Theorem tanvalap 11748

Description: Value of the tangent function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 21-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
tanvalap	|- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )

Proof of Theorem tanvalap

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> A e. CC )
2		coscl 11747	. . . . 5 |- ( A e. CC -> ( cos ` A ) e. CC )
3	2	adantr 276	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) e. CC )
4		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) # 0 )
5		0cnd 7980	. . . . . 6 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> 0 e. CC )
6		apne 8610	. . . . . 6 |- ( ( ( cos ` A ) e. CC /\ 0 e. CC ) -> ( ( cos ` A ) # 0 -> ( cos ` A ) =/= 0 ) )
7	3, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( ( cos ` A ) # 0 -> ( cos ` A ) =/= 0 ) )
8	4, 7	mpd 13	. . . 4 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) =/= 0 )
9		eldifsn 3734	. . . 4 |- ( ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) <-> ( ( cos ` A ) e. CC /\ ( cos ` A ) =/= 0 ) )
10	3, 8, 9	sylanbrc 417	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) )
11		cosf 11745	. . . 4 |- cos : CC --> CC
12		ffn 5384	. . . 4 |- ( cos : CC --> CC -> cos Fn CC )
13		elpreima 5656	. . . 4 |- ( cos Fn CC -> ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( A e. CC /\ ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) ) ) )
14	11, 12, 13	mp2b 8	. . 3 |- ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) <-> ( A e. CC /\ ( cos ` A ) e. ( CC \ { 0 } ) ) )
15	1, 10, 14	sylanbrc 417	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) )
16		sincl 11746	. . . 4 |- ( A e. CC -> ( sin ` A ) e. CC )
17	16	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( sin ` A ) e. CC )
18	17, 3, 4	divclapd 8777	. 2 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) e. CC )
19		fveq2 5534	. . . 4 |- ( x = A -> ( sin ` x ) = ( sin ` A ) )
20		fveq2 5534	. . . 4 |- ( x = A -> ( cos ` x ) = ( cos ` A ) )
21	19, 20	oveq12d 5914	. . 3 |- ( x = A -> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
22		df-tan 11692	. . 3 |- tan = ( x e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) |-> ( ( sin ` x ) / ( cos ` x ) ) )
23	21, 22	fvmptg 5613	. 2 |- ( ( A e. ( `' cos " ( CC \ { 0 } ) ) /\ ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) e. CC ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )
24	15, 18, 23	syl2anc 411	1 |- ( ( A e. CC /\ ( cos ` A ) # 0 ) -> ( tan ` A ) = ( ( sin ` A ) / ( cos ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   \ cdif 3141   {csn 3607   class class class wbr 4018   `'ccnv 4643   "cima 4647   Fn wfn 5230   -->wf 5231   ` cfv 5235  (class class class)co 5896   CCcc 7839   0cc0 7841   # cap 8568   / cdiv 8659   sincsin 11684   cosccos 11685   tanctan 11686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-ico 9924  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-ihash 10788  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-sin 11690  df-cos 11691  df-tan 11692

This theorem is referenced by:  tanclap  11749  tanval2ap  11753  retanclap  11762  tannegap  11768  tan0  11771  tanaddaplem  11778  tanaddap  11779  tanrpcl  14715  tangtx  14716  tan4thpi  14719