ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalg Unicode version

Theorem divalg 11827
Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer  N by a nonzero integer  D produces a (unique) quotient  q and a unique remainder  0  <_  r  <  ( abs `  D
). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
divalg  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
Distinct variable groups:    D, q, r    N, q, r

Proof of Theorem divalg
StepHypRef Expression
1 simpl1 985 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  <  0 )  ->  N  e.  ZZ )
2 simpl2 986 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  <  0 )  ->  D  e.  ZZ )
3 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  <  0 )  ->  D  <  0 )
4 divalglemeuneg 11826 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  <  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1220 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  <  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
6 simpr 109 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  =  0 )  ->  D  =  0 )
7 simpl3 987 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  =  0 )  ->  D  =/=  0
)
86, 7pm2.21ddne 2410 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  D  =  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
9 simpl1 985 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  0  <  D )  ->  N  e.  ZZ )
10 simpl2 986 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  0  <  D )  ->  D  e.  ZZ )
11 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  0  <  D )  -> 
0  <  D )
12 elnnz 9182 . . . 4  |-  ( D  e.  NN  <->  ( D  e.  ZZ  /\  0  < 
D ) )
1310, 11, 12sylanbrc 414 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  0  <  D )  ->  D  e.  NN )
14 divalglemeunn 11824 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
159, 13, 14syl2anc 409 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  /\  0  <  D )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  (
0  <_  r  /\  r  <  ( abs `  D
)  /\  N  =  ( ( q  x.  D )  +  r ) ) )
16 ztri3or0 9214 . . 3  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( D  <  0  \/  D  =  0  \/  0  <  D ) )
17163ad2ant2 1004 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  ( D  <  0  \/  D  =  0  \/  0  <  D ) )
185, 8, 15, 17mpjao3dan 1289 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ  /\  D  =/=  0 )  ->  E! r  e.  ZZ  E. q  e.  ZZ  ( 0  <_ 
r  /\  r  <  ( abs `  D )  /\  N  =  ( ( q  x.  D
)  +  r ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ w3o 962    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128    =/= wne 2327   E.wrex 2436   E!wreu 2437   class class class wbr 3967   ` cfv 5172  (class class class)co 5826   0cc0 7734    + caddc 7737    x. cmul 7739    < clt 7914    <_ cle 7915   NNcn 8838   ZZcz 9172   abscabs 10908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fl 10178  df-mod 10231  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910
This theorem is referenced by:  divalg2  11829
  Copyright terms: Public domain W3C validator