Theorem zmulcld 9724

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9648	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6058   x. cmul 8148   ZZcz 9594

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595

This theorem is referenced by:  qapne  9989  qtri3or  10624  2tnp1ge0ge0  10685  flhalf  10686  intfracq  10706  zmodcl  10730  modqmul1  10763  addmodlteq  10784  sqoddm1div8  11080  eirraplem  12488  dvdscmulr  12531  dvdsmulcr  12532  modmulconst  12534  dvds2ln  12535  dvdsmod  12573  3dvds  12575  even2n  12585  2tp1odd  12595  ltoddhalfle  12604  m1expo  12611  m1exp1  12612  divalglemqt  12630  modremain  12640  flodddiv4  12647  bits0e  12660  bits0o  12661  bitsp1e  12663  bitsp1o  12664  bitsmod  12667  bitscmp  12669  bitsinv1lem  12672  gcdaddm  12705  gcdmultipled  12714  bezoutlemnewy  12717  bezoutlemstep  12718  bezoutlembi  12726  mulgcd  12737  dvdsmulgcd  12746  bezoutr  12753  lcmval  12785  lcmcllem  12789  lcmgcdlem  12799  mulgcddvds  12816  rpmulgcd2  12817  divgcdcoprm0  12823  cncongr1  12825  cncongr2  12826  prmind2  12842  exprmfct  12860  2sqpwodd  12898  hashdvds  12943  phimullem  12947  eulerthlem1  12949  eulerthlema  12952  eulerthlemh  12953  eulerthlemth  12954  prmdiv  12957  prmdiveq  12958  pythagtriplem2  12989  pythagtrip  13006  pcpremul  13016  pcqmul  13026  pcaddlem  13062  prmpwdvds  13078  4sqlem5  13105  4sqlem10  13110  4sqlem14  13127  oddennn  13227  mulgass  13912  mulgmodid  13914  znunit  14933  znrrg  14934  mpodvdsmulf1o  15984  lgsval  16003  lgsdir2lem5  16031  lgsdirprm  16033  lgsdir  16034  lgsdilem2  16035  lgsdi  16036  lgsne0  16037  gausslemma2dlem1a  16057  gausslemma2dlem1cl  16058  gausslemma2dlem1f1o  16059  gausslemma2dlem2  16061  gausslemma2dlem3  16062  gausslemma2dlem4  16063  gausslemma2dlem5a  16064  gausslemma2dlem5  16065  gausslemma2dlem6  16066  gausslemma2dlem7  16067  gausslemma2d  16068  lgseisenlem1  16069  lgseisenlem2  16070  lgseisenlem3  16071  lgseisenlem4  16072  lgseisen  16073  lgsquadlem1  16076  lgsquad2lem1  16080  lgsquad3  16083  2lgslem1a1  16085  2lgslem1a2  16086  2lgslem1b  16088  2lgslem3b1  16097  2lgslem3c1  16098  2lgsoddprmlem2  16105  2sqlem3  16116  2sqlem4  16117