Theorem edgiedgbg 15859

Description: A set is an edge iff it is an indexed edge. (Contributed by AV, 17-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
edgiedgb.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
edgiedgbg	|- ( ( G e. V /\ Fun I ) -> ( E e. (Edg ` G ) <-> E. x e. dom I E = ( I ` x ) ) )

Distinct variable groups:   x, E   x, I

Allowed substitution hints:   G( x)   V( x)

Proof of Theorem edgiedgbg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		edgvalg 15854	. . . 4 |- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )
2		edgiedgb.i	. . . . . 6 |- I = (iEdg ` G )
3	2	eqcomi 2233	. . . . 5 |- (iEdg ` G ) = I
4	3	rneqi 4951	. . . 4 |- ran (iEdg ` G ) = ran I
5	1, 4	eqtrdi 2278	. . 3 |- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran I )
6	5	eleq2d 2299	. 2 |- ( G e. V -> ( E e. (Edg ` G ) <-> E e. ran I ) )
7		elrnrexdmb 5774	. 2 |- ( Fun I -> ( E e. ran I <-> E. x e. dom I E = ( I ` x ) ) )
8	6, 7	sylan9bb 462	1 |- ( ( G e. V /\ Fun I ) -> ( E e. (Edg ` G ) <-> E. x e. dom I E = ( I ` x ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   E.wrex 2509   dom cdm 4718   ran crn 4719   Fun wfun 5311   ` cfv 5317  iEdgciedg 15808  Edgcedg 15852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fo 5323  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-2nd 6285  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-edgf 15800  df-iedg 15810  df-edg 15853

This theorem is referenced by:  uhgredgiedgb  15926