![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dmdcanap2d | GIF version |
Description: Cancellation law for division and multiplication. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Mar-2020.) |
Ref | Expression |
---|---|
divcld.1 | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
divcld.2 | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
divmuld.3 | โข (๐ โ ๐ถ โ โ) |
divmulapd.4 | โข (๐ โ ๐ต # 0) |
divdiv23apd.5 | โข (๐ โ ๐ถ # 0) |
Ref | Expression |
---|---|
dmdcanap2d | โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divcld.1 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
2 | divcld.2 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
3 | divmulapd.4 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต # 0) | |
4 | 1, 2, 3 | divclapd 8761 | . . 3 โข (๐ โ (๐ด / ๐ต) โ โ) |
5 | divmuld.3 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ) | |
6 | divdiv23apd.5 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ # 0) | |
7 | 2, 5, 6 | divclapd 8761 | . . 3 โข (๐ โ (๐ต / ๐ถ) โ โ) |
8 | 4, 7 | mulcomd 7993 | . 2 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต))) |
9 | 1, 2, 5, 3, 6 | dmdcanapd 8791 | . 2 โข (๐ โ ((๐ต / ๐ถ) ยท (๐ด / ๐ต)) = (๐ด / ๐ถ)) |
10 | 8, 9 | eqtrd 2220 | 1 โข (๐ โ ((๐ด / ๐ต) ยท (๐ต / ๐ถ)) = (๐ด / ๐ถ)) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1363 โ wcel 2158 class class class wbr 4015 (class class class)co 5888 โcc 7823 0cc0 7825 ยท cmul 7830 # cap 8552 / cdiv 8643 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1457 ax-7 1458 ax-gen 1459 ax-ie1 1503 ax-ie2 1504 ax-8 1514 ax-10 1515 ax-11 1516 ax-i12 1517 ax-bndl 1519 ax-4 1520 ax-17 1536 ax-i9 1540 ax-ial 1544 ax-i5r 1545 ax-13 2160 ax-14 2161 ax-ext 2169 ax-sep 4133 ax-pow 4186 ax-pr 4221 ax-un 4445 ax-setind 4548 ax-cnex 7916 ax-resscn 7917 ax-1cn 7918 ax-1re 7919 ax-icn 7920 ax-addcl 7921 ax-addrcl 7922 ax-mulcl 7923 ax-mulrcl 7924 ax-addcom 7925 ax-mulcom 7926 ax-addass 7927 ax-mulass 7928 ax-distr 7929 ax-i2m1 7930 ax-0lt1 7931 ax-1rid 7932 ax-0id 7933 ax-rnegex 7934 ax-precex 7935 ax-cnre 7936 ax-pre-ltirr 7937 ax-pre-ltwlin 7938 ax-pre-lttrn 7939 ax-pre-apti 7940 ax-pre-ltadd 7941 ax-pre-mulgt0 7942 ax-pre-mulext 7943 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 981 df-tru 1366 df-fal 1369 df-nf 1471 df-sb 1773 df-eu 2039 df-mo 2040 df-clab 2174 df-cleq 2180 df-clel 2183 df-nfc 2318 df-ne 2358 df-nel 2453 df-ral 2470 df-rex 2471 df-reu 2472 df-rmo 2473 df-rab 2474 df-v 2751 df-sbc 2975 df-dif 3143 df-un 3145 df-in 3147 df-ss 3154 df-pw 3589 df-sn 3610 df-pr 3611 df-op 3613 df-uni 3822 df-br 4016 df-opab 4077 df-id 4305 df-po 4308 df-iso 4309 df-xp 4644 df-rel 4645 df-cnv 4646 df-co 4647 df-dm 4648 df-iota 5190 df-fun 5230 df-fv 5236 df-riota 5844 df-ov 5891 df-oprab 5892 df-mpo 5893 df-pnf 8008 df-mnf 8009 df-xr 8010 df-ltxr 8011 df-le 8012 df-sub 8144 df-neg 8145 df-reap 8546 df-ap 8553 df-div 8644 |
This theorem is referenced by: bcp1nk 10756 dvcoapbr 14467 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |