ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dmdcanap2d GIF version

Theorem dmdcanap2d 8792
Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
divcld.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
divcld.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
divmuld.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
divmulapd.4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
divdiv23apd.5 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)
Assertion
Ref Expression
dmdcanap2d (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))

Proof of Theorem dmdcanap2d
StepHypRef Expression
1 divcld.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 divcld.2 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 divmulapd.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต # 0)
41, 2, 3divclapd 8761 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / ๐ต) โˆˆ โ„‚)
5 divmuld.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
6 divdiv23apd.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ # 0)
72, 5, 6divclapd 8761 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ต / ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
84, 7mulcomd 7993 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)))
91, 2, 5, 3, 6dmdcanapd 8791 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ถ))
108, 9eqtrd 2220 1 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825   ยท cmul 7830   # cap 8552   / cdiv 8643
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644
This theorem is referenced by:  bcp1nk  10756  dvcoapbr  14467
  Copyright terms: Public domain W3C validator