Theorem divalg 11827

Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer N by a nonzero integer D produces a (unique) quotient q and a unique remainder 0 <_ r < ( abs ` D ). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )

Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r

Proof of Theorem divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 985	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> N e. ZZ )
2		simpl2 986	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
3		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> D < 0 )
4		divalglemeuneg 11826	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1220	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
6		simpr 109	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D = 0 ) -> D = 0 )
7		simpl3 987	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D = 0 ) -> D =/= 0 )
8	6, 7	pm2.21ddne 2410	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D = 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
9		simpl1 985	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> N e. ZZ )
10		simpl2 986	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> D e. ZZ )
11		simpr 109	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> 0 < D )
12		elnnz 9182	. . . 4 |- ( D e. NN <-> ( D e. ZZ /\ 0 < D ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 414	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> D e. NN )
14		divalglemeunn 11824	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 409	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
16		ztri3or0 9214	. . 3 |- ( D e. ZZ -> ( D < 0 \/ D = 0 \/ 0 < D ) )
17	16	3ad2ant2 1004	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( D < 0 \/ D = 0 \/ 0 < D ) )
18	5, 8, 15, 17	mpjao3dan 1289	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ w3o 962   /\ w3a 963   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   E.wrex 2436   E!wreu 2437   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   0cc0 7734   + caddc 7737   x. cmul 7739   < clt 7914   <_ cle 7915   NNcn 8838   ZZcz 9172   abscabs 10908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910

This theorem is referenced by:  divalg2  11829