Theorem zmulcld 9503

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9428	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   x. cmul 7932   ZZcz 9374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-n0 9298  df-z 9375

This theorem is referenced by:  qapne  9762  qtri3or  10385  2tnp1ge0ge0  10446  flhalf  10447  intfracq  10467  zmodcl  10491  modqmul1  10524  addmodlteq  10545  sqoddm1div8  10840  eirraplem  12121  dvdscmulr  12164  dvdsmulcr  12165  modmulconst  12167  dvds2ln  12168  dvdsmod  12206  3dvds  12208  even2n  12218  2tp1odd  12228  ltoddhalfle  12237  m1expo  12244  m1exp1  12245  divalglemqt  12263  modremain  12273  flodddiv4  12280  bits0e  12293  bits0o  12294  bitsp1e  12296  bitsp1o  12297  bitsmod  12300  bitscmp  12302  bitsinv1lem  12305  gcdaddm  12338  gcdmultipled  12347  bezoutlemnewy  12350  bezoutlemstep  12351  bezoutlembi  12359  mulgcd  12370  dvdsmulgcd  12379  bezoutr  12386  lcmval  12418  lcmcllem  12422  lcmgcdlem  12432  mulgcddvds  12449  rpmulgcd2  12450  divgcdcoprm0  12456  cncongr1  12458  cncongr2  12459  prmind2  12475  exprmfct  12493  2sqpwodd  12531  hashdvds  12576  phimullem  12580  eulerthlem1  12582  eulerthlema  12585  eulerthlemh  12586  eulerthlemth  12587  prmdiv  12590  prmdiveq  12591  pythagtriplem2  12622  pythagtrip  12639  pcpremul  12649  pcqmul  12659  pcaddlem  12695  prmpwdvds  12711  4sqlem5  12738  4sqlem10  12743  4sqlem14  12760  oddennn  12796  mulgass  13528  mulgmodid  13530  znunit  14454  znrrg  14455  mpodvdsmulf1o  15495  lgsval  15514  lgsdir2lem5  15542  lgsdirprm  15544  lgsdir  15545  lgsdilem2  15546  lgsdi  15547  lgsne0  15548  gausslemma2dlem1a  15568  gausslemma2dlem1cl  15569  gausslemma2dlem1f1o  15570  gausslemma2dlem2  15572  gausslemma2dlem3  15573  gausslemma2dlem4  15574  gausslemma2dlem5a  15575  gausslemma2dlem5  15576  gausslemma2dlem6  15577  gausslemma2dlem7  15578  gausslemma2d  15579  lgseisenlem1  15580  lgseisenlem2  15581  lgseisenlem3  15582  lgseisenlem4  15583  lgseisen  15584  lgsquadlem1  15587  lgsquad2lem1  15591  lgsquad3  15594  2lgslem1a1  15596  2lgslem1a2  15597  2lgslem1b  15599  2lgslem3b1  15608  2lgslem3c1  15609  2lgsoddprmlem2  15616  2sqlem3  15627  2sqlem4  15628