Theorem lgsne0 16037

Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsne0	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem lgsne0

Dummy variables k n x y p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsqcl 10996	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
2	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
3		1z 9620	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		zdceq 9670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
5	2, 3, 4	sylancl 413	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
6		iffalse 3634	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 )
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- (DECID ( A ^ 2 ) = 1 -> ( -. ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 ) )
8	7	necon1aidc 2465	. . . . . . 7 |- (DECID ( A ^ 2 ) = 1 -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 -> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
9	5, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 -> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
10		iftrue 3631	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 1 )
11		1ne0 9322	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ 2 ) = 1 -> 1 =/= 0 )
13	10, 12	eqnetrd 2438	. . . . . 6 |- ( ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 )
14	9, 13	impbid1 142	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
15	14	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
16		zre 9598	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
17	16	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> A e. RR )
18		absresq 11788	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
20		sq1 11019	. . . . . 6 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
21	20	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
22	19, 21	eqeq12d 2249	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
23	17	recnd 8318	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> A e. CC )
24	23	abscld 11891	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
25	23	absge0d 11894	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
26		1re 8289	. . . . . 6 |- 1 e. RR
27		0le1 8772	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
28		sq11 10998	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
29	26, 27, 28	mpanr12 439	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
30	24, 25, 29	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
31	15, 22, 30	3bitr2d 216	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
32		oveq2 6066	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( A /L N ) = ( A /L 0 ) )
33		lgs0 16012	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
34	33	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2289	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A /L N ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
36	35	neeq1d 2432	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 ) )
37		oveq2 6066	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( A gcd N ) = ( A gcd 0 ) )
38		gcdid0 12701	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A gcd 0 ) = ( abs ` A ) )
39	38	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A gcd 0 ) = ( abs ` A ) )
40	37, 39	sylan9eqr 2289	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A gcd N ) = ( abs ` A ) )
41	40	eqeq1d 2243	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( A gcd N ) = 1 <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
42	31, 36, 41	3bitr4d 220	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
43		lgscl 16013	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
44	43	adantr 276	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
45		0z 9605	. . . 4 |- 0 e. ZZ
46		zapne 9669	. . . 4 |- ( ( ( A /L N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( A /L N ) =/= 0 ) )
47	44, 45, 46	sylancl 413	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( A /L N ) =/= 0 ) )
48		eqid 2234	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
49	48	lgsval4 16019	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) )
50	49	breq1d 4124	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 ) )
51		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> ( N < 0 /\ A < 0 ) )
52	51	iftrued 3633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = -u 1 )
53		neg1ne0 9361	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
55	52, 54	eqnetrd 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 )
56		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
57	56	iffalsed 3636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
58	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> 1 =/= 0 )
59	57, 58	eqnetrd 2438	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
61		zdclt 9672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
62	60, 45, 61	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
64		zdclt 9672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
65	63, 45, 64	sylancl 413	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
66		dcan2 943	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
67	62, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
68		exmiddc 844	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) -> ( ( N < 0 /\ A < 0 ) \/ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N < 0 /\ A < 0 ) \/ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
70	55, 59, 69	mpjaodan 806	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 )
71	70	biantrurd 305	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) ) )
72	71	3adant3 1044	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) ) )
73		neg1z 9626	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. ZZ
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. ZZ )
75		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
76	74, 75, 67	ifcldcd 3664	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
77	76	3adant3 1044	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
78	77	zcnd 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. CC )
79		nnuz 9908	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
80		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> 1 e. ZZ )
81	48	lgsfcl3 16020	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) : NN --> ZZ )
82	81	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
83		zmulcl 9648	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( k x. x ) e. ZZ )
84	83	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( k e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( k x. x ) e. ZZ )
85	79, 80, 82, 84	seqf 10850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) : NN --> ZZ )
86		nnabscl 11810	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
87	86	3adant1 1042	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
88	85, 87	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ )
89	88	zcnd 9719	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. CC )
90	78, 89	mulap0bd 8948	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 ) )
91		zapne 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 <-> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 ) )
92	77, 45, 91	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 <-> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 ) )
93		zapne 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) )
94	88, 45, 93	sylancl 413	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) )
95	92, 94	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) ) )
96	77, 88	zmulcld 9724	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ )
97		zapne 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 ) )
98	96, 45, 97	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 ) )
99	90, 95, 98	3bitr3d 218	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 ) )
100	72, 99	bitr2d 189	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) )
101	100, 98, 94	3bitr4d 220	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) )
102		gcd2n0cl 12690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A gcd N ) e. NN )
103	102	nnzd 9717	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
104		zdceq 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A gcd N ) = 1 )
105	103, 3, 104	sylancl 413	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> DECID ( A gcd N ) = 1 )
106		eluz2b3 9954	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A gcd N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( A gcd N ) e. NN /\ ( A gcd N ) =/= 1 ) )
107		exprmfct 12860	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A gcd N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( A gcd N ) )
108	106, 107	sylbir 135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A gcd N ) e. NN /\ ( A gcd N ) =/= 1 ) -> E. p e. Prime p || ( A gcd N ) )
109		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k x. x ) e. CC )
110	109	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
111	81	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) : NN --> ZZ )
112		elnnuz 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113	112	biimpri 133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
114	113	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
115	111, 114	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
116	115	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. CC )
117		mul02 8677	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. CC -> ( 0 x. k ) = 0 )
118	117	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. CC ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
119		mul01 8679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. CC -> ( k x. 0 ) = 0 )
120	119	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. CC ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
121		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || ( A gcd N ) )
122		prmz 12833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
123	122	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. ZZ )
124		simpl1 1027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> A e. ZZ )
125		simpl2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> N e. ZZ )
126		dvdsgcdb 12734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. ZZ /\ A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( p || A /\ p || N ) <-> p || ( A gcd N ) ) )
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( p || A /\ p || N ) <-> p || ( A gcd N ) ) )
128	121, 127	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p || A /\ p || N ) )
129	128	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || N )
130		dvdsabsb 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( p || N <-> p || ( abs ` N ) ) )
131	123, 125, 130	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p || N <-> p || ( abs ` N ) ) )
132	129, 131	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || ( abs ` N ) )
133	87	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( abs ` N ) e. NN )
134		dvdsle 12555	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ZZ /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( p || ( abs ` N ) -> p <_ ( abs ` N ) ) )
135	123, 133, 134	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p || ( abs ` N ) -> p <_ ( abs ` N ) ) )
136	132, 135	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p <_ ( abs ` N ) )
137		prmnn 12832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
138	137	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. NN )
139	138, 79	eleqtrdi 2327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
140	133	nnzd 9717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( abs ` N ) e. ZZ )
141		elfz5 10370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( abs ` N ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 1 ... ( abs ` N ) ) <-> p <_ ( abs ` N ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p e. ( 1 ... ( abs ` N ) ) <-> p <_ ( abs ` N ) ) )
143	136, 142	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. ( 1 ... ( abs ` N ) ) )
144		eleq1w 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = p -> ( n e. Prime <-> p e. Prime ) )
145		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = p -> ( A /L n ) = ( A /L p ) )
146		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = p -> ( n pCnt N ) = ( p pCnt N ) )
147	145, 146	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = p -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) )
148	144, 147	ifbieq1d 3649	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = p -> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) )
149		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. Prime )
150	149	iftrued 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) = ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) )
151		lgscl 16013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( A /L p ) e. ZZ )
152	124, 123, 151	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( A /L p ) e. ZZ )
153		simpl3 1029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> N =/= 0 )
154		pczcl 13021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( p pCnt N ) e. NN0 )
155	149, 125, 153, 154	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt N ) e. NN0 )
156		zexpcl 10940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A /L p ) e. ZZ /\ ( p pCnt N ) e. NN0 ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) e. ZZ )
157	152, 155, 156	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) e. ZZ )
158	150, 157	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
159	48, 148, 138, 158	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) )
160		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 2 -> ( A /L p ) = ( A /L 2 ) )
161		lgs2 16016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
162	124, 161	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
163	160, 162	sylan9eqr 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> ( A /L p ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
164		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> p = 2 )
165	128	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || A )
166	165	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> p || A )
167	164, 166	eqbrtrrd 4138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> 2 || A )
168	167	iftrued 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
169	163, 168	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> ( A /L p ) = 0 )
170		simpll1 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> A e. ZZ )
171	149	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. Prime )
172		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p =/= 2 )
173		eldifsn 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( p e. Prime /\ p =/= 2 ) )
174	171, 172, 173	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. ( Prime \ { 2 } ) )
175		lgsval3 16017	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( A /L p ) = ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) )
176	170, 174, 175	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A /L p ) = ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) )
177		oddprm 12982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( p e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN )
178	174, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN )
179	178	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
180		zexpcl 10940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
181	170, 179, 180	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
182		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
184		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
185	45, 184	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 0 e. QQ )
186		1nn 9265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. NN
187		nnq 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 e. NN -> 1 e. QQ )
188	186, 187	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 1 e. QQ )
189	171, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. NN )
190		nnq 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
191	189, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. QQ )
192		nngt0 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. NN -> 0 < p )
193	189, 192	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 0 < p )
194		0zd 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 0 e. ZZ )
195	165	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p || A )
196		dvdsval3 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( p e. NN /\ A e. ZZ ) -> ( p || A <-> ( A mod p ) = 0 ) )
197	189, 170, 196	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( p || A <-> ( A mod p ) = 0 ) )
198	195, 197	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A mod p ) = 0 )
199		q0mod 10741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( p e. QQ /\ 0 < p ) -> ( 0 mod p ) = 0 )
200	190, 192, 199	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( p e. NN -> ( 0 mod p ) = 0 )
201	189, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( 0 mod p ) = 0 )
202	198, 201	eqtr4d 2270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A mod p ) = ( 0 mod p ) )
203	170, 194, 179, 191, 193, 202	modqexp 11053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) = ( ( 0 ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) )
204	178	0expd 11076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( 0 ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) = 0 )
205	204	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( 0 ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) = ( 0 mod p ) )
206	203, 205	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) = ( 0 mod p ) )
207	183, 185, 188, 191, 193, 206	modqadd1 10747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) = ( ( 0 + 1 ) mod p ) )
208		0p1e1 9368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 + 1 ) = 1
209	208	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 + 1 ) mod p ) = ( 1 mod p )
210	207, 209	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) = ( 1 mod p ) )
211		prmuz2 12853	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
212	171, 211	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
213		eluzelz 9881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. ZZ )
214		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. ZZ -> p e. QQ )
215	213, 214	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. QQ )
216		eluz2gt1 9952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
217		q1mod 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( p e. QQ /\ 1 < p ) -> ( 1 mod p ) = 1 )
218	215, 216, 217	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 mod p ) = 1 )
219	212, 218	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( 1 mod p ) = 1 )
220	210, 219	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) = 1 )
221	220	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
222		1m1e0 9323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 - 1 ) = 0
223	221, 222	eqtrdi 2283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) = 0 )
224	176, 223	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A /L p ) = 0 )
225		2z 9622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. ZZ
226		zdceq 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID p = 2 )
227	123, 225, 226	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> DECID p = 2 )
228		dcne 2425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (DECID p = 2 <-> ( p = 2 \/ p =/= 2 ) )
229	227, 228	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p = 2 \/ p =/= 2 ) )
230	169, 224, 229	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( A /L p ) = 0 )
231	230	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) = ( 0 ^ ( p pCnt N ) ) )
232		zq 9976	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
233	125, 232	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> N e. QQ )
234		pcabs 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( p pCnt ( abs ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
235	149, 233, 234	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt ( abs ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
236		pcelnn 13044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. Prime /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( p pCnt ( abs ` N ) ) e. NN <-> p || ( abs ` N ) ) )
237	149, 133, 236	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( p pCnt ( abs ` N ) ) e. NN <-> p || ( abs ` N ) ) )
238	132, 237	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt ( abs ` N ) ) e. NN )
239	235, 238	eqeltrrd 2312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt N ) e. NN )
240	239	0expd 11076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( 0 ^ ( p pCnt N ) ) = 0 )
241	231, 240	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) = 0 )
242	159, 150, 241	3eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` p ) = 0 )
243	110, 116, 118, 120, 143, 242	seq3z 10914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 )
244	243	rexlimdvaa 2663	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( E. p e. Prime p || ( A gcd N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) )
245	108, 244	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd N ) e. NN /\ ( A gcd N ) =/= 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) )
246	102, 245	mpand 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A gcd N ) =/= 1 -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) )
247	246	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> (DECID ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) =/= 1 -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) ) )
248	247	necon1ddc 2492	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> (DECID ( A gcd N ) = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 -> ( A gcd N ) = 1 ) ) )
249	105, 248	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 -> ( A gcd N ) = 1 ) )
250	94, 249	sylbid 150	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 -> ( A gcd N ) = 1 ) )
251		1zzd 9621	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> 1 e. ZZ )
252		eleq1w 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
253		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( A /L n ) = ( A /L k ) )
254		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n pCnt N ) = ( k pCnt N ) )
255	253, 254	oveq12d 6076	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) )
256	252, 255	ifbieq1d 3649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
257		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
258		simp1 1024	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A e. ZZ )
259	258	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> A e. ZZ )
260		prmz 12833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Prime -> k e. ZZ )
261	260	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
262		lgscl 16013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
263	259, 261, 262	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
264		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
265		simp2 1025	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
266	265	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
267		simp3 1026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N =/= 0 )
268	267	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
269		pczcl 13021	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
270	264, 266, 268, 269	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
271		zexpcl 10940	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A /L k ) e. ZZ /\ ( k pCnt N ) e. NN0 ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
272	263, 270, 271	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
273		1zzd 9621	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
274		prmdc 12852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
275	274	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> DECID k e. Prime )
276	272, 273, 275	ifcldadc 3656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
277	48, 256, 257, 276	fvmptd3 5776	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
278		simpll1 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> A e. ZZ )
279	260	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
280	278, 279, 262	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
281	280	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. CC )
282	281	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L k ) e. CC )
283		oveq2 6066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 2 -> ( A /L k ) = ( A /L 2 ) )
284	278	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> A e. ZZ )
285	284, 161	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
286	283, 285	sylan9eqr 2289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> ( A /L k ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
287		nprmdvds1 12862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. Prime -> -. k || 1 )
288	287	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> -. k || 1 )
289		simpll2 1064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
290		dvdsgcdb 12734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k e. ZZ /\ A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k || A /\ k || N ) <-> k || ( A gcd N ) ) )
291	279, 278, 289, 290	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k || A /\ k || N ) <-> k || ( A gcd N ) ) )
292		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( A gcd N ) = 1 )
293	292	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || ( A gcd N ) <-> k || 1 ) )
294	291, 293	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k || A /\ k || N ) <-> k || 1 ) )
295	288, 294	mtbird 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> -. ( k || A /\ k || N ) )
296		imnan 697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k || A -> -. k || N ) <-> -. ( k || A /\ k || N ) )
297	295, 296	sylibr 134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || A -> -. k || N ) )
298	297	con2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || N -> -. k || A ) )
299	298	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> -. k || A )
300		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = 2 -> ( k || A <-> 2 || A ) )
301	300	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 2 -> ( -. k || A <-> -. 2 || A ) )
302	299, 301	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( k = 2 -> -. 2 || A ) )
303	302	imp 124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> -. 2 || A )
304	303	iffalsed 3636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
305	286, 304	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> ( A /L k ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
306		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
307	306	iftrued 3633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
308	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> 1 =/= 0 )
309	307, 308	eqnetrd 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
310		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
311	310	iffalsed 3636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
312	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> -u 1 =/= 0 )
313	311, 312	eqnetrd 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
314		8nn 9422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 8 e. NN
315		zmodcl 10730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
316	314, 315	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
317	316	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
318		zdceq 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
319	317, 3, 318	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
320		7nn 9421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 7 e. NN
321	320	nnzi 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 7 e. ZZ
322		zdceq 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
323	317, 321, 322	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
324		dcor 944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
325	319, 323, 324	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
326		elprg 3714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
327	316, 326	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
328	327	dcbid 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
329	325, 328	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
330		exmiddc 844	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
331	329, 330	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
332	309, 313, 331	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
333	258, 332	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
334	333	ad4antr 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
335	305, 334	eqnetrd 2438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> ( A /L k ) =/= 0 )
336		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
337	336	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. Prime )
338	337, 287	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> -. k || 1 )
339		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k || N )
340	337, 260	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. ZZ )
341	284	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> A e. ZZ )
342		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k =/= 2 )
343		eldifsn 3825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( k e. Prime /\ k =/= 2 ) )
344	337, 342, 343	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. ( Prime \ { 2 } ) )
345		oddprm 12982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN )
346	344, 345	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN )
347	346	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
348		zexpcl 10940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
349	341, 347, 348	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
350	289	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> N e. ZZ )
351		dvdsgcd 12733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. ZZ /\ ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) /\ k || N ) -> k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) ) )
352	340, 349, 350, 351	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) /\ k || N ) -> k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) ) )
353	339, 352	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) -> k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) ) )
354	341	zcnd 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> A e. CC )
355	354, 347	absexpd 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
356	355	oveq1d 6073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ` N ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) )
357		gcdabs 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ` N ) ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) )
358	349, 350, 357	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ` N ) ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) )
359		gcdabs 12709	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = ( A gcd N ) )
360	341, 350, 359	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = ( A gcd N ) )
361	292	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A gcd N ) = 1 )
362	360, 361	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 )
363	299	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> -. k || A )
364		dvds0 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k e. ZZ -> k || 0 )
365	340, 364	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k || 0 )
366		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( A = 0 -> ( k || A <-> k || 0 ) )
367	365, 366	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A = 0 -> k || A ) )
368	367	necon3bd 2457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( -. k || A -> A =/= 0 ) )
369	363, 368	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> A =/= 0 )
370		nnabscl 11810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. NN )
371	341, 369, 370	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( abs ` A ) e. NN )
372		simpll3 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
373	289, 372, 86	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( abs ` N ) e. NN )
374	373	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
375		rplpwr 12748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( abs ` A ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 ) )
376	371, 374, 346, 375	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 ) )
377	362, 376	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 )
378	356, 358, 377	3eqtr3d 2275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) = 1 )
379	378	breq2d 4126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) <-> k || 1 ) )
380	353, 379	sylibd 149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) -> k || 1 ) )
381	338, 380	mtod 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> -. k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
382		prmnn 12832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( k e. Prime -> k e. NN )
383	382	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> k e. NN )
384	383	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. NN )
385		dvdsval3 12502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( k e. NN /\ ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ ) -> ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) mod k ) = 0 ) )
386	384, 349, 385	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) mod k ) = 0 ) )
387	386	necon3bbid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( -. k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) <-> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) mod k ) =/= 0 ) )
388	381, 387	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) mod k ) =/= 0 )
389		lgsvalmod 16018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ k e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( A /L k ) mod k ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) mod k ) )
390	341, 344, 389	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( A /L k ) mod k ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) mod k ) )
391		nnq 9983	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> k e. QQ )
392		nngt0 9279	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. NN -> 0 < k )
393		q0mod 10741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. QQ /\ 0 < k ) -> ( 0 mod k ) = 0 )
394	391, 392, 393	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN -> ( 0 mod k ) = 0 )
395	384, 394	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( 0 mod k ) = 0 )
396	388, 390, 395	3netr4d 2447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( A /L k ) mod k ) =/= ( 0 mod k ) )
397		oveq1 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A /L k ) = 0 -> ( ( A /L k ) mod k ) = ( 0 mod k ) )
398	397	necon3i 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A /L k ) mod k ) =/= ( 0 mod k ) -> ( A /L k ) =/= 0 )
399	396, 398	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A /L k ) =/= 0 )
400	279	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> k e. ZZ )
401		zdceq 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( k e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID k = 2 )
402	400, 225, 401	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> DECID k = 2 )
403		dcne 2425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (DECID k = 2 <-> ( k = 2 \/ k =/= 2 ) )
404	402, 403	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( k = 2 \/ k =/= 2 ) )
405	335, 399, 404	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L k ) =/= 0 )
406	280	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
407		zapne 9669	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A /L k ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A /L k ) # 0 <-> ( A /L k ) =/= 0 ) )
408	406, 45, 407	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( ( A /L k ) # 0 <-> ( A /L k ) =/= 0 ) )
409	405, 408	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L k ) # 0 )
410	336, 289, 372, 269	syl12anc 1272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
411	410	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. ZZ )
412	411	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( k pCnt N ) e. ZZ )
413		expclzaplem 10949	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A /L k ) e. CC /\ ( A /L k ) # 0 /\ ( k pCnt N ) e. ZZ ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } )
414	282, 409, 412, 413	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } )
415		dvdsabsb 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( k || N <-> k || ( abs ` N ) ) )
416	279, 289, 415	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || N <-> k || ( abs ` N ) ) )
417	416	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( -. k || N <-> -. k || ( abs ` N ) ) )
418		pceq0 13045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( k e. Prime /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( k pCnt ( abs ` N ) ) = 0 <-> -. k || ( abs ` N ) ) )
419	336, 373, 418	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k pCnt ( abs ` N ) ) = 0 <-> -. k || ( abs ` N ) ) )
420	289, 232	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> N e. QQ )
421		pcabs 13049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( k pCnt ( abs ` N ) ) = ( k pCnt N ) )
422	336, 420, 421	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt ( abs ` N ) ) = ( k pCnt N ) )
423	422	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k pCnt ( abs ` N ) ) = 0 <-> ( k pCnt N ) = 0 ) )
424	417, 419, 423	3bitr2rd 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k pCnt N ) = 0 <-> -. k || N ) )
425	424	biimpar 297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ -. k || N ) -> ( k pCnt N ) = 0 )
426	425	oveq2d 6074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ -. k || N ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) = ( ( A /L k ) ^ 0 ) )
427	281	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ -. k || N ) -> ( A /L k ) e. CC )
428	427	exp0d 11054	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ -. k || N ) -> ( ( A /L k ) ^ 0 ) = 1 )
429	426, 428	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ -. k || N ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) = 1 )
430		ax-1cn 8236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
431		1ap0 8881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 # 0
432		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = 1 -> ( x # 0 <-> 1 # 0 ) )
433	432	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( 1 e. CC /\ 1 # 0 ) )
434	430, 431, 433	mpbir2an 951	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. { x e. CC | x # 0 }
435	429, 434	eqeltrdi 2325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ -. k || N ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } )
436		dvdsdc 12509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ N e. ZZ ) -> DECID k || N )
437	383, 289, 436	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> DECID k || N )
438		exmiddc 844	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (DECID k || N -> ( k || N \/ -. k || N ) )
439	437, 438	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || N \/ -. k || N ) )
440	414, 435, 439	mpjaodan 806	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } )
441	440	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } )
442	434	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. { x e. CC | x # 0 } )
443	441, 442, 275	ifcldadc 3656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. { x e. CC | x # 0 } )
444	277, 443	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. { x e. CC | x # 0 } )
445		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> ( x # 0 <-> k # 0 ) )
446	445	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( k e. CC /\ k # 0 ) )
447		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( x # 0 <-> y # 0 ) )
448	447	elrab 2976	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( y e. CC /\ y # 0 ) )
449		mulcl 8270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ y e. CC ) -> ( k x. y ) e. CC )
450	449	ad2ant2r 509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. CC /\ k # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( k x. y ) e. CC )
451		mulap0 8945	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. CC /\ k # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( k x. y ) # 0 )
452	450, 451	jca 306	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( k e. CC /\ k # 0 ) /\ ( y e. CC /\ y # 0 ) ) -> ( ( k x. y ) e. CC /\ ( k x. y ) # 0 ) )
453	446, 448, 452	syl2anb 291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. { x e. CC | x # 0 } /\ y e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( ( k x. y ) e. CC /\ ( k x. y ) # 0 ) )
454		breq1 4117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( k x. y ) -> ( x # 0 <-> ( k x. y ) # 0 ) )
455	454	elrab 2976	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k x. y ) e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( ( k x. y ) e. CC /\ ( k x. y ) # 0 ) )
456	453, 455	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. { x e. CC | x # 0 } /\ y e. { x e. CC | x # 0 } ) -> ( k x. y ) e. { x e. CC | x # 0 } )
457	456	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ ( k e. { x e. CC | x # 0 } /\ y e. { x e. CC | x # 0 } ) ) -> ( k x. y ) e. { x e. CC | x # 0 } )
458	79, 251, 444, 457	seqf 10850	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) : NN --> { x e. CC | x # 0 } )
459	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
460	458, 459	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } )
461		breq1 4117	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) -> ( x # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) )
462	461	elrab 2976	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } <-> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. CC /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) )
463	462	simprbi 275	. . . . . . . 8 |- ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. { x e. CC | x # 0 } -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 )
464	460, 463	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 )
465	464	ex 115	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A gcd N ) = 1 -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) )
466	250, 465	impbid 129	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
467	50, 101, 466	3bitrd 214	. . . 4 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
468	467	3expa 1230	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
469	47, 468	bitr3d 190	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
470		zdceq 9670	. . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
471	60, 45, 470	sylancl 413	. . 3 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N = 0 )
472		dcne 2425	. . 3 |- (DECID N = 0 <-> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
473	471, 472	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( N = 0 \/ N =/= 0 ) )
474	42, 469, 473	mpjaodan 806	1 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   E.wrex 2523   {crab 2526   \ cdif 3211   ifcif 3624   {csn 3694   {cpr 3695   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   - cmin 8460   -ucneg 8461   # cap 8872   / cdiv 8963   NNcn 9254   2c2 9305   7c7 9310   8c8 9311   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   QQcq 9969   ...cfz 10361   mod cmo 10708   seqcseq 10833   ^cexp 10924   abscabs 11707   || cdvds 12498   gcd cgcd 12674   Primecprime 12829   pCnt cpc 13007   /Lclgs 15996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-sup 7288  df-inf 7289  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-fl 10654  df-mod 10709  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989  df-proddc 12262  df-dvds 12499  df-gcd 12675  df-prm 12830  df-phi 12933  df-pc 13008  df-lgs 15997

This theorem is referenced by:  lgsabs1  16038  lgsprme0  16041  lgsdirnn0  16046  lgsquad3  16083  2lgsoddprm  16112