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Theorem lgsne0 14106
Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to  1 or  -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsne0  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )

Proof of Theorem lgsne0
Dummy variables  k  n  x  y  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsqcl 10576 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
21adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A ^ 2 )  e.  ZZ )
3 1z 9268 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 zdceq 9317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A ^ 2 )  =  1 )
52, 3, 4sylancl 413 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( A ^ 2 )  =  1 )
6 iffalse 3542 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( A ^ 2 )  =  1  ->  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0 )
76a1i 9 . . . . . . . 8  |-  (DECID  ( A ^ 2 )  =  1  ->  ( -.  ( A ^ 2 )  =  1  ->  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
87necon1aidc 2398 . . . . . . 7  |-  (DECID  ( A ^ 2 )  =  1  ->  ( if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0  -> 
( A ^ 2 )  =  1 ) )
95, 8syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0  ->  ( A ^ 2 )  =  1 ) )
10 iftrue 3539 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ 2 )  =  1  ->  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1 )
11 1ne0 8976 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( A ^ 2 )  =  1  ->  1  =/=  0 )
1310, 12eqnetrd 2371 . . . . . 6  |-  ( ( A ^ 2 )  =  1  ->  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0 )
149, 13impbid1 142 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0  <->  ( A ^
2 )  =  1 ) )
1514adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0  <->  ( A ^ 2 )  =  1 ) )
16 zre 9246 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
1716ad2antrr 488 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  A  e.  RR )
18 absresq 11071 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
1917, 18syl 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( abs `  A ) ^
2 )  =  ( A ^ 2 ) )
20 sq1 10599 . . . . . 6  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2120a1i 9 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
2219, 21eqeq12d 2192 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( A ^ 2 )  =  1 ) )
2317recnd 7976 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  A  e.  CC )
2423abscld 11174 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
2523absge0d 11177 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  0  <_  ( abs `  A ) )
26 1re 7947 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
27 0le1 8428 . . . . . 6  |-  0  <_  1
28 sq11 10578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  A
)  =  1 ) )
2926, 27, 28mpanr12 439 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  A
) )  ->  (
( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  A )  =  1 ) )
3024, 25, 29syl2anc 411 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  ( abs `  A )  =  1 ) )
3115, 22, 303bitr2d 216 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0  <->  ( abs `  A )  =  1 ) )
32 oveq2 5877 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( A  /L N )  =  ( A  /L 0 ) )
33 lgs0 14081 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  /L 0 )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
3433adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L 0 )  =  if ( ( A ^
2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
3532, 34sylan9eqr 2232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( A  /L N )  =  if ( ( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 ) )
3635neeq1d 2365 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  if (
( A ^ 2 )  =  1 ,  1 ,  0 )  =/=  0 ) )
37 oveq2 5877 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  ( A  gcd  N )  =  ( A  gcd  0
) )
38 gcdid0 11964 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
3938adantr 276 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  0
)  =  ( abs `  A ) )
4037, 39sylan9eqr 2232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( A  gcd  N )  =  ( abs `  A ) )
4140eqeq1d 2186 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( A  gcd  N )  =  1  <->  ( abs `  A
)  =  1 ) )
4231, 36, 413bitr4d 220 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =  0 )  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
43 lgscl 14082 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
N )  e.  ZZ )
4443adantr 276 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( A  /L N )  e.  ZZ )
45 0z 9253 . . . 4  |-  0  e.  ZZ
46 zapne 9316 . . . 4  |-  ( ( ( A  /L
N )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L N ) #  0  <->  ( A  /L N )  =/=  0 ) )
4744, 45, 46sylancl 413 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( A  /L N ) #  0  <->  ( A  /L N )  =/=  0 ) )
48 eqid 2177 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) )
4948lgsval4 14088 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  /L N )  =  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0
) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) ) )
5049breq1d 4010 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  /L
N ) #  0  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) ) #  0 ) )
51 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  -> 
( N  <  0  /\  A  <  0
) )
5251iftrued 3541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  -u 1 )
53 neg1ne0 9015 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  =/=  0
5453a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  ->  -u 1  =/=  0 )
5552, 54eqnetrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0 )
56 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  ->  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
) )
5756iffalsed 3544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =  1 )
5811a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  -> 
1  =/=  0 )
5957, 58eqnetrd 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0 )
60 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  ZZ )
61 zdclt 9319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  <  0 )
6260, 45, 61sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  <  0 )
63 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
64 zdclt 9319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  0 )
6563, 45, 64sylancl 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  A  <  0 )
66 dcan2 934 . . . . . . . . . . . 12  |-  (DECID  N  <  0  ->  (DECID  A  <  0  -> DECID 
( N  <  0  /\  A  <  0
) ) )
6762, 65, 66sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) )
68 exmiddc 836 . . . . . . . . . . 11  |-  (DECID  ( N  <  0  /\  A  <  0 )  ->  (
( N  <  0  /\  A  <  0
)  \/  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ) )
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  <  0  /\  A  <  0 )  \/  -.  ( N  <  0  /\  A  <  0
) ) )
7055, 59, 69mpjaodan 798 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0 )
7170biantrurd 305 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0  /\  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0 ) ) )
72713adant3 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  =/=  0  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0  /\  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0 ) ) )
73 neg1z 9274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  e.  ZZ
7473a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> 
-u 1  e.  ZZ )
75 1zzd 9269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
7674, 75, 67ifcldcd 3569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  ZZ )
77763adant3 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  ZZ )
7877zcnd 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  CC )
79 nnuz 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
80 1zzd 9269 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  1  e.  ZZ )
8148lgsfcl3 14089 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) : NN --> ZZ )
8281ffvelcdmda 5647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) `  k )  e.  ZZ )
83 zmulcl 9295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  x
)  e.  ZZ )
8483adantl 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( k  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( k  x.  x )  e.  ZZ )
8579, 80, 82, 84seqf 10447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) : NN --> ZZ )
86 nnabscl 11093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
87863adant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
8885, 87ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  e.  ZZ )
8988zcnd 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  e.  CC )
9078, 89mulap0bd 8603 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 ) #  0  /\  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) #  0 )  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) ) #  0 ) )
91 zapne 9316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 ) #  0  <->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0 ) )
9277, 45, 91sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 ) #  0  <->  if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0 ) )
93 zapne 9316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0  <->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0 ) )
9488, 45, 93sylancl 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0  <->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0 ) )
9592, 94anbi12d 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 ) #  0  /\  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) #  0 )  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  =/=  0  /\  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0 ) ) )
9677, 88zmulcld 9370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) )  e.  ZZ )
97 zapne 9316 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) ) #  0  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) )  =/=  0
) )
9896, 45, 97sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) ) #  0  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) )  =/=  0
) )
9990, 95, 983bitr3d 218 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  =/=  0  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0 )  <->  ( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u
1 ,  1 )  x.  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) )  =/=  0
) )
10072, 99bitr2d 189 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) )  =/=  0  <->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  =/=  0
) )
101100, 98, 943bitr4d 220 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( if ( ( N  <  0  /\  A  <  0 ) ,  -u 1 ,  1 )  x.  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) ) #  0  <->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) #  0 ) )
102 gcd2n0cl 11953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  N )  e.  NN )
103102nnzd 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( A  gcd  N )  e.  ZZ )
104 zdceq 9317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  gcd  N
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  gcd  N )  =  1 )
105103, 3, 104sylancl 413 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  -> DECID  ( A  gcd  N
)  =  1 )
106 eluz2b3 9593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  gcd  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( A  gcd  N )  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =/=  1 ) )
107 exprmfct 12121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  gcd  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  ( A  gcd  N ) )
108106, 107sylbir 135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  gcd  N
)  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =/=  1 )  ->  E. p  e.  Prime  p 
||  ( A  gcd  N ) )
109 mulcl 7929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( k  x.  x
)  e.  CC )
110109adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  ( k  e.  CC  /\  x  e.  CC ) )  ->  ( k  x.  x )  e.  CC )
11181ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) : NN --> ZZ )
112 elnnuz 9553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
113112biimpri 133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  k  e.  NN )
114113adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
k  e.  NN )
115111, 114ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) `  k )  e.  ZZ )
116115zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) `  k )  e.  CC )
117 mul02 8334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  CC  ->  (
0  x.  k )  =  0 )
118117adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  k  e.  CC )  ->  ( 0  x.  k
)  =  0 )
119 mul01 8336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  CC  ->  (
k  x.  0 )  =  0 )
120119adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  k  e.  CC )  ->  ( k  x.  0 )  =  0 )
121 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  ||  ( A  gcd  N ) )
122 prmz 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
123122ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  e.  ZZ )
124 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
125 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
126 dvdsgcdb 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( p  ||  A  /\  p  ||  N )  <-> 
p  ||  ( A  gcd  N ) ) )
127123, 124, 125, 126syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( (
p  ||  A  /\  p  ||  N )  <->  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )
128121, 127mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  ||  A  /\  p  ||  N ) )
129128simprd 114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  ||  N
)
130 dvdsabsb 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( p  ||  N  <->  p 
||  ( abs `  N
) ) )
131123, 125, 130syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  ||  N  <->  p  ||  ( abs `  N ) ) )
132129, 131mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  ||  ( abs `  N ) )
13387adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
134 dvdsle 11833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  -> 
( p  ||  ( abs `  N )  ->  p  <_  ( abs `  N
) ) )
135123, 133, 134syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  ||  ( abs `  N
)  ->  p  <_  ( abs `  N ) ) )
136132, 135mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  <_  ( abs `  N ) )
137 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
138137ad2antrl 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  e.  NN )
139138, 79eleqtrdi 2270 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
140133nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( abs `  N )  e.  ZZ )
141 elfz5 10003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( abs `  N )  e.  ZZ )  ->  (
p  e.  ( 1 ... ( abs `  N
) )  <->  p  <_  ( abs `  N ) ) )
142139, 140, 141syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  e.  ( 1 ... ( abs `  N ) )  <-> 
p  <_  ( abs `  N ) ) )
143136, 142mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  e.  ( 1 ... ( abs `  N ) ) )
144 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  p  ->  (
n  e.  Prime  <->  p  e.  Prime ) )
145 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  p  ->  ( A  /L n )  =  ( A  /L p ) )
146 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  p  ->  (
n  pCnt  N )  =  ( p  pCnt  N ) )
147145, 146oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  p  ->  (
( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
)  =  ( ( A  /L p ) ^ ( p 
pCnt  N ) ) )
148144, 147ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  p  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( p  e.  Prime ,  ( ( A  /L
p ) ^ (
p  pCnt  N )
) ,  1 ) )
149 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  e.  Prime )
150149iftrued 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  if (
p  e.  Prime ,  ( ( A  /L
p ) ^ (
p  pCnt  N )
) ,  1 )  =  ( ( A  /L p ) ^ ( p  pCnt  N ) ) )
151 lgscl 14082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
p )  e.  ZZ )
152124, 123, 151syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( A  /L p )  e.  ZZ )
153 simpl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  N  =/=  0 )
154 pczcl 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  N
)  e.  NN0 )
155149, 125, 153, 154syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  pCnt  N )  e.  NN0 )
156 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  /L
p )  e.  ZZ  /\  ( p  pCnt  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  /L p ) ^
( p  pCnt  N
) )  e.  ZZ )
157152, 155, 156syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( ( A  /L p ) ^ ( p  pCnt  N ) )  e.  ZZ )
158150, 157eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  if (
p  e.  Prime ,  ( ( A  /L
p ) ^ (
p  pCnt  N )
) ,  1 )  e.  ZZ )
15948, 148, 138, 158fvmptd3 5605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) `  p
)  =  if ( p  e.  Prime ,  ( ( A  /L
p ) ^ (
p  pCnt  N )
) ,  1 ) )
160 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p  =  2  ->  ( A  /L p )  =  ( A  /L 2 ) )
161 lgs2 14085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  /L 2 )  =  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
162124, 161syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( A  /L 2 )  =  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
163160, 162sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =  2 )  ->  ( A  /L p )  =  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
164 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =  2 )  ->  p  =  2 )
165128simpld 112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  p  ||  A
)
166165adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =  2 )  ->  p  ||  A
)
167164, 166eqbrtrrd 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =  2 )  ->  2  ||  A
)
168167iftrued 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =  2 )  ->  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) )  =  0 )
169163, 168eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =  2 )  ->  ( A  /L p )  =  0 )
170 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
171149adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  e.  Prime )
172 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  =/=  2 )
173 eldifsn 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( p  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( p  e.  Prime  /\  p  =/=  2 ) )
174171, 172, 173sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
175 lgsval3 14086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( A  /L p )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  p )  -  1 ) )
176170, 174, 175syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( A  /L
p )  =  ( ( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  p
)  -  1 ) )
177 oddprm 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( p  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
178174, 177syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
179178nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( p  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )
180 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( p  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( p  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
181170, 179, 180syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( p  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
182 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  ->  ( A ^ ( ( p  -  1 )  / 
2 ) )  e.  QQ )
183181, 182syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( A ^ (
( p  -  1 )  /  2 ) )  e.  QQ )
184 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
18545, 184mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
0  e.  QQ )
186 1nn 8919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  NN
187 nnq 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 1  e.  NN  ->  1  e.  QQ )
188186, 187mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
1  e.  QQ )
189171, 137syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  e.  NN )
190 nnq 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  NN  ->  p  e.  QQ )
191189, 190syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  e.  QQ )
192 nngt0 8933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  NN  ->  0  <  p )
193189, 192syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
0  <  p )
194 0zd 9254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
0  e.  ZZ )
195165adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  ||  A )
196 dvdsval3 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  NN  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( p  ||  A  <->  ( A  mod  p )  =  0 ) )
197189, 170, 196syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( p  ||  A  <->  ( A  mod  p )  =  0 ) )
198195, 197mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( A  mod  p
)  =  0 )
199 q0mod 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  0  <  p )  -> 
( 0  mod  p
)  =  0 )
200190, 192, 199syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( p  e.  NN  ->  (
0  mod  p )  =  0 )
201189, 200syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( 0  mod  p
)  =  0 )
202198, 201eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( A  mod  p
)  =  ( 0  mod  p ) )
203170, 194, 179, 191, 193, 202modqexp 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( p  - 
1 )  /  2
) )  mod  p
)  =  ( ( 0 ^ ( ( p  -  1 )  /  2 ) )  mod  p ) )
2041780expd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( 0 ^ (
( p  -  1 )  /  2 ) )  =  0 )
205204oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( 0 ^ ( ( p  - 
1 )  /  2
) )  mod  p
)  =  ( 0  mod  p ) )
206203, 205eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( A ^
( ( p  - 
1 )  /  2
) )  mod  p
)  =  ( 0  mod  p ) )
207183, 185, 188, 191, 193, 206modqadd1 10347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  p
)  =  ( ( 0  +  1 )  mod  p ) )
208 0p1e1 9022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 0  +  1 )  =  1
209208oveq1i 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 0  +  1 )  mod  p )  =  ( 1  mod  p
)
210207, 209eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  p
)  =  ( 1  mod  p ) )
211 prmuz2 12114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
212171, 211syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  ->  p  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
213 eluzelz 9526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  p  e.  ZZ )
214 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( p  e.  ZZ  ->  p  e.  QQ )
215213, 214syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  p  e.  QQ )
216 eluz2gt1 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  p )
217 q1mod 10342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e.  QQ  /\  1  <  p )  -> 
( 1  mod  p
)  =  1 )
218215, 216, 217syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( 1  mod  p )  =  1 )
219212, 218syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( 1  mod  p
)  =  1 )
220210, 219eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  / 
2 ) )  +  1 )  mod  p
)  =  1 )
221220oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  p )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
222 1m1e0 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  -  1 )  =  0
223221, 222eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( ( ( ( A ^ ( ( p  -  1 )  /  2 ) )  +  1 )  mod  p )  -  1 )  =  0 )
224176, 223eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N
) ) )  /\  p  =/=  2 )  -> 
( A  /L
p )  =  0 )
225 2z 9270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  ZZ
226 zdceq 9317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  -> DECID  p  =  2 )
227123, 225, 226sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  -> DECID  p  =  2
)
228 dcne 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (DECID  p  =  2  <->  ( p  =  2  \/  p  =/=  2 ) )
229227, 228sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  =  2  \/  p  =/=  2 ) )
230169, 224, 229mpjaodan 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( A  /L p )  =  0 )
231230oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( ( A  /L p ) ^ ( p  pCnt  N ) )  =  ( 0 ^ ( p 
pCnt  N ) ) )
232 zq 9615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  QQ )
233125, 232syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  N  e.  QQ )
234 pcabs 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  N ) )  =  ( p  pCnt  N
) )
235149, 233, 234syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  pCnt  ( abs `  N
) )  =  ( p  pCnt  N )
)
236 pcelnn 12303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  ->  (
( p  pCnt  ( abs `  N ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( abs `  N ) ) )
237149, 133, 236syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( (
p  pCnt  ( abs `  N ) )  e.  NN  <->  p  ||  ( abs `  N ) ) )
238132, 237mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  pCnt  ( abs `  N
) )  e.  NN )
239235, 238eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( p  pCnt  N )  e.  NN )
2402390expd 10655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( 0 ^ ( p  pCnt  N ) )  =  0 )
241231, 240eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( ( A  /L p ) ^ ( p  pCnt  N ) )  =  0 )
242159, 150, 2413eqtrd 2214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  ( (
n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) `  p
)  =  0 )
243110, 116, 118, 120, 143, 242seq3z 10497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( p  e.  Prime  /\  p  ||  ( A  gcd  N ) ) )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =  0 )
244243rexlimdvaa 2595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  ( E. p  e.  Prime  p 
||  ( A  gcd  N )  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =  0 ) )
245108, 244syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( ( A  gcd  N )  e.  NN  /\  ( A  gcd  N )  =/=  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  =  0 ) )
246102, 245mpand 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  N
)  =/=  1  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  =  0 ) )
247246a1d 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (DECID  ( A  gcd  N )  =  1  ->  ( ( A  gcd  N )  =/=  1  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =  0 ) ) )
248247necon1ddc 2425 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (DECID  ( A  gcd  N )  =  1  ->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  =/=  0  -> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) ) )
249105, 248mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  =/=  0  ->  ( A  gcd  N
)  =  1 ) )
25094, 249sylbid 150 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0  -> 
( A  gcd  N
)  =  1 ) )
251 1zzd 9269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  -> 
1  e.  ZZ )
252 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
n  e.  Prime  <->  k  e.  Prime ) )
253 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  ( A  /L n )  =  ( A  /L k ) )
254 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  pCnt  N )  =  ( k  pCnt  N ) )
255253, 254oveq12d 5887 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  (
( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
)  =  ( ( A  /L k ) ^ ( k 
pCnt  N ) ) )
256252, 255ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 )  =  if ( k  e.  Prime ,  ( ( A  /L
k ) ^ (
k  pCnt  N )
) ,  1 ) )
257 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
258 simp1 997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  A  e.  ZZ )
259258ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
260 prmz 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  Prime  ->  k  e.  ZZ )
261260adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  ZZ )
262 lgscl 14082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( A  /L
k )  e.  ZZ )
263259, 261, 262syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( A  /L k )  e.  ZZ )
264 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  Prime )
265 simp2 998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  e.  ZZ )
266265ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
267 simp3 999 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  N  =/=  0 )
268267ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  =/=  0 )
269 pczcl 12281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( k  pCnt  N
)  e.  NN0 )
270264, 266, 268, 269syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  pCnt  N )  e.  NN0 )
271 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  /L
k )  e.  ZZ  /\  ( k  pCnt  N
)  e.  NN0 )  ->  ( ( A  /L k ) ^
( k  pCnt  N
) )  e.  ZZ )
272263, 270, 271syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( A  /L
k ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  ZZ )
273 1zzd 9269 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e.  Prime )  -> 
1  e.  ZZ )
274 prmdc 12113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  -> DECID  k  e.  Prime )
275274adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  -> DECID  k  e.  Prime )
276272, 273, 275ifcldadc 3563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( ( A  /L k ) ^
( k  pCnt  N
) ) ,  1 )  e.  ZZ )
27748, 256, 257, 276fvmptd3 5605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) `  k
)  =  if ( k  e.  Prime ,  ( ( A  /L
k ) ^ (
k  pCnt  N )
) ,  1 ) )
278 simpll1 1036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  A  e.  ZZ )
279260adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  ZZ )
280278, 279, 262syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( A  /L k )  e.  ZZ )
281280zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( A  /L k )  e.  CC )
282281adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  ( A  /L k )  e.  CC )
283 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  2  ->  ( A  /L k )  =  ( A  /L 2 ) )
284278adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  A  e.  ZZ )
285284, 161syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  ( A  /L 2 )  =  if ( 2 
||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 ) ) )
286283, 285sylan9eqr 2232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =  2 )  -> 
( A  /L
k )  =  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) ) )
287 nprmdvds1 12123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  Prime  ->  -.  k  ||  1 )
288287adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  -.  k  ||  1 )
289 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
290 dvdsgcdb 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( k  ||  A  /\  k  ||  N )  <-> 
k  ||  ( A  gcd  N ) ) )
291279, 278, 289, 290syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( k  ||  A  /\  k  ||  N )  <-> 
k  ||  ( A  gcd  N ) ) )
292 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 )
293292breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  ||  ( A  gcd  N )  <->  k  ||  1 ) )
294291, 293bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( k  ||  A  /\  k  ||  N )  <-> 
k  ||  1 ) )
295288, 294mtbird 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  -.  ( k  ||  A  /\  k  ||  N ) )
296 imnan 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( k  ||  A  ->  -.  k  ||  N )  <->  -.  ( k  ||  A  /\  k  ||  N ) )
297295, 296sylibr 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  ||  A  ->  -.  k  ||  N ) )
298297con2d 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  ||  N  ->  -.  k  ||  A ) )
299298imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  -.  k  ||  A )
300 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  2  ->  (
k  ||  A  <->  2  ||  A ) )
301300notbid 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( k  =  2  ->  ( -.  k  ||  A  <->  -.  2  ||  A ) )
302299, 301syl5ibcom 155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  (
k  =  2  ->  -.  2  ||  A ) )
303302imp 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =  2 )  ->  -.  2  ||  A )
304303iffalsed 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =  2 )  ->  if ( 2  ||  A ,  0 ,  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )  =  if ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ,  1 , 
-u 1 ) )
305286, 304eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =  2 )  -> 
( A  /L
k )  =  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 ) )
306 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )
307306iftrued 3541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  =  1 )
30811a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  1  =/=  0
)
309307, 308eqnetrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  =/=  0 )
310 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  -.  ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } )
311310iffalsed 3544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  = 
-u 1 )
31253a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  -u 1  =/=  0
)
313311, 312eqnetrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 } ,  1 ,  -u 1 )  =/=  0 )
314 8nn 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  8  e.  NN
315 zmodcl 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  8  e.  NN )  ->  ( A  mod  8
)  e.  NN0 )
316314, 315mpan2 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  mod  8 )  e. 
NN0 )
317316nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  mod  8 )  e.  ZZ )
318 zdceq 9317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  mod  8
)  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  mod  8 )  =  1 )
319317, 3, 318sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  =  1 )
320 7nn 9074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  e.  NN
321320nnzi 9263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  7  e.  ZZ
322 zdceq 9317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A  mod  8
)  e.  ZZ  /\  7  e.  ZZ )  -> DECID  ( A  mod  8 )  =  7 )
323317, 321, 322sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  =  7 )
324 dcor 935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (DECID  ( A  mod  8 )  =  1  ->  (DECID  ( A  mod  8 )  =  7  -> DECID 
( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
325319, 323, 324sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) )
326 elprg 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  mod  8 )  e.  NN0  ->  ( ( A  mod  8 )  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
327316, 326syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  <->  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
328327dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (DECID  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  <-> DECID  ( ( A  mod  8 )  =  1  \/  ( A  mod  8 )  =  7 ) ) )
329325, 328mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ZZ  -> DECID  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } )
330 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (DECID  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  ->  ( ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 }  \/  -.  ( A  mod  8 )  e. 
{ 1 ,  7 } ) )
331329, 330syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 }  \/  -.  ( A  mod  8
)  e.  { 1 ,  7 } ) )
332309, 313, 331mpjaodan 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  ZZ  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =/=  0
)
333258, 332syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =/=  0
)
334333ad4antr 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =  2 )  ->  if ( ( A  mod  8 )  e.  {
1 ,  7 } ,  1 ,  -u
1 )  =/=  0
)
335305, 334eqnetrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =  2 )  -> 
( A  /L
k )  =/=  0
)
336 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  Prime )
337336ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  e.  Prime )
338337, 287syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  -.  k  ||  1 )
339 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  ||  N )
340337, 260syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  e.  ZZ )
341284adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  A  e.  ZZ )
342 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  =/=  2 )
343 eldifsn 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( k  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( k  e.  Prime  /\  k  =/=  2 ) )
344337, 342, 343sylanbrc 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
345 oddprm 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( k  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( k  - 
1 )  /  2
)  e.  NN )
346344, 345syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( k  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
347346nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( k  -  1 )  /  2 )  e.  NN0 )
348 zexpcl 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( ( k  - 
1 )  /  2
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )
349341, 347, 348syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  e.  ZZ )
350289ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  N  e.  ZZ )
351 dvdsgcd 11996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  /\  k  ||  N )  -> 
k  ||  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  gcd 
N ) ) )
352340, 349, 350, 351syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  /\  k  ||  N )  -> 
k  ||  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  gcd 
N ) ) )
353339, 352mpan2d 428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  -> 
k  ||  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  gcd 
N ) ) )
354341zcnd 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  A  e.  CC )
355354, 347absexpd 11185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( abs `  ( A ^
( ( k  - 
1 )  /  2
) ) )  =  ( ( abs `  A
) ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) ) )
356355oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( abs `  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) ) )  gcd  ( abs `  N
) )  =  ( ( ( abs `  A
) ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  ( abs `  N
) ) )
357 gcdabs 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) ) )  gcd  ( abs `  N
) )  =  ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  N ) )
358349, 350, 357syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( abs `  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) ) )  gcd  ( abs `  N
) )  =  ( ( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  N ) )
359 gcdabs 11972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  A
)  gcd  ( abs `  N ) )  =  ( A  gcd  N
) )
360341, 350, 359syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( abs `  A
)  gcd  ( abs `  N ) )  =  ( A  gcd  N
) )
361292ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( A  gcd  N )  =  1 )
362360, 361eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( abs `  A
)  gcd  ( abs `  N ) )  =  1 )
363299adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  -.  k  ||  A )
364 dvds0 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  ||  0 )
365340, 364syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  ||  0 )
366 breq2 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A  =  0  ->  (
k  ||  A  <->  k  ||  0 ) )
367365, 366syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( A  =  0  ->  k 
||  A ) )
368367necon3bd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( -.  k  ||  A  ->  A  =/=  0 ) )
369363, 368mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  A  =/=  0 )
370 nnabscl 11093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  NN )
371341, 369, 370syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
372 simpll3 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  =/=  0 )
373289, 372, 86syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
374373ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( abs `  N )  e.  NN )
375 rplpwr 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  NN  /\  ( abs `  N )  e.  NN  /\  (
( k  -  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( ( ( abs `  A )  gcd  ( abs `  N ) )  =  1  ->  (
( ( abs `  A
) ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  ( abs `  N
) )  =  1 ) )
376371, 374, 346, 375syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( ( abs `  A
)  gcd  ( abs `  N ) )  =  1  ->  ( (
( abs `  A
) ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  ( abs `  N
) )  =  1 ) )
377362, 376mpd 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( ( abs `  A
) ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  ( abs `  N
) )  =  1 )
378356, 358, 3773eqtr3d 2218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  gcd  N )  =  1 )
379378breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
k  ||  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  gcd 
N )  <->  k  ||  1 ) )
380353, 379sylibd 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  -> 
k  ||  1 ) )
381338, 380mtod 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  -.  k  ||  ( A ^
( ( k  - 
1 )  /  2
) ) )
382 prmnn 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  e.  Prime  ->  k  e.  NN )
383382adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  k  e.  NN )
384383ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  k  e.  NN )
385 dvdsval3 11782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  <->  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  mod  k )  =  0 ) )
386384, 349, 385syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  <->  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  mod  k )  =  0 ) )
387386necon3bbid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( -.  k  ||  ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  <->  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  / 
2 ) )  mod  k )  =/=  0
) )
388381, 387mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( A ^ (
( k  -  1 )  /  2 ) )  mod  k )  =/=  0 )
389 lgsvalmod 14087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  k  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( A  /L k )  mod  k )  =  ( ( A ^
( ( k  - 
1 )  /  2
) )  mod  k
) )
390341, 344, 389syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( A  /L
k )  mod  k
)  =  ( ( A ^ ( ( k  -  1 )  /  2 ) )  mod  k ) )
391 nnq 9622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  QQ )
392 nngt0 8933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
393 q0mod 10341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  QQ  /\  0  <  k )  -> 
( 0  mod  k
)  =  0 )
394391, 392, 393syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN  ->  (
0  mod  k )  =  0 )
395384, 394syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
0  mod  k )  =  0 )
396388, 390, 3953netr4d 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  (
( A  /L
k )  mod  k
)  =/=  ( 0  mod  k ) )
397 oveq1 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A  /L k )  =  0  -> 
( ( A  /L k )  mod  k )  =  ( 0  mod  k ) )
398397necon3i 2395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  /L
k )  mod  k
)  =/=  ( 0  mod  k )  -> 
( A  /L
k )  =/=  0
)
399396, 398syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  /\  k  =/=  2 )  ->  ( A  /L k )  =/=  0 )
400279adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  k  e.  ZZ )
401 zdceq 9317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  -> DECID  k  =  2 )
402400, 225, 401sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  -> DECID  k  =  2
)
403 dcne 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (DECID  k  =  2  <->  ( k  =  2  \/  k  =/=  2 ) )
404402, 403sylib 122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  (
k  =  2  \/  k  =/=  2 ) )
405335, 399, 404mpjaodan 798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  ( A  /L k )  =/=  0 )
406280adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  ( A  /L k )  e.  ZZ )
407 zapne 9316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  /L
k )  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L k ) #  0  <->  ( A  /L k )  =/=  0 ) )
408406, 45, 407sylancl 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  (
( A  /L
k ) #  0  <->  ( A  /L k )  =/=  0 ) )
409405, 408mpbird 167 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  ( A  /L k ) #  0 )
410336, 289, 372, 269syl12anc 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  pCnt  N )  e.  NN0 )
411410nn0zd 9362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  pCnt  N )  e.  ZZ )
412411adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  (
k  pCnt  N )  e.  ZZ )
413 expclzaplem 10530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  /L
k )  e.  CC  /\  ( A  /L
k ) #  0  /\  ( k  pCnt  N
)  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L k ) ^ ( k  pCnt  N ) )  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } )
414282, 409, 412, 413syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  k  ||  N )  ->  (
( A  /L
k ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
415 dvdsabsb 11801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( k  ||  N  <->  k 
||  ( abs `  N
) ) )
416279, 289, 415syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  ||  N  <->  k  ||  ( abs `  N ) ) )
417416notbid 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  ( -.  k  ||  N  <->  -.  k  ||  ( abs `  N
) ) )
418 pceq0 12304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  ( abs `  N )  e.  NN )  ->  (
( k  pCnt  ( abs `  N ) )  =  0  <->  -.  k  ||  ( abs `  N
) ) )
419336, 373, 418syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( k  pCnt  ( abs `  N ) )  =  0  <->  -.  k  ||  ( abs `  N
) ) )
420289, 232syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  N  e.  QQ )
421 pcabs 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( k  e.  Prime  /\  N  e.  QQ )  ->  (
k  pCnt  ( abs `  N ) )  =  ( k  pCnt  N
) )
422336, 420, 421syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  pCnt  ( abs `  N ) )  =  ( k  pCnt  N
) )
423422eqeq1d 2186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( k  pCnt  ( abs `  N ) )  =  0  <->  ( k  pCnt  N )  =  0 ) )
424417, 419, 4233bitr2rd 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( k  pCnt  N
)  =  0  <->  -.  k  ||  N ) )
425424biimpar 297 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  ||  N )  -> 
( k  pCnt  N
)  =  0 )
426425oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  ||  N )  -> 
( ( A  /L k ) ^
( k  pCnt  N
) )  =  ( ( A  /L
k ) ^ 0 ) )
427281adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  ||  N )  -> 
( A  /L
k )  e.  CC )
428427exp0d 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  ||  N )  -> 
( ( A  /L k ) ^
0 )  =  1 )
429426, 428eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  ||  N )  -> 
( ( A  /L k ) ^
( k  pCnt  N
) )  =  1 )
430 ax-1cn 7895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
431 1ap0 8537 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1 #  0
432 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  1  ->  (
x #  0  <->  1 #  0
) )
433432elrab 2893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( 1  e.  CC  /\  1 #  0 ) )
434430, 431, 433mpbir2an 942 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }
435429, 434eqeltrdi 2268 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  /\  -.  k  ||  N )  -> 
( ( A  /L k ) ^
( k  pCnt  N
) )  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } )
436 dvdsdc 11789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  k 
||  N )
437383, 289, 436syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  -> DECID  k  ||  N )
438 exmiddc 836 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (DECID  k  ||  N  ->  ( k  ||  N  \/  -.  k  ||  N ) )
439437, 438syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
k  ||  N  \/  -.  k  ||  N ) )
440414, 435, 439mpjaodan 798 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( A  /L
k ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
441440adantlr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  k  e.  Prime )  ->  (
( A  /L
k ) ^ (
k  pCnt  N )
)  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
442434a1i 9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  /\  -.  k  e.  Prime )  -> 
1  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
443441, 442, 275ifcldadc 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  if ( k  e.  Prime ,  ( ( A  /L k ) ^
( k  pCnt  N
) ) ,  1 )  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
444277, 443eqeltrd 2254 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) `  k
)  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
445 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  (
x #  0  <->  k #  0
) )
446445elrab 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( k  e.  CC  /\  k #  0 ) )
447 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  (
x #  0  <->  y #  0
) )
448447elrab 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )
449 mulcl 7929 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( k  x.  y
)  e.  CC )
450449ad2ant2r 509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  CC  /\  k #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( k  x.  y )  e.  CC )
451 mulap0 8600 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  e.  CC  /\  k #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( k  x.  y ) #  0 )
452450, 451jca 306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  e.  CC  /\  k #  0 )  /\  ( y  e.  CC  /\  y #  0 ) )  ->  ( ( k  x.  y )  e.  CC  /\  ( k  x.  y ) #  0 ) )
453446, 448, 452syl2anb 291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  y  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( (
k  x.  y )  e.  CC  /\  (
k  x.  y ) #  0 ) )
454 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( k  x.  y )  ->  (
x #  0  <->  ( k  x.  y ) #  0 ) )
455454elrab 2893 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  x.  y )  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( ( k  x.  y )  e.  CC  /\  ( k  x.  y ) #  0 ) )
456453, 455sylibr 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  y  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
)  ->  ( k  x.  y )  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } )
457456adantl 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  /\  (
k  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 }  /\  y  e. 
{ x  e.  CC  |  x #  0 }
) )  ->  (
k  x.  y )  e.  { x  e.  CC  |  x #  0 } )
45879, 251, 444, 457seqf 10447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  ->  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) : NN --> { x  e.  CC  |  x #  0 } )
45987adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  -> 
( abs `  N
)  e.  NN )
460458, 459ffvelcdmd 5648 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 } )
461 breq1 4003 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  ->  ( x #  0 
<->  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L
n ) ^ (
n  pCnt  N )
) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) #  0 ) )
462461elrab 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  <->  ( (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) )  e.  CC  /\  (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0 ) )
463462simprbi 275 . . . . . . . 8  |-  ( (  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) )  e.  {
x  e.  CC  |  x #  0 }  ->  (  seq 1 (  x.  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^
( n  pCnt  N
) ) ,  1 ) ) ) `  ( abs `  N ) ) #  0 )
464460, 463syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  N )  =  1 )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0 )
465464ex 115 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  gcd  N
)  =  1  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0 ) )
466250, 465impbid 129 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
(  seq 1 (  x.  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( ( A  /L n ) ^ ( n 
pCnt  N ) ) ,  1 ) ) ) `
 ( abs `  N
) ) #  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
46750, 101, 4663bitrd 214 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( A  /L
N ) #  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
4684673expa 1203 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( A  /L N ) #  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
46947, 468bitr3d 190 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  N  =/=  0
)  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
470 zdceq 9317 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
47160, 45, 470sylancl 413 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  0 )
472 dcne 2358 . . 3  |-  (DECID  N  =  0  <->  ( N  =  0  \/  N  =/=  0 ) )
473471, 472sylib 122 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  =  0  \/  N  =/=  0
) )
47442, 469, 473mpjaodan 798 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( A  /L N )  =/=  0  <->  ( A  gcd  N )  =  1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   E.wrex 2456   {crab 2459    \ cdif 3126   ifcif 3534   {csn 3591   {cpr 3592   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803    + caddc 7805    x. cmul 7807    < clt 7982    <_ cle 7983    - cmin 8118   -ucneg 8119   # cap 8528    / cdiv 8618   NNcn 8908   2c2 8959   7c7 8964   8c8 8965   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   QQcq 9608   ...cfz 9995    mod cmo 10308    seqcseq 10431   ^cexp 10505   abscabs 10990    || cdvds 11778    gcd cgcd 11926   Primecprime 12090    pCnt cpc 12267    /Lclgs 14065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-5 8970  df-6 8971  df-7 8972  df-8 8973  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-proddc 11543  df-dvds 11779  df-gcd 11927  df-prm 12091  df-phi 12194  df-pc 12268  df-lgs 14066
This theorem is referenced by:  lgsabs1  14107  lgsprme0  14110  lgsdirnn0  14115
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