ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tanvalap Unicode version

Theorem tanvalap 11422
Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
tanvalap  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )

Proof of Theorem tanvalap
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 108 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  A  e.  CC )
2 coscl 11421 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
32adantr 274 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( cos `  A )  e.  CC )
4 simpr 109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( cos `  A ) #  0 )
5 0cnd 7766 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  0  e.  CC )
6 apne 8392 . . . . . 6  |-  ( ( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( cos `  A
) #  0  ->  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
73, 5, 6syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  (
( cos `  A
) #  0  ->  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
84, 7mpd 13 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( cos `  A )  =/=  0 )
9 eldifsn 3650 . . . 4  |-  ( ( cos `  A )  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( ( cos `  A
)  e.  CC  /\  ( cos `  A )  =/=  0 ) )
103, 8, 9sylanbrc 413 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( cos `  A )  e.  ( CC  \  {
0 } ) )
11 cosf 11419 . . . 4  |-  cos : CC
--> CC
12 ffn 5272 . . . 4  |-  ( cos
: CC --> CC  ->  cos 
Fn  CC )
13 elpreima 5539 . . . 4  |-  ( cos 
Fn  CC  ->  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) ) )
1411, 12, 13mp2b 8 . . 3  |-  ( A  e.  ( `' cos " ( CC  \  {
0 } ) )  <-> 
( A  e.  CC  /\  ( cos `  A
)  e.  ( CC 
\  { 0 } ) ) )
151, 10, 14sylanbrc 413 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  A  e.  ( `' cos " ( CC  \  { 0 } ) ) )
16 sincl 11420 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1716adantr 274 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( sin `  A )  e.  CC )
1817, 3, 4divclapd 8557 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  (
( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) )  e.  CC )
19 fveq2 5421 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  A
) )
20 fveq2 5421 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( cos `  x )  =  ( cos `  A
) )
2119, 20oveq12d 5792 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( sin `  x
)  /  ( cos `  x ) )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
22 df-tan 11365 . . 3  |-  tan  =  ( x  e.  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  |->  ( ( sin `  x )  /  ( cos `  x
) ) )
2321, 22fvmptg 5497 . 2  |-  ( ( A  e.  ( `' cos " ( CC 
\  { 0 } ) )  /\  (
( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) )  e.  CC )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
2415, 18, 23syl2anc 408 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( cos `  A ) #  0 )  ->  ( tan `  A )  =  ( ( sin `  A
)  /  ( cos `  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480    =/= wne 2308    \ cdif 3068   {csn 3527   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   "cima 4542    Fn wfn 5118   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   0cc0 7627   # cap 8350    / cdiv 8439   sincsin 11357   cosccos 11358   tanctan 11359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-tan 11365
This theorem is referenced by:  tanclap  11423  tanval2ap  11427  retanclap  11436  tannegap  11442  tan0  11445  tanaddaplem  11452  tanaddap  11453  tanrpcl  12931  tangtx  12932  tan4thpi  12935
  Copyright terms: Public domain W3C validator