Theorem edgvalg 16422

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	|- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 16421	. 2 |- Edg = ( g e. _V |-> ran (iEdg ` g ) )
2		fveq2 5695	. . 3 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = (iEdg ` G ) )
3	2	rneqd 5011	. 2 |- ( g = G -> ran (iEdg ` g ) = ran (iEdg ` G ) )
4		elex 2833	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		iedgvalg 16380	. . . 4 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		2ndexg 6402	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
7		edgfid 16369	. . . . . . 7 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
8		edgfndxnn 16371	. . . . . . 7 |- (.ef ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 13428	. . . . . 6 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 13430	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
11	6, 10	ifexd 4630	. . . 4 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )
13		rnexg 5047	. . 3 |- ( (iEdg ` G ) e. _V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5799	1 |- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   X. cxp 4772   ran crn 4775   ` cfv 5377   2ndc2nd 6373   ndxcnx 13400  .efcedgf 16367  iEdgciedg 16376  Edgcedg 16420

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-2nd 6375  df-sub 8501  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-dec 9783  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-edgf 16368  df-iedg 16378  df-edg 16421

This theorem is used by:  edgval  16423  iedgedgg  16424  edgiedgbg  16428  edg0iedg0g  16429  uhgredgm  16499  upgredgssen  16502  umgredgssen  16503  edgupgren  16504  edgumgren  16505  uhgrvtxedgiedgb  16506  upgredg  16507  usgredgssen  16525  usgrausgrien  16532  ausgrumgrien  16533  ausgrusgrien  16534  uspgrf1oedg  16539  uspgrupgrushgr  16545  usgrumgruspgr  16548  usgruspgrben  16549  usgrf1oedg  16568  uhgr2edg  16569  usgrsizedgen  16576  usgredg3  16577  ushgredgedg  16589  ushgredgedgloop  16591  usgr1e  16604  edg0usgr  16610  edginwlkd  16718  wlkl1loop  16721  wlkvtxedg  16726  uspgr2wlkeq  16728