ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  zmulcld Unicode version

Theorem zmulcld 9137
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 9065 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 408 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1465  (class class class)co 5742    x. cmul 7593   ZZcz 9012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013
This theorem is referenced by:  qapne  9387  qtri3or  9975  2tnp1ge0ge0  10029  flhalf  10030  intfracq  10048  zmodcl  10072  modqmul1  10105  addmodlteq  10126  sqoddm1div8  10399  eirraplem  11395  dvdscmulr  11434  dvdsmulcr  11435  modmulconst  11437  dvds2ln  11438  dvdsmod  11472  even2n  11483  2tp1odd  11493  ltoddhalfle  11502  m1expo  11509  m1exp1  11510  divalglemqt  11528  modremain  11538  flodddiv4  11543  gcdaddm  11584  gcdmultipled  11593  bezoutlemnewy  11596  bezoutlemstep  11597  bezoutlembi  11605  mulgcd  11616  dvdsmulgcd  11625  bezoutr  11632  lcmval  11656  lcmcllem  11660  lcmgcdlem  11670  mulgcddvds  11687  rpmulgcd2  11688  divgcdcoprm0  11694  cncongr1  11696  cncongr2  11697  prmind2  11713  exprmfct  11730  2sqpwodd  11765  hashdvds  11808  phimullem  11812  oddennn  11816
  Copyright terms: Public domain W3C validator