ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zmulcld Unicode version

Theorem zmulcld 9130
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 9058 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 406 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1463  (class class class)co 5740    x. cmul 7589   ZZcz 9005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006
This theorem is referenced by:  qapne  9380  qtri3or  9960  2tnp1ge0ge0  10014  flhalf  10015  intfracq  10033  zmodcl  10057  modqmul1  10090  addmodlteq  10111  sqoddm1div8  10384  eirraplem  11379  dvdscmulr  11418  dvdsmulcr  11419  modmulconst  11421  dvds2ln  11422  dvdsmod  11456  even2n  11467  2tp1odd  11477  ltoddhalfle  11486  m1expo  11493  m1exp1  11494  divalglemqt  11512  modremain  11522  flodddiv4  11527  gcdaddm  11568  gcdmultipled  11577  bezoutlemnewy  11580  bezoutlemstep  11581  bezoutlembi  11589  mulgcd  11600  dvdsmulgcd  11609  bezoutr  11616  lcmval  11640  lcmcllem  11644  lcmgcdlem  11654  mulgcddvds  11671  rpmulgcd2  11672  divgcdcoprm0  11678  cncongr1  11680  cncongr2  11681  prmind2  11697  exprmfct  11714  2sqpwodd  11749  hashdvds  11792  phimullem  11796  oddennn  11800
  Copyright terms: Public domain W3C validator