Theorem zmulcld 9203

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9131	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1481  (class class class)co 5782   x. cmul 7649   ZZcz 9078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079

This theorem is referenced by:  qapne  9458  qtri3or  10051  2tnp1ge0ge0  10105  flhalf  10106  intfracq  10124  zmodcl  10148  modqmul1  10181  addmodlteq  10202  sqoddm1div8  10475  eirraplem  11519  dvdscmulr  11558  dvdsmulcr  11559  modmulconst  11561  dvds2ln  11562  dvdsmod  11596  even2n  11607  2tp1odd  11617  ltoddhalfle  11626  m1expo  11633  m1exp1  11634  divalglemqt  11652  modremain  11662  flodddiv4  11667  gcdaddm  11708  gcdmultipled  11717  bezoutlemnewy  11720  bezoutlemstep  11721  bezoutlembi  11729  mulgcd  11740  dvdsmulgcd  11749  bezoutr  11756  lcmval  11780  lcmcllem  11784  lcmgcdlem  11794  mulgcddvds  11811  rpmulgcd2  11812  divgcdcoprm0  11818  cncongr1  11820  cncongr2  11821  prmind2  11837  exprmfct  11854  2sqpwodd  11890  hashdvds  11933  phimullem  11937  oddennn  11941