Theorem divalg 12235

Description: The division algorithm (theorem). Dividing an integer N by a nonzero integer D produces a (unique) quotient q and a unique remainder 0 <_ r < ( abs ` D ). Theorem 1.14 in [ApostolNT] p. 19. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
divalg	|- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )

Distinct variable groups:   D, q, r   N, q, r

Proof of Theorem divalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1003	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> N e. ZZ )
2		simpl2 1004	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> D e. ZZ )
3		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> D < 0 )
4		divalglemeuneg 12234	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1250	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D < 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
6		simpr 110	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D = 0 ) -> D = 0 )
7		simpl3 1005	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D = 0 ) -> D =/= 0 )
8	6, 7	pm2.21ddne 2459	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ D = 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
9		simpl1 1003	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> N e. ZZ )
10		simpl2 1004	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> D e. ZZ )
11		simpr 110	. . . 4 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> 0 < D )
12		elnnz 9382	. . . 4 |- ( D e. NN <-> ( D e. ZZ /\ 0 < D ) )
13	10, 11, 12	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> D e. NN )
14		divalglemeunn 12232	. . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. NN ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
15	9, 13, 14	syl2anc 411	. 2 |- ( ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) /\ 0 < D ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )
16		ztri3or0 9414	. . 3 |- ( D e. ZZ -> ( D < 0 \/ D = 0 \/ 0 < D ) )
17	16	3ad2ant2 1022	. 2 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> ( D < 0 \/ D = 0 \/ 0 < D ) )
18	5, 8, 15, 17	mpjao3dan 1320	1 |- ( ( N e. ZZ /\ D e. ZZ /\ D =/= 0 ) -> E! r e. ZZ E. q e. ZZ ( 0 <_ r /\ r < ( abs ` D ) /\ N = ( ( q x. D ) + r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ w3o 980   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   E.wrex 2485   E!wreu 2486   class class class wbr 4044   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   0cc0 7925   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   NNcn 9036   ZZcz 9372   abscabs 11308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310

This theorem is referenced by:  divalg2  12237