Theorem zmulcld 9774

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9698	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   x. cmul 8184   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  qapne  10039  qtri3or  10675  2tnp1ge0ge0  10736  flhalf  10737  intfracq  10757  zmodcl  10781  modqmul1  10814  addmodlteq  10835  sqoddm1div8  11131  eirraplem  12544  dvdscmulr  12587  dvdsmulcr  12588  modmulconst  12590  dvds2ln  12591  dvdsmod  12629  3dvds  12631  even2n  12641  2tp1odd  12651  ltoddhalfle  12660  m1expo  12667  m1exp1  12668  divalglemqt  12686  modremain  12696  flodddiv4  12703  bits0e  12716  bits0o  12717  bitsp1e  12719  bitsp1o  12720  bitsmod  12723  bitscmp  12725  bitsinv1lem  12728  gcdaddm  12761  gcdmultipled  12770  bezoutlemnewy  12773  bezoutlemstep  12774  bezoutlembi  12782  mulgcd  12793  dvdsmulgcd  12802  bezoutr  12809  lcmval  12841  lcmcllem  12845  lcmgcdlem  12855  mulgcddvds  12872  rpmulgcd2  12873  divgcdcoprm0  12879  cncongr1  12881  cncongr2  12882  prmind2  12898  exprmfct  12916  2sqpwodd  12954  hashdvds  12999  phimullem  13003  eulerthlem1  13005  eulerthlema  13008  eulerthlemh  13009  eulerthlemth  13010  prmdiv  13013  prmdiveq  13014  pythagtriplem2  13045  pythagtrip  13062  pcpremul  13072  pcqmul  13082  pcaddlem  13118  prmpwdvds  13134  4sqlem5  13161  4sqlem10  13166  4sqlem14  13183  oddennn  13283  mulgass  13962  mulgmodid  13964  znunit  14994  znrrg  14995  mpodvdsmulf1o  16104  lgsval  16123  lgsdir2lem5  16151  lgsdirprm  16153  lgsdir  16154  lgsdilem2  16155  lgsdi  16156  lgsne0  16157  gausslemma2dlem1a  16177  gausslemma2dlem1cl  16178  gausslemma2dlem1f1o  16179  gausslemma2dlem2  16181  gausslemma2dlem3  16182  gausslemma2dlem4  16183  gausslemma2dlem5a  16184  gausslemma2dlem5  16185  gausslemma2dlem6  16186  gausslemma2dlem7  16187  gausslemma2d  16188  lgseisenlem1  16189  lgseisenlem2  16190  lgseisenlem3  16191  lgseisenlem4  16192  lgseisen  16193  lgsquadlem1  16196  lgsquad2lem1  16200  lgsquad3  16203  2lgslem1a1  16205  2lgslem1a2  16206  2lgslem1b  16208  2lgslem3b1  16217  2lgslem3c1  16218  2lgsoddprmlem2  16225  2sqlem3  16236  2sqlem4  16237