Theorem edgvalg 15854

Description: The edges of a graph. (Contributed by AV, 1-Jan-2020.) (Revised by AV, 13-Oct-2020.) (Revised by AV, 8-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
edgvalg	|- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

Proof of Theorem edgvalg

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-edg 15853	. 2 |- Edg = ( g e. _V |-> ran (iEdg ` g ) )
2		fveq2 5626	. . 3 |- ( g = G -> (iEdg ` g ) = (iEdg ` G ) )
3	2	rneqd 4952	. 2 |- ( g = G -> ran (iEdg ` g ) = ran (iEdg ` G ) )
4		elex 2811	. 2 |- ( G e. V -> G e. _V )
5		iedgvalg 15812	. . . 4 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) = if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) )
6		2ndexg 6312	. . . . 5 |- ( G e. V -> ( 2nd ` G ) e. _V )
7		edgfid 15801	. . . . . . 7 |- .ef = Slot (.ef ` ndx )
8		edgfndxnn 15803	. . . . . . 7 |- (.ef ` ndx ) e. NN
9	7, 8	ndxslid 13052	. . . . . 6 |- (.ef = Slot (.ef ` ndx ) /\ (.ef ` ndx ) e. NN )
10	9	slotex 13054	. . . . 5 |- ( G e. V -> (.ef ` G ) e. _V )
11	6, 10	ifexd 4574	. . . 4 |- ( G e. V -> if ( G e. ( _V X. _V ) , ( 2nd ` G ) , (.ef ` G ) ) e. _V )
12	5, 11	eqeltrd 2306	. . 3 |- ( G e. V -> (iEdg ` G ) e. _V )
13		rnexg 4988	. . 3 |- ( (iEdg ` G ) e. _V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
14	12, 13	syl 14	. 2 |- ( G e. V -> ran (iEdg ` G ) e. _V )
15	1, 3, 4, 14	fvmptd3 5727	1 |- ( G e. V -> (Edg ` G ) = ran (iEdg ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   _Vcvv 2799   ifcif 3602   X. cxp 4716   ran crn 4719   ` cfv 5317   2ndc2nd 6283   ndxcnx 13024  .efcedgf 15799  iEdgciedg 15808  Edgcedg 15852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fo 5323  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-2nd 6285  df-sub 8315  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-edgf 15800  df-iedg 15810  df-edg 15853

This theorem is referenced by:  iedgedgg  15855  edgiedgbg  15859  edg0iedg0g  15860  uhgredgm  15928  upgredgssen  15931  umgredgssen  15932  edgupgren  15933  edgumgren  15934  uhgrvtxedgiedgb  15935  upgredg  15936  usgredgssen  15954  usgrausgrien  15961  ausgrumgrien  15962  ausgrusgrien  15963  uspgrf1oedg  15968  uspgrupgrushgr  15974  usgrumgruspgr  15977  usgruspgrben  15978  usgrf1oedg  15997  uhgr2edg  15998  usgrsizedgen  16005  usgredg3  16006  ushgredgedg  16018  ushgredgedgloop  16020