Theorem edgvalg 15881

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	|- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15880	. 2 |- Edg = ( g e. _V |-> ran (iEdg ` g ) )
2		fveq2 5632	. . 3 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = (iEdg ` G ) )
3	2	rneqd 4956	. 2 |- ( g = G -> ran (iEdg ` g ) = ran (iEdg ` G ) )
4		elex 2811	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		iedgvalg 15839	. . . 4 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		2ndexg 6323	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
7		edgfid 15828	. . . . . . 7 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
8		edgfndxnn 15830	. . . . . . 7 |- (.ef ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 13078	. . . . . 6 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 13080	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
11	6, 10	ifexd 4576	. . . 4 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )
13		rnexg 4992	. . 3 |- ( (iEdg ` G ) e. _V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5733	1 |- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ifcif 3602   X. cxp 4718   ran crn 4721   ` cfv 5321   2ndc2nd 6294   ndxcnx 13050  .efcedgf 15826  iEdgciedg 15835  Edgcedg 15879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-fo 5327  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-2nd 6296  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-edgf 15827  df-iedg 15837  df-edg 15880

This theorem is referenced by:  iedgedgg  15882  edgiedgbg  15886  edg0iedg0g  15887  uhgredgm  15955  upgredgssen  15958  umgredgssen  15959  edgupgren  15960  edgumgren  15961  uhgrvtxedgiedgb  15962  upgredg  15963  usgredgssen  15981  usgrausgrien  15988  ausgrumgrien  15989  ausgrusgrien  15990  uspgrf1oedg  15995  uspgrupgrushgr  16001  usgrumgruspgr  16004  usgruspgrben  16005  usgrf1oedg  16024  uhgr2edg  16025  usgrsizedgen  16032  usgredg3  16033  ushgredgedg  16045  ushgredgedgloop  16047  usgr1e  16060  edg0usgr  16066  edginwlkd  16127  wlkl1loop  16130  wlkvtxedg  16135  uspgr2wlkeq  16137