Theorem tanvalap 11719

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanvalap	|- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )

Proof of Theorem tanvalap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> A e. CC )
2		coscl 11718	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) # 0 )
5		0cnd 7953	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> 0 e. CC )
6		apne 8583	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( cos ` A ) # 0 -> ( cos ` A ) =/= 0 ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( ( cos ` A ) # 0 -> ( cos ` A ) =/= 0 ) )
8	4, 7	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
9		eldifsn 3721	. . . 4 |- ( ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` A ) =/= 0 ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) )
11		cosf 11716	. . . 4 |- cos : CC --> CC
12		ffn 5367	. . . 4 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
13		elpreima 5638	. . . 4 |- ( cos Fn CC -> ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( A e. CC /\ ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . 3 |- ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( A e. CC /\ ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) ) )
15	1, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) )
16		sincl 11717	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
18	17, 3, 4	divclapd 8750	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) e. CC )
19		fveq2 5517	. . . 4 |- ( x = A -> ( sin ` x ) = ( sin ` A ) )
20		fveq2 5517	. . . 4 |- ( x = A -> ( cos ` x ) = ( cos ` A ) )
21	19, 20	oveq12d 5896	. . 3 |- ( x = A -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
22		df-tan 11663	. . 3 |- tan = ( x e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) |-> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5595	. 2 |- ( ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) e. CC ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	15, 18, 23	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   \ cdif 3128   {csn 3594   class class class wbr 4005   `'ccnv 4627   "cima 4631   Fn wfn 5213   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5878   CCcc 7812   0cc0 7814   # cap 8541   / cdiv 8632   sincsin 11655   cosccos 11656   tanctan 11657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661  df-cos 11662  df-tan 11663

This theorem is referenced by:  tanclap  11720  tanval2ap  11724  retanclap  11733  tannegap  11739  tan0  11742  tanaddaplem  11749  tanaddap  11750  tanrpcl  14398  tangtx  14399  tan4thpi  14402