Theorem zmulcld 9591

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9516	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6010   x. cmul 8020   ZZcz 9462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463

This theorem is referenced by:  qapne  9851  qtri3or  10477  2tnp1ge0ge0  10538  flhalf  10539  intfracq  10559  zmodcl  10583  modqmul1  10616  addmodlteq  10637  sqoddm1div8  10932  eirraplem  12309  dvdscmulr  12352  dvdsmulcr  12353  modmulconst  12355  dvds2ln  12356  dvdsmod  12394  3dvds  12396  even2n  12406  2tp1odd  12416  ltoddhalfle  12425  m1expo  12432  m1exp1  12433  divalglemqt  12451  modremain  12461  flodddiv4  12468  bits0e  12481  bits0o  12482  bitsp1e  12484  bitsp1o  12485  bitsmod  12488  bitscmp  12490  bitsinv1lem  12493  gcdaddm  12526  gcdmultipled  12535  bezoutlemnewy  12538  bezoutlemstep  12539  bezoutlembi  12547  mulgcd  12558  dvdsmulgcd  12567  bezoutr  12574  lcmval  12606  lcmcllem  12610  lcmgcdlem  12620  mulgcddvds  12637  rpmulgcd2  12638  divgcdcoprm0  12644  cncongr1  12646  cncongr2  12647  prmind2  12663  exprmfct  12681  2sqpwodd  12719  hashdvds  12764  phimullem  12768  eulerthlem1  12770  eulerthlema  12773  eulerthlemh  12774  eulerthlemth  12775  prmdiv  12778  prmdiveq  12779  pythagtriplem2  12810  pythagtrip  12827  pcpremul  12837  pcqmul  12847  pcaddlem  12883  prmpwdvds  12899  4sqlem5  12926  4sqlem10  12931  4sqlem14  12948  oddennn  12984  mulgass  13717  mulgmodid  13719  znunit  14644  znrrg  14645  mpodvdsmulf1o  15685  lgsval  15704  lgsdir2lem5  15732  lgsdirprm  15734  lgsdir  15735  lgsdilem2  15736  lgsdi  15737  lgsne0  15738  gausslemma2dlem1a  15758  gausslemma2dlem1cl  15759  gausslemma2dlem1f1o  15760  gausslemma2dlem2  15762  gausslemma2dlem3  15763  gausslemma2dlem4  15764  gausslemma2dlem5a  15765  gausslemma2dlem5  15766  gausslemma2dlem6  15767  gausslemma2dlem7  15768  gausslemma2d  15769  lgseisenlem1  15770  lgseisenlem2  15771  lgseisenlem3  15772  lgseisenlem4  15773  lgseisen  15774  lgsquadlem1  15777  lgsquad2lem1  15781  lgsquad3  15784  2lgslem1a1  15786  2lgslem1a2  15787  2lgslem1b  15789  2lgslem3b1  15798  2lgslem3c1  15799  2lgsoddprmlem2  15806  2sqlem3  15817  2sqlem4  15818