Theorem zmulcld 9381

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9306	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5875   x. cmul 7816   ZZcz 9253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-cnre 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-n0 9177  df-z 9254

This theorem is referenced by:  qapne  9639  qtri3or  10243  2tnp1ge0ge0  10301  flhalf  10302  intfracq  10320  zmodcl  10344  modqmul1  10377  addmodlteq  10398  sqoddm1div8  10674  eirraplem  11784  dvdscmulr  11827  dvdsmulcr  11828  modmulconst  11830  dvds2ln  11831  dvdsmod  11868  even2n  11879  2tp1odd  11889  ltoddhalfle  11898  m1expo  11905  m1exp1  11906  divalglemqt  11924  modremain  11934  flodddiv4  11939  gcdaddm  11985  gcdmultipled  11994  bezoutlemnewy  11997  bezoutlemstep  11998  bezoutlembi  12006  mulgcd  12017  dvdsmulgcd  12026  bezoutr  12033  lcmval  12063  lcmcllem  12067  lcmgcdlem  12077  mulgcddvds  12094  rpmulgcd2  12095  divgcdcoprm0  12101  cncongr1  12103  cncongr2  12104  prmind2  12120  exprmfct  12138  2sqpwodd  12176  hashdvds  12221  phimullem  12225  eulerthlem1  12227  eulerthlema  12230  eulerthlemh  12231  eulerthlemth  12232  prmdiv  12235  prmdiveq  12236  pythagtriplem2  12266  pythagtrip  12283  pcpremul  12293  pcqmul  12303  pcaddlem  12338  prmpwdvds  12353  4sqlem5  12380  4sqlem10  12385  oddennn  12393  mulgass  13020  mulgmodid  13022  lgsval  14408  lgsdir2lem5  14436  lgsdirprm  14438  lgsdir  14439  lgsdilem2  14440  lgsdi  14441  lgsne0  14442  lgseisenlem1  14453  lgseisenlem2  14454  2lgsoddprmlem2  14457  2sqlem3  14467  2sqlem4  14468