Theorem zmulcld 9445

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9370	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2164  (class class class)co 5918   x. cmul 7877   ZZcz 9317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318

This theorem is referenced by:  qapne  9704  qtri3or  10310  2tnp1ge0ge0  10370  flhalf  10371  intfracq  10391  zmodcl  10415  modqmul1  10448  addmodlteq  10469  sqoddm1div8  10764  eirraplem  11920  dvdscmulr  11963  dvdsmulcr  11964  modmulconst  11966  dvds2ln  11967  dvdsmod  12004  even2n  12015  2tp1odd  12025  ltoddhalfle  12034  m1expo  12041  m1exp1  12042  divalglemqt  12060  modremain  12070  flodddiv4  12075  gcdaddm  12121  gcdmultipled  12130  bezoutlemnewy  12133  bezoutlemstep  12134  bezoutlembi  12142  mulgcd  12153  dvdsmulgcd  12162  bezoutr  12169  lcmval  12201  lcmcllem  12205  lcmgcdlem  12215  mulgcddvds  12232  rpmulgcd2  12233  divgcdcoprm0  12239  cncongr1  12241  cncongr2  12242  prmind2  12258  exprmfct  12276  2sqpwodd  12314  hashdvds  12359  phimullem  12363  eulerthlem1  12365  eulerthlema  12368  eulerthlemh  12369  eulerthlemth  12370  prmdiv  12373  prmdiveq  12374  pythagtriplem2  12404  pythagtrip  12421  pcpremul  12431  pcqmul  12441  pcaddlem  12477  prmpwdvds  12493  4sqlem5  12520  4sqlem10  12525  4sqlem14  12542  oddennn  12549  mulgass  13229  mulgmodid  13231  znunit  14147  znrrg  14148  lgsval  15120  lgsdir2lem5  15148  lgsdirprm  15150  lgsdir  15151  lgsdilem2  15152  lgsdi  15153  lgsne0  15154  gausslemma2dlem1a  15174  gausslemma2dlem1cl  15175  gausslemma2dlem1f1o  15176  gausslemma2dlem2  15178  gausslemma2dlem3  15179  gausslemma2dlem4  15180  gausslemma2dlem5a  15181  gausslemma2dlem5  15182  gausslemma2dlem6  15183  gausslemma2dlem7  15184  gausslemma2d  15185  lgseisenlem1  15186  lgseisenlem2  15187  lgseisenlem3  15188  lgseisenlem4  15189  lgseisen  15190  lgsquadlem1  15191  2lgsoddprmlem2  15194  2sqlem3  15204  2sqlem4  15205