ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divclapd Unicode version

Theorem divclapd 8255
Description: Closure law for division. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divcld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
divcld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
divclapd.3  |-  ( ph  ->  B #  0 )
Assertion
Ref Expression
divclapd  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem divclapd
StepHypRef Expression
1 divcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 divcld.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 divclapd.3 . 2  |-  ( ph  ->  B #  0 )
4 divclap 8143 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  ( A  /  B )  e.  CC )
51, 2, 3, 4syl3anc 1174 1  |-  ( ph  ->  ( A  /  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1438   class class class wbr 3845  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348   # cap 8056    / cdiv 8137
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-mulrcl 7442  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-mulass 7446  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-1rid 7450  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-precex 7453  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-apti 7458  ax-pre-ltadd 7459  ax-pre-mulgt0 7460  ax-pre-mulext 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-po 4123  df-iso 4124  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-reap 8050  df-ap 8057  df-div 8138
This theorem is referenced by:  apdivmuld  8278  dmdcanap2d  8286  divfnzn  9104  qapne  9122  negqmod0  9734  imval  10280  divcnv  10887  expcnvap0  10892  geolim  10901  geolim2  10902  geo2sum  10904  geo2lim  10906  cvgratz  10922  eftcl  10940  efcj  10959  efaddlem  10960  sinval  10989  tanvalap  10995  tanclap  10996  tanval2ap  11000  qredeq  11352
  Copyright terms: Public domain W3C validator