Theorem zmulcld 9778

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9702	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6085   x. cmul 8184   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  qapne  10048  qtri3or  10685  2tnp1ge0ge0  10749  flhalf  10750  intfracq  10770  zmodcl  10794  modqmul1  10827  addmodlteq  10848  sqoddm1div8  11144  eirraplem  12560  dvdscmulr  12603  dvdsmulcr  12604  modmulconst  12606  dvds2ln  12607  dvdsmod  12645  3dvds  12647  even2n  12657  2tp1odd  12667  ltoddhalfle  12676  m1expo  12683  m1exp1  12684  divalglemqt  12702  modremain  12712  flodddiv4  12719  bits0e  12732  bits0o  12733  bitsp1e  12735  bitsp1o  12736  bitsmod  12739  bitscmp  12741  bitsinv1lem  12744  gcdaddm  12777  gcdmultipled  12786  bezoutlemnewy  12789  bezoutlemstep  12790  bezoutlembi  12798  mulgcd  12809  dvdsmulgcd  12818  bezoutr  12825  lcmval  12857  lcmcllem  12861  lcmgcdlem  12871  mulgcddvds  12888  rpmulgcd2  12889  divgcdcoprm0  12895  cncongr1  12897  cncongr2  12898  prmind2  12914  exprmfct  12933  2sqpwodd  12972  hashdvds  13019  phimullem  13023  eulerthlem1  13025  eulerthlema  13028  eulerthlemh  13029  eulerthlemth  13030  prmdiv  13033  prmdiveq  13034  pythagtriplem2  13065  pythagtrip  13082  pcpremul  13092  pcqmul  13102  pcaddlem  13138  prmpwdvds  13154  4sqlem5  13181  4sqlem10  13186  4sqlem14  13203  oddennn  13332  mulgass  14011  mulgmodid  14013  znunit  15043  znrrg  15044  mpodvdsmulf1o  16185  bposlem1  16209  lgsval  16221  lgsdir2lem5  16249  lgsdirprm  16251  lgsdir  16252  lgsdilem2  16253  lgsdi  16254  lgsne0  16255  gausslemma2dlem1a  16275  gausslemma2dlem1cl  16276  gausslemma2dlem1f1o  16277  gausslemma2dlem2  16279  gausslemma2dlem3  16280  gausslemma2dlem4  16281  gausslemma2dlem5a  16282  gausslemma2dlem5  16283  gausslemma2dlem6  16284  gausslemma2dlem7  16285  gausslemma2d  16286  lgseisenlem1  16287  lgseisenlem2  16288  lgseisenlem3  16289  lgseisenlem4  16290  lgseisen  16291  lgsquadlem1  16294  lgsquad2lem1  16298  lgsquad3  16301  2lgslem1a1  16303  2lgslem1a2  16304  2lgslem1b  16306  2lgslem3b1  16315  2lgslem3c1  16316  2lgsoddprmlem2  16323  2sqlem3  16334  2sqlem4  16335