Theorem edgvalg 16398

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	|- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16397	. 2 |- Edg = ( g e. _V |-> ran (iEdg ` g ) )
2		fveq2 5695	. . 3 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = (iEdg ` G ) )
3	2	rneqd 5011	. 2 |- ( g = G -> ran (iEdg ` g ) = ran (iEdg ` G ) )
4		elex 2833	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		iedgvalg 16356	. . . 4 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		2ndexg 6402	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
7		edgfid 16345	. . . . . . 7 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
8		edgfndxnn 16347	. . . . . . 7 |- (.ef ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 13426	. . . . . 6 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 13428	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
11	6, 10	ifexd 4630	. . . 4 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )
13		rnexg 5047	. . 3 |- ( (iEdg ` G ) e. _V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5799	1 |- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   X. cxp 4772   ran crn 4775   ` cfv 5377   2ndc2nd 6373   ndxcnx 13398  .efcedgf 16343  iEdgciedg 16352  Edgcedg 16396

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-2nd 6375  df-sub 8500  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-dec 9782  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-edgf 16344  df-iedg 16354  df-edg 16397

This theorem is used by:  edgval  16399  iedgedgg  16400  edgiedgbg  16404  edg0iedg0g  16405  uhgredgm  16475  upgredgssen  16478  umgredgssen  16479  edgupgren  16480  edgumgren  16481  uhgrvtxedgiedgb  16482  upgredg  16483  usgredgssen  16501  usgrausgrien  16508  ausgrumgrien  16509  ausgrusgrien  16510  uspgrf1oedg  16515  uspgrupgrushgr  16521  usgrumgruspgr  16524  usgruspgrben  16525  usgrf1oedg  16544  uhgr2edg  16545  usgrsizedgen  16552  usgredg3  16553  ushgredgedg  16565  ushgredgedgloop  16567  usgr1e  16580  edg0usgr  16586  edginwlkd  16694  wlkl1loop  16697  wlkvtxedg  16702  uspgr2wlkeq  16704