Theorem zmulcld 9785

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9709	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   x. cmul 8190   ZZcz 9655

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-n0 9575  df-z 9656

This theorem is used by:  qapne  10055  qtri3or  10692  2tnp1ge0ge0  10757  flhalf  10758  intfracq  10778  zmodcl  10802  modqmul1  10835  addmodlteq  10856  sqoddm1div8  11152  eirraplem  12569  dvdscmulr  12612  dvdsmulcr  12613  modmulconst  12615  dvds2ln  12616  dvdsmod  12654  3dvds  12656  even2n  12666  2tp1odd  12676  ltoddhalfle  12685  m1expo  12692  m1exp1  12693  divalglemqt  12711  modremain  12721  flodddiv4  12728  bits0e  12741  bits0o  12742  bitsp1e  12744  bitsp1o  12745  bitsmod  12748  bitscmp  12750  bitsinv1lem  12753  gcdaddm  12786  gcdmultipled  12795  bezoutlemnewy  12798  bezoutlemstep  12799  bezoutlembi  12807  mulgcd  12818  dvdsmulgcd  12827  bezoutr  12834  lcmval  12866  lcmcllem  12870  lcmgcdlem  12880  mulgcddvds  12897  rpmulgcd2  12898  divgcdcoprm0  12904  cncongr1  12906  cncongr2  12907  prmind2  12923  exprmfct  12942  2sqpwodd  12981  hashdvds  13028  phimullem  13032  eulerthlem1  13034  eulerthlema  13037  eulerthlemh  13038  eulerthlemth  13039  prmdiv  13042  prmdiveq  13043  pythagtriplem2  13074  pythagtrip  13091  pcpremul  13101  pcqmul  13111  pcaddlem  13147  prmpwdvds  13163  4sqlem5  13190  4sqlem10  13195  4sqlem14  13212  oddennn  13341  mulgass  14021  mulgmodid  14023  znunit  15103  znrrg  15104  mpodvdsmulf1o  16284  bposlem1  16311  bpos  16320  lgsval  16328  lgsdir2lem5  16356  lgsdirprm  16358  lgsdir  16359  lgsdilem2  16360  lgsdi  16361  lgsne0  16362  gausslemma2dlem1a  16382  gausslemma2dlem1cl  16383  gausslemma2dlem1f1o  16384  gausslemma2dlem2  16386  gausslemma2dlem3  16387  gausslemma2dlem4  16388  gausslemma2dlem5a  16389  gausslemma2dlem5  16390  gausslemma2dlem6  16391  gausslemma2dlem7  16392  gausslemma2d  16393  lgseisenlem1  16394  lgseisenlem2  16395  lgseisenlem3  16396  lgseisenlem4  16397  lgseisen  16398  lgsquadlem1  16401  lgsquad2lem1  16405  lgsquad3  16408  2lgslem1a1  16410  2lgslem1a2  16411  2lgslem1b  16413  2lgslem3b1  16422  2lgslem3c1  16423  2lgsoddprmlem2  16430  2sqlem3  16441  2sqlem4  16442