Theorem zmulcld 9784

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9707	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   x. cmul 8190   ZZcz 9653

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9654

This theorem is used by:  qapne  10054  qtri3or  10691  2tnp1ge0ge0  10756  flhalf  10757  intfracq  10777  zmodcl  10801  modqmul1  10834  addmodlteq  10855  sqoddm1div8  11151  eirraplem  12568  dvdscmulr  12611  dvdsmulcr  12612  modmulconst  12614  dvds2ln  12615  dvdsmod  12653  3dvds  12655  even2n  12665  2tp1odd  12675  ltoddhalfle  12684  m1expo  12691  m1exp1  12692  divalglemqt  12710  modremain  12720  flodddiv4  12727  bits0e  12740  bits0o  12741  bitsp1e  12743  bitsp1o  12744  bitsmod  12747  bitscmp  12749  bitsinv1lem  12752  gcdaddm  12785  gcdmultipled  12794  bezoutlemnewy  12797  bezoutlemstep  12798  bezoutlembi  12806  mulgcd  12817  dvdsmulgcd  12826  bezoutr  12833  lcmval  12865  lcmcllem  12869  lcmgcdlem  12879  mulgcddvds  12896  rpmulgcd2  12897  divgcdcoprm0  12903  cncongr1  12905  cncongr2  12906  prmind2  12922  exprmfct  12941  2sqpwodd  12980  hashdvds  13027  phimullem  13031  eulerthlem1  13033  eulerthlema  13036  eulerthlemh  13037  eulerthlemth  13038  prmdiv  13041  prmdiveq  13042  pythagtriplem2  13073  pythagtrip  13090  pcpremul  13100  pcqmul  13110  pcaddlem  13146  prmpwdvds  13162  4sqlem5  13189  4sqlem10  13194  4sqlem14  13211  oddennn  13340  mulgass  14020  mulgmodid  14022  znunit  15102  znrrg  15103  mpodvdsmulf1o  16301  bposlem1  16328  bpos  16337  lgsval  16345  lgsdir2lem5  16373  lgsdirprm  16375  lgsdir  16376  lgsdilem2  16377  lgsdi  16378  lgsne0  16379  gausslemma2dlem1a  16399  gausslemma2dlem1cl  16400  gausslemma2dlem1f1o  16401  gausslemma2dlem2  16403  gausslemma2dlem3  16404  gausslemma2dlem4  16405  gausslemma2dlem5a  16406  gausslemma2dlem5  16407  gausslemma2dlem6  16408  gausslemma2dlem7  16409  gausslemma2d  16410  lgseisenlem1  16411  lgseisenlem2  16412  lgseisenlem3  16413  lgseisenlem4  16414  lgseisen  16415  lgsquadlem1  16418  lgsquad2lem1  16422  lgsquad3  16425  2lgslem1a1  16427  2lgslem1a2  16428  2lgslem1b  16430  2lgslem3b1  16439  2lgslem3c1  16440  2lgsoddprmlem2  16447  2sqlem3  16458  2sqlem4  16459