Theorem zmulcld 9471

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9396	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5925   x. cmul 7901   ZZcz 9343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-n0 9267  df-z 9344

This theorem is referenced by:  qapne  9730  qtri3or  10347  2tnp1ge0ge0  10408  flhalf  10409  intfracq  10429  zmodcl  10453  modqmul1  10486  addmodlteq  10507  sqoddm1div8  10802  eirraplem  11959  dvdscmulr  12002  dvdsmulcr  12003  modmulconst  12005  dvds2ln  12006  dvdsmod  12044  3dvds  12046  even2n  12056  2tp1odd  12066  ltoddhalfle  12075  m1expo  12082  m1exp1  12083  divalglemqt  12101  modremain  12111  flodddiv4  12118  bits0e  12131  bits0o  12132  bitsp1e  12134  bitsp1o  12135  bitsmod  12138  bitscmp  12140  bitsinv1lem  12143  gcdaddm  12176  gcdmultipled  12185  bezoutlemnewy  12188  bezoutlemstep  12189  bezoutlembi  12197  mulgcd  12208  dvdsmulgcd  12217  bezoutr  12224  lcmval  12256  lcmcllem  12260  lcmgcdlem  12270  mulgcddvds  12287  rpmulgcd2  12288  divgcdcoprm0  12294  cncongr1  12296  cncongr2  12297  prmind2  12313  exprmfct  12331  2sqpwodd  12369  hashdvds  12414  phimullem  12418  eulerthlem1  12420  eulerthlema  12423  eulerthlemh  12424  eulerthlemth  12425  prmdiv  12428  prmdiveq  12429  pythagtriplem2  12460  pythagtrip  12477  pcpremul  12487  pcqmul  12497  pcaddlem  12533  prmpwdvds  12549  4sqlem5  12576  4sqlem10  12581  4sqlem14  12598  oddennn  12634  mulgass  13365  mulgmodid  13367  znunit  14291  znrrg  14292  mpodvdsmulf1o  15310  lgsval  15329  lgsdir2lem5  15357  lgsdirprm  15359  lgsdir  15360  lgsdilem2  15361  lgsdi  15362  lgsne0  15363  gausslemma2dlem1a  15383  gausslemma2dlem1cl  15384  gausslemma2dlem1f1o  15385  gausslemma2dlem2  15387  gausslemma2dlem3  15388  gausslemma2dlem4  15389  gausslemma2dlem5a  15390  gausslemma2dlem5  15391  gausslemma2dlem6  15392  gausslemma2dlem7  15393  gausslemma2d  15394  lgseisenlem1  15395  lgseisenlem2  15396  lgseisenlem3  15397  lgseisenlem4  15398  lgseisen  15399  lgsquadlem1  15402  lgsquad2lem1  15406  lgsquad3  15409  2lgslem1a1  15411  2lgslem1a2  15412  2lgslem1b  15414  2lgslem3b1  15423  2lgslem3c1  15424  2lgsoddprmlem2  15431  2sqlem3  15442  2sqlem4  15443