Theorem 0ct 7000

Description: The empty set is countable. Remark of [BauerSwan], p. 14:3 which also has the definition of countable used here. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
0ct	|- E. f f : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )

Proof of Theorem 0ct

Dummy variables y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 6345	. . . . 5 |- (/) e. 1o
2		djurcl 6945	. . . . 5 |- ( (/) e. 1o -> (inr ` (/) ) e. ( (/) ⊔ 1o ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- (inr ` (/) ) e. ( (/) ⊔ 1o )
4	3	fconst6 5330	. . 3 |- ( om X. { (inr ` (/) ) } ) : om --> ( (/) ⊔ 1o )
5		peano1 4516	. . . . 5 |- (/) e. om
6		rex0 3385	. . . . . . . . 9 |- -. E. w e. (/) y = (inl ` w )
7		djur 6962	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) <-> ( E. w e. (/) y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
8	7	biimpi 119	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> ( E. w e. (/) y = (inl ` w ) \/ E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
9	8	ord 714	. . . . . . . . 9 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> ( -. E. w e. (/) y = (inl ` w ) -> E. w e. 1o y = (inr ` w ) ) )
10	6, 9	mpi 15	. . . . . . . 8 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> E. w e. 1o y = (inr ` w ) )
11		df1o2 6334	. . . . . . . . 9 |- 1o = { (/) }
12	11	rexeqi 2634	. . . . . . . 8 |- ( E. w e. 1o y = (inr ` w ) <-> E. w e. { (/) } y = (inr ` w ) )
13	10, 12	sylib 121	. . . . . . 7 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> E. w e. { (/) } y = (inr ` w ) )
14		0ex 4063	. . . . . . . 8 |- (/) e. _V
15		fveq2 5429	. . . . . . . . 9 |- ( w = (/) -> (inr ` w ) = (inr ` (/) ) )
16	15	eqeq2d 2152	. . . . . . . 8 |- ( w = (/) -> ( y = (inr ` w ) <-> y = (inr ` (/) ) ) )
17	14, 16	rexsn 3575	. . . . . . 7 |- ( E. w e. { (/) } y = (inr ` w ) <-> y = (inr ` (/) ) )
18	13, 17	sylib 121	. . . . . 6 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> y = (inr ` (/) ) )
19	3	elexi 2701	. . . . . . . 8 |- (inr ` (/) ) e. _V
20	19	fvconst2 5644	. . . . . . 7 |- ( (/) e. om -> ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` (/) ) = (inr ` (/) ) )
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` (/) ) = (inr ` (/) )
22	18, 21	eqtr4di 2191	. . . . 5 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> y = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` (/) ) )
23		fveq2 5429	. . . . . 6 |- ( z = (/) -> ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` z ) = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` (/) ) )
24	23	rspceeqv 2811	. . . . 5 |- ( ( (/) e. om /\ y = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` (/) ) ) -> E. z e. om y = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` z ) )
25	5, 22, 24	sylancr 411	. . . 4 |- ( y e. ( (/) ⊔ 1o ) -> E. z e. om y = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` z ) )
26	25	rgen 2488	. . 3 |- A. y e. ( (/) ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` z )
27		dffo3 5575	. . 3 |- ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) <-> ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) : om --> ( (/) ⊔ 1o ) /\ A. y e. ( (/) ⊔ 1o ) E. z e. om y = ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) ` z ) ) )
28	4, 26, 27	mpbir2an 927	. 2 |- ( om X. { (inr ` (/) ) } ) : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )
29		omex 4515	. . . 4 |- om e. _V
30	19	snex 4117	. . . 4 |- { (inr ` (/) ) } e. _V
31	29, 30	xpex 4662	. . 3 |- ( om X. { (inr ` (/) ) } ) e. _V
32		foeq1 5349	. . 3 |- ( f = ( om X. { (inr ` (/) ) } ) -> ( f : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) <-> ( om X. { (inr ` (/) ) } ) : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) ) )
33	31, 32	spcev 2784	. 2 |- ( ( om X. { (inr ` (/) ) } ) : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) -> E. f f : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o ) )
34	28, 33	ax-mp 5	1 |- E. f f : om -onto-> ( (/) ⊔ 1o )

Syntax hints:   -. wn 3   \/ wo 698   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   (/)c0 3368   {csn 3532   omcom 4512   X. cxp 4545   -->wf 5127   -onto->wfo 5129   ` cfv 5131   1oc1o 6314   ⊔ cdju 6930  inlcinl 6938  inrcinr 6939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-1o 6321  df-dju 6931  df-inl 6940  df-inr 6941

This theorem is referenced by:  enumct  7008