Theorem dmdcanap2d 9116

Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
divcld.1	|- ( ph -> A e. CC )
divcld.2	|- ( ph -> B e. CC )
divmuld.3	|- ( ph -> C e. CC )
divmulapd.4	|- ( ph -> B # 0 )
divdiv23apd.5	|- ( ph -> C # 0 )

Assertion

Ref	Expression
dmdcanap2d	|- ( ph -> ( ( A / B ) x. ( B / C ) ) = ( A / C ) )

Proof of Theorem dmdcanap2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcld.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. CC )
2		divcld.2	. . . 4 |- ( ph -> B e. CC )
3		divmulapd.4	. . . 4 |- ( ph -> B # 0 )
4	1, 2, 3	divclapd 9085	. . 3 |- ( ph -> ( A / B ) e. CC )
5		divmuld.3	. . . 4 |- ( ph -> C e. CC )
6		divdiv23apd.5	. . . 4 |- ( ph -> C # 0 )
7	2, 5, 6	divclapd 9085	. . 3 |- ( ph -> ( B / C ) e. CC )
8	4, 7	mulcomd 8312	. 2 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. ( B / C ) ) = ( ( B / C ) x. ( A / B ) ) )
9	1, 2, 5, 3, 6	dmdcanapd 9115	. 2 |- ( ph -> ( ( B / C ) x. ( A / B ) ) = ( A / C ) )
10	8, 9	eqtrd 2267	1 |- ( ph -> ( ( A / B ) x. ( B / C ) ) = ( A / C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   CCcc 8142   0cc0 8144   x. cmul 8149   # cap 8874   / cdiv 8967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1cn 8237  ax-1re 8238  ax-icn 8239  ax-addcl 8240  ax-addrcl 8241  ax-mulcl 8242  ax-mulrcl 8243  ax-addcom 8244  ax-mulcom 8245  ax-addass 8246  ax-mulass 8247  ax-distr 8248  ax-i2m1 8249  ax-0lt1 8250  ax-1rid 8251  ax-0id 8252  ax-rnegex 8253  ax-precex 8254  ax-cnre 8255  ax-pre-ltirr 8256  ax-pre-ltwlin 8257  ax-pre-lttrn 8258  ax-pre-apti 8259  ax-pre-ltadd 8260  ax-pre-mulgt0 8261  ax-pre-mulext 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-br 4116  df-opab 4178  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fv 5366  df-riota 6012  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-pnf 8327  df-mnf 8328  df-xr 8329  df-ltxr 8330  df-le 8331  df-sub 8464  df-neg 8465  df-reap 8868  df-ap 8875  df-div 8968

This theorem is referenced by:  bcp1nk  11153  dvcoapbr  15703