810  df-ndx 12001  df-slot 12002  df-base 12004  df-tset 12079  df-rest 12161  df-topn 12162  df-top 12204  df-topon 12217  df-topsp 12237

This theorem is referenced by:  distps  12299  retps  12735