Theorem zmulcld 9575

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )
zaddcld.1	|- ( ph -> B e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
zmulcld	|- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Proof of Theorem zmulcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		zaddcld.1	. 2 |- ( ph -> B e. ZZ )
3		zmulcl 9500	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ B e. ZZ ) -> ( A x. B ) e. ZZ )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A x. B ) e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   x. cmul 8004   ZZcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  qapne  9834  qtri3or  10460  2tnp1ge0ge0  10521  flhalf  10522  intfracq  10542  zmodcl  10566  modqmul1  10599  addmodlteq  10620  sqoddm1div8  10915  eirraplem  12288  dvdscmulr  12331  dvdsmulcr  12332  modmulconst  12334  dvds2ln  12335  dvdsmod  12373  3dvds  12375  even2n  12385  2tp1odd  12395  ltoddhalfle  12404  m1expo  12411  m1exp1  12412  divalglemqt  12430  modremain  12440  flodddiv4  12447  bits0e  12460  bits0o  12461  bitsp1e  12463  bitsp1o  12464  bitsmod  12467  bitscmp  12469  bitsinv1lem  12472  gcdaddm  12505  gcdmultipled  12514  bezoutlemnewy  12517  bezoutlemstep  12518  bezoutlembi  12526  mulgcd  12537  dvdsmulgcd  12546  bezoutr  12553  lcmval  12585  lcmcllem  12589  lcmgcdlem  12599  mulgcddvds  12616  rpmulgcd2  12617  divgcdcoprm0  12623  cncongr1  12625  cncongr2  12626  prmind2  12642  exprmfct  12660  2sqpwodd  12698  hashdvds  12743  phimullem  12747  eulerthlem1  12749  eulerthlema  12752  eulerthlemh  12753  eulerthlemth  12754  prmdiv  12757  prmdiveq  12758  pythagtriplem2  12789  pythagtrip  12806  pcpremul  12816  pcqmul  12826  pcaddlem  12862  prmpwdvds  12878  4sqlem5  12905  4sqlem10  12910  4sqlem14  12927  oddennn  12963  mulgass  13696  mulgmodid  13698  znunit  14623  znrrg  14624  mpodvdsmulf1o  15664  lgsval  15683  lgsdir2lem5  15711  lgsdirprm  15713  lgsdir  15714  lgsdilem2  15715  lgsdi  15716  lgsne0  15717  gausslemma2dlem1a  15737  gausslemma2dlem1cl  15738  gausslemma2dlem1f1o  15739  gausslemma2dlem2  15741  gausslemma2dlem3  15742  gausslemma2dlem4  15743  gausslemma2dlem5a  15744  gausslemma2dlem5  15745  gausslemma2dlem6  15746  gausslemma2dlem7  15747  gausslemma2d  15748  lgseisenlem1  15749  lgseisenlem2  15750  lgseisenlem3  15751  lgseisenlem4  15752  lgseisen  15753  lgsquadlem1  15756  lgsquad2lem1  15760  lgsquad3  15763  2lgslem1a1  15765  2lgslem1a2  15766  2lgslem1b  15768  2lgslem3b1  15777  2lgslem3c1  15778  2lgsoddprmlem2  15785  2sqlem3  15796  2sqlem4  15797