Theorem tanvalap 12019

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanvalap	|- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )

Proof of Theorem tanvalap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> A e. CC )
2		coscl 12018	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) # 0 )
5		0cnd 8065	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> 0 e. CC )
6		apne 8696	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( cos ` A ) # 0 -> ( cos ` A ) =/= 0 ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( ( cos ` A ) # 0 -> ( cos ` A ) =/= 0 ) )
8	4, 7	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
9		eldifsn 3760	. . . 4 |- ( ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` A ) =/= 0 ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) )
11		cosf 12016	. . . 4 |- cos : CC --> CC
12		ffn 5425	. . . 4 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
13		elpreima 5699	. . . 4 |- ( cos Fn CC -> ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( A e. CC /\ ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . 3 |- ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( A e. CC /\ ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) ) )
15	1, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) )
16		sincl 12017	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
18	17, 3, 4	divclapd 8863	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) e. CC )
19		fveq2 5576	. . . 4 |- ( x = A -> ( sin ` x ) = ( sin ` A ) )
20		fveq2 5576	. . . 4 |- ( x = A -> ( cos ` x ) = ( cos ` A ) )
21	19, 20	oveq12d 5962	. . 3 |- ( x = A -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
22		df-tan 11963	. . 3 |- tan = ( x e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) |-> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5655	. 2 |- ( ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) e. CC ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	15, 18, 23	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2176   =/= wne 2376   \ cdif 3163   {csn 3633   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   "cima 4678   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   CCcc 7923   0cc0 7925   # cap 8654   / cdiv 8745   sincsin 11955   cosccos 11956   tanctan 11957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-ico 10016  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-fac 10871  df-ihash 10921  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665  df-ef 11959  df-sin 11961  df-cos 11962  df-tan 11963

This theorem is referenced by:  tanclap  12020  tanval2ap  12024  retanclap  12033  tannegap  12039  tan0  12042  tanaddaplem  12049  tanaddap  12050  tanrpcl  15309  tangtx  15310  tan4thpi  15313