Theorem lgsne0 13698

Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -u 1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsne0	|- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )

Proof of Theorem lgsne0

Dummy variables k n x y p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsqcl 10539	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ZZ -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
2	1	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A ^ 2 ) e. ZZ )
3		1z 9231	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		zdceq 9280	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A ^ 2 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
5	2, 3, 4	sylancl 411	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( A ^ 2 ) = 1 )
6		iffalse 3533	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 )
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 |- (DECID ( A ^ 2 ) = 1 -> ( -. ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 0 ) )
8	7	necon1aidc 2391	. . . . . . 7 |- (DECID ( A ^ 2 ) = 1 -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 -> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
9	5, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 -> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
10		iftrue 3530	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) = 1 )
11		1ne0 8939	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( A ^ 2 ) = 1 -> 1 =/= 0 )
13	10, 12	eqnetrd 2364	. . . . . 6 |- ( ( A ^ 2 ) = 1 -> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 )
14	9, 13	impbid1 141	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
15	14	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
16		zre 9209	. . . . . . 7 |- ( A e. ZZ -> A e. RR )
17	16	ad2antrr 485	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> A e. RR )
18		absresq 11035	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
19	17, 18	syl 14	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( A ^ 2 ) )
20		sq1 10562	. . . . . 6 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
21	20	a1i 9	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( 1 ^ 2 ) = 1 )
22	19, 21	eqeq12d 2185	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( A ^ 2 ) = 1 ) )
23	17	recnd 7941	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> A e. CC )
24	23	abscld 11138	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( abs ` A ) e. RR )
25	23	absge0d 11141	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> 0 <_ ( abs ` A ) )
26		1re 7912	. . . . . 6 |- 1 e. RR
27		0le1 8393	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
28		sq11 10541	. . . . . 6 |- ( ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) /\ ( 1 e. RR /\ 0 <_ 1 ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
29	26, 27, 28	mpanr12 437	. . . . 5 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` A ) ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
30	24, 25, 29	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ 2 ) = ( 1 ^ 2 ) <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
31	15, 22, 30	3bitr2d 215	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
32		oveq2 5859	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( A /L N ) = ( A /L 0 ) )
33		lgs0 13673	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
34	33	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L 0 ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
35	32, 34	sylan9eqr 2225	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A /L N ) = if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) )
36	35	neeq1d 2358	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> if ( ( A ^ 2 ) = 1 , 1 , 0 ) =/= 0 ) )
37		oveq2 5859	. . . . 5 |- ( N = 0 -> ( A gcd N ) = ( A gcd 0 ) )
38		gcdid0 11928	. . . . . 6 |- ( A e. ZZ -> ( A gcd 0 ) = ( abs ` A ) )
39	38	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A gcd 0 ) = ( abs ` A ) )
40	37, 39	sylan9eqr 2225	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( A gcd N ) = ( abs ` A ) )
41	40	eqeq1d 2179	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( A gcd N ) = 1 <-> ( abs ` A ) = 1 ) )
42	31, 36, 41	3bitr4d 219	. 2 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N = 0 ) -> ( ( A /L N ) =/= 0 <-> ( A gcd N ) = 1 ) )
43		lgscl 13674	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
44	43	adantr 274	. . . 4 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) e. ZZ )
45		0z 9216	. . . 4 |- 0 e. ZZ
46		zapne 9279	. . . 4 |- ( ( ( A /L N ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( A /L N ) =/= 0 ) )
47	44, 45, 46	sylancl 411	. . 3 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( A /L N ) =/= 0 ) )
48		eqid 2170	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) )
49	48	lgsval4 13680	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A /L N ) = ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) )
50	49	breq1d 3997	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A /L N ) # 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 ) )
51		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> ( N < 0 /\ A < 0 ) )
52	51	iftrued 3532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = -u 1 )
53		neg1ne0 8978	. . . . . . . . . . . 12 |- -u 1 =/= 0
54	53	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> -u 1 =/= 0 )
55	52, 54	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 )
56		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> -. ( N < 0 /\ A < 0 ) )
57	56	iffalsed 3535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) = 1 )
58	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> 1 =/= 0 )
59	57, 58	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 )
60		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> N e. ZZ )
61		zdclt 9282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
62	60, 45, 61	sylancl 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID N < 0 )
63		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> A e. ZZ )
64		zdclt 9282	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
65	63, 45, 64	sylancl 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID A < 0 )
66		dcan2 929	. . . . . . . . . . . 12 |- (DECID N < 0 -> (DECID A < 0 -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
67	62, 65, 66	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) )
68		exmiddc 831	. . . . . . . . . . 11 |- (DECID ( N < 0 /\ A < 0 ) -> ( ( N < 0 /\ A < 0 ) \/ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N < 0 /\ A < 0 ) \/ -. ( N < 0 /\ A < 0 ) ) )
70	55, 59, 69	mpjaodan 793	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 )
71	70	biantrurd 303	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) ) )
72	71	3adant3 1012	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) ) )
73		neg1z 9237	. . . . . . . . . . . . 13 |- -u 1 e. ZZ
74	73	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> -u 1 e. ZZ )
75		1zzd 9232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> 1 e. ZZ )
76	74, 75, 67	ifcldcd 3560	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
77	76	3adant3 1012	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ )
78	77	zcnd 9328	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. CC )
79		nnuz 9515	. . . . . . . . . . . 12 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
80		1zzd 9232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> 1 e. ZZ )
81	48	lgsfcl3 13681	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) : NN --> ZZ )
82	81	ffvelrnda 5629	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
83		zmulcl 9258	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( k x. x ) e. ZZ )
84	83	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( k e. ZZ /\ x e. ZZ ) ) -> ( k x. x ) e. ZZ )
85	79, 80, 82, 84	seqf 10410	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) : NN --> ZZ )
86		nnabscl 11057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
87	86	3adant1 1010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
88	85, 87	ffvelrnd 5630	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ )
89	88	zcnd 9328	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. CC )
90	78, 89	mulap0bd 8568	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 ) )
91		zapne 9279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 <-> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 ) )
92	77, 45, 91	sylancl 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 <-> if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 ) )
93		zapne 9279	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) )
94	88, 45, 93	sylancl 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) )
95	92, 94	anbi12d 470	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) # 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) ) )
96	77, 88	zmulcld 9333	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ )
97		zapne 9279	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 ) )
98	96, 45, 97	sylancl 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 ) )
99	90, 95, 98	3bitr3d 217	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) =/= 0 /\ ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) <-> ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 ) )
100	72, 99	bitr2d 188	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) =/= 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 ) )
101	100, 98, 94	3bitr4d 219	. . . . 5 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( if ( ( N < 0 /\ A < 0 ) , -u 1 , 1 ) x. ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) ) # 0 <-> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 ) )
102		gcd2n0cl 11917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A gcd N ) e. NN )
103	102	nnzd 9326	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( A gcd N ) e. ZZ )
104		zdceq 9280	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A gcd N ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A gcd N ) = 1 )
105	103, 3, 104	sylancl 411	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> DECID ( A gcd N ) = 1 )
106		eluz2b3 9556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A gcd N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( ( A gcd N ) e. NN /\ ( A gcd N ) =/= 1 ) )
107		exprmfct 12085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A gcd N ) e. ( ZZ>= ` 2 ) -> E. p e. Prime p || ( A gcd N ) )
108	106, 107	sylbir 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A gcd N ) e. NN /\ ( A gcd N ) =/= 1 ) -> E. p e. Prime p || ( A gcd N ) )
109		mulcl 7894	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. CC /\ x e. CC ) -> ( k x. x ) e. CC )
110	109	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ ( k e. CC /\ x e. CC ) ) -> ( k x. x ) e. CC )
111	81	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) : NN --> ZZ )
112		elnnuz 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN <-> k e. ( ZZ>= ` 1 ) )
113	112	biimpri 132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` 1 ) -> k e. NN )
114	113	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> k e. NN )
115	111, 114	ffvelrnd 5630	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. ZZ )
116	115	zcnd 9328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) e. CC )
117		mul02 8299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. CC -> ( 0 x. k ) = 0 )
118	117	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. CC ) -> ( 0 x. k ) = 0 )
119		mul01 8301	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k e. CC -> ( k x. 0 ) = 0 )
120	119	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ k e. CC ) -> ( k x. 0 ) = 0 )
121		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || ( A gcd N ) )
122		prmz 12058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
123	122	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. ZZ )
124		simpl1 995	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> A e. ZZ )
125		simpl2 996	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> N e. ZZ )
126		dvdsgcdb 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. ZZ /\ A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( p || A /\ p || N ) <-> p || ( A gcd N ) ) )
127	123, 124, 125, 126	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( p || A /\ p || N ) <-> p || ( A gcd N ) ) )
128	121, 127	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p || A /\ p || N ) )
129	128	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || N )
130		dvdsabsb 11765	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( p e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( p || N <-> p || ( abs ` N ) ) )
131	123, 125, 130	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p || N <-> p || ( abs ` N ) ) )
132	129, 131	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || ( abs ` N ) )
133	87	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( abs ` N ) e. NN )
134		dvdsle 11797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( p e. ZZ /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( p || ( abs ` N ) -> p <_ ( abs ` N ) ) )
135	123, 133, 134	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p || ( abs ` N ) -> p <_ ( abs ` N ) ) )
136	132, 135	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p <_ ( abs ` N ) )
137		prmnn 12057	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
138	137	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. NN )
139	138, 79	eleqtrdi 2263	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. ( ZZ>= ` 1 ) )
140	133	nnzd 9326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( abs ` N ) e. ZZ )
141		elfz5 9966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( p e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( abs ` N ) e. ZZ ) -> ( p e. ( 1 ... ( abs ` N ) ) <-> p <_ ( abs ` N ) ) )
142	139, 140, 141	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p e. ( 1 ... ( abs ` N ) ) <-> p <_ ( abs ` N ) ) )
143	136, 142	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. ( 1 ... ( abs ` N ) ) )
144		eleq1w 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = p -> ( n e. Prime <-> p e. Prime ) )
145		oveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = p -> ( A /L n ) = ( A /L p ) )
146		oveq1 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = p -> ( n pCnt N ) = ( p pCnt N ) )
147	145, 146	oveq12d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = p -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) )
148	144, 147	ifbieq1d 3547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = p -> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) )
149		simprl 526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p e. Prime )
150	149	iftrued 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) = ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) )
151		lgscl 13674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( A /L p ) e. ZZ )
152	124, 123, 151	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( A /L p ) e. ZZ )
153		simpl3 997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> N =/= 0 )
154		pczcl 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( p pCnt N ) e. NN0 )
155	149, 125, 153, 154	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt N ) e. NN0 )
156		zexpcl 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A /L p ) e. ZZ /\ ( p pCnt N ) e. NN0 ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) e. ZZ )
157	152, 155, 156	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) e. ZZ )
158	150, 157	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
159	48, 148, 138, 158	fvmptd3 5587	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` p ) = if ( p e. Prime , ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) , 1 ) )
160		oveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( p = 2 -> ( A /L p ) = ( A /L 2 ) )
161		lgs2 13677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
162	124, 161	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
163	160, 162	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> ( A /L p ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
164		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> p = 2 )
165	128	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> p || A )
166	165	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> p || A )
167	164, 166	eqbrtrrd 4011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> 2 || A )
168	167	iftrued 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = 0 )
169	163, 168	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p = 2 ) -> ( A /L p ) = 0 )
170		simpll1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> A e. ZZ )
171	149	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. Prime )
172		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p =/= 2 )
173		eldifsn 3708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( p e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( p e. Prime /\ p =/= 2 ) )
174	171, 172, 173	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. ( Prime \ { 2 } ) )
175		lgsval3 13678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( A e. ZZ /\ p e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( A /L p ) = ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) )
176	170, 174, 175	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A /L p ) = ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) )
177		oddprm 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( p e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN )
178	174, 177	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN )
179	178	nnnn0d 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
180		zexpcl 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( p - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
181	170, 179, 180	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
182		zq 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
183	181, 182	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) e. QQ )
184		zq 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 e. ZZ -> 0 e. QQ )
185	45, 184	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 0 e. QQ )
186		1nn 8882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 e. NN
187		nnq 9585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 1 e. NN -> 1 e. QQ )
188	186, 187	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 1 e. QQ )
189	171, 137	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. NN )
190		nnq 9585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. NN -> p e. QQ )
191	189, 190	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. QQ )
192		nngt0 8896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. NN -> 0 < p )
193	189, 192	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 0 < p )
194		0zd 9217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> 0 e. ZZ )
195	165	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p || A )
196		dvdsval3 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( p e. NN /\ A e. ZZ ) -> ( p || A <-> ( A mod p ) = 0 ) )
197	189, 170, 196	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( p || A <-> ( A mod p ) = 0 ) )
198	195, 197	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A mod p ) = 0 )
199		q0mod 10304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( p e. QQ /\ 0 < p ) -> ( 0 mod p ) = 0 )
200	190, 192, 199	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( p e. NN -> ( 0 mod p ) = 0 )
201	189, 200	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( 0 mod p ) = 0 )
202	198, 201	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A mod p ) = ( 0 mod p ) )
203	170, 194, 179, 191, 193, 202	modqexp 10595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) = ( ( 0 ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) )
204	178	0expd 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( 0 ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) = 0 )
205	204	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( 0 ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) = ( 0 mod p ) )
206	203, 205	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) mod p ) = ( 0 mod p ) )
207	183, 185, 188, 191, 193, 206	modqadd1 10310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) = ( ( 0 + 1 ) mod p ) )
208		0p1e1 8985	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 0 + 1 ) = 1
209	208	oveq1i 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 0 + 1 ) mod p ) = ( 1 mod p )
210	207, 209	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) = ( 1 mod p ) )
211		prmuz2 12078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. Prime -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
212	171, 211	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> p e. ( ZZ>= ` 2 ) )
213		eluzelz 9489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. ZZ )
214		zq 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( p e. ZZ -> p e. QQ )
215	213, 214	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> p e. QQ )
216		eluz2gt1 9554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < p )
217		q1mod 10305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( p e. QQ /\ 1 < p ) -> ( 1 mod p ) = 1 )
218	215, 216, 217	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( p e. ( ZZ>= ` 2 ) -> ( 1 mod p ) = 1 )
219	212, 218	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( 1 mod p ) = 1 )
220	210, 219	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) = 1 )
221	220	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) = ( 1 - 1 ) )
222		1m1e0 8940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 - 1 ) = 0
223	221, 222	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( ( ( ( A ^ ( ( p - 1 ) / 2 ) ) + 1 ) mod p ) - 1 ) = 0 )
224	176, 223	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) /\ p =/= 2 ) -> ( A /L p ) = 0 )
225		2z 9233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 2 e. ZZ
226		zdceq 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) -> DECID p = 2 )
227	123, 225, 226	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> DECID p = 2 )
228		dcne 2351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (DECID p = 2 <-> ( p = 2 \/ p =/= 2 ) )
229	227, 228	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p = 2 \/ p =/= 2 ) )
230	169, 224, 229	mpjaodan 793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( A /L p ) = 0 )
231	230	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) = ( 0 ^ ( p pCnt N ) ) )
232		zq 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( N e. ZZ -> N e. QQ )
233	125, 232	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> N e. QQ )
234		pcabs 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( p e. Prime /\ N e. QQ ) -> ( p pCnt ( abs ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
235	149, 233, 234	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt ( abs ` N ) ) = ( p pCnt N ) )
236		pcelnn 12267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( p e. Prime /\ ( abs ` N ) e. NN ) -> ( ( p pCnt ( abs ` N ) ) e. NN <-> p || ( abs ` N ) ) )
237	149, 133, 236	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( p pCnt ( abs ` N ) ) e. NN <-> p || ( abs ` N ) ) )
238	132, 237	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt ( abs ` N ) ) e. NN )
239	235, 238	eqeltrrd 2248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( p pCnt N ) e. NN )
240	239	0expd 10618	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( 0 ^ ( p pCnt N ) ) = 0 )
241	231, 240	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( A /L p ) ^ ( p pCnt N ) ) = 0 )
242	159, 150, 241	3eqtrd 2207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` p ) = 0 )
243	110, 116, 118, 120, 143, 242	seq3z 10460	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( p e. Prime /\ p || ( A gcd N ) ) ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 )
244	243	rexlimdvaa 2588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( E. p e. Prime p || ( A gcd N ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) )
245	108, 244	syl5 32	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( ( A gcd N ) e. NN /\ ( A gcd N ) =/= 1 ) -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) )
246	102, 245	mpand 427	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A gcd N ) =/= 1 -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) )
247	246	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> (DECID ( A gcd N ) = 1 -> ( ( A gcd N ) =/= 1 -> ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) = 0 ) ) )
248	247	necon1ddc 2418	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> (DECID ( A gcd N ) = 1 -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 -> ( A gcd N ) = 1 ) ) )
249	105, 248	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) =/= 0 -> ( A gcd N ) = 1 ) )
250	94, 249	sylbid 149	. . . . . 6 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> ( ( seq 1 ( x. , ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ) ` ( abs ` N ) ) # 0 -> ( A gcd N ) = 1 ) )
251		1zzd 9232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) -> 1 e. ZZ )
252		eleq1w 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( n e. Prime <-> k e. Prime ) )
253		oveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( A /L n ) = ( A /L k ) )
254		oveq1 5858	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = k -> ( n pCnt N ) = ( k pCnt N ) )
255	253, 254	oveq12d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = k -> ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) = ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) )
256	252, 255	ifbieq1d 3547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = k -> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
257		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> k e. NN )
258		simp1 992	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> A e. ZZ )
259	258	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> A e. ZZ )
260		prmz 12058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. Prime -> k e. ZZ )
261	260	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
262		lgscl 13674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ZZ /\ k e. ZZ ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
263	259, 261, 262	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
264		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
265		simp2 993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N e. ZZ )
266	265	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
267		simp3 994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> N =/= 0 )
268	267	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
269		pczcl 12245	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k e. Prime /\ ( N e. ZZ /\ N =/= 0 ) ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
270	264, 266, 268, 269	syl12anc 1231	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( k pCnt N ) e. NN0 )
271		zexpcl 10484	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A /L k ) e. ZZ /\ ( k pCnt N ) e. NN0 ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
272	263, 270, 271	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ k e. Prime ) -> ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) e. ZZ )
273		1zzd 9232	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) /\ -. k e. Prime ) -> 1 e. ZZ )
274		prmdc 12077	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN -> DECID k e. Prime )
275	274	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> DECID k e. Prime )
276	272, 273, 275	ifcldadc 3554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) e. ZZ )
277	48, 256, 257, 276	fvmptd3 5587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> if ( n e. Prime , ( ( A /L n ) ^ ( n pCnt N ) ) , 1 ) ) ` k ) = if ( k e. Prime , ( ( A /L k ) ^ ( k pCnt N ) ) , 1 ) )
278		simpll1 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> A e. ZZ )
279	260	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> k e. ZZ )
280	278, 279, 262	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. ZZ )
281	280	zcnd 9328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( A /L k ) e. CC )
282	281	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L k ) e. CC )
283		oveq2 5859	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = 2 -> ( A /L k ) = ( A /L 2 ) )
284	278	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> A e. ZZ )
285	284, 161	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( A /L 2 ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
286	283, 285	sylan9eqr 2225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> ( A /L k ) = if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) )
287		nprmdvds1 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. Prime -> -. k || 1 )
288	287	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> -. k || 1 )
289		simpll2 1032	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> N e. ZZ )
290		dvdsgcdb 11961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( k e. ZZ /\ A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k || A /\ k || N ) <-> k || ( A gcd N ) ) )
291	279, 278, 289, 290	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k || A /\ k || N ) <-> k || ( A gcd N ) ) )
292		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( A gcd N ) = 1 )
293	292	breq2d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || ( A gcd N ) <-> k || 1 ) )
294	291, 293	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( ( k || A /\ k || N ) <-> k || 1 ) )
295	288, 294	mtbird 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> -. ( k || A /\ k || N ) )
296		imnan 685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( k || A -> -. k || N ) <-> -. ( k || A /\ k || N ) )
297	295, 296	sylibr 133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || A -> -. k || N ) )
298	297	con2d 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( k || N -> -. k || A ) )
299	298	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> -. k || A )
300		breq1 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k = 2 -> ( k || A <-> 2 || A ) )
301	300	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k = 2 -> ( -. k || A <-> -. 2 || A ) )
302	299, 301	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) -> ( k = 2 -> -. 2 || A ) )
303	302	imp 123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> -. 2 || A )
304	303	iffalsed 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> if ( 2 || A , 0 , if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
305	286, 304	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> ( A /L k ) = if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) )
306		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
307	306	iftrued 3532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = 1 )
308	11	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> 1 =/= 0 )
309	307, 308	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
310		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
311	310	iffalsed 3535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) = -u 1 )
312	53	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> -u 1 =/= 0 )
313	311, 312	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( A e. ZZ /\ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
314		8nn 9038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 8 e. NN
315		zmodcl 10293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ 8 e. NN ) -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
316	314, 315	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. NN0 )
317	316	nn0zd 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( A e. ZZ -> ( A mod 8 ) e. ZZ )
318		zdceq 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
319	317, 3, 318	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 1 )
320		7nn 9037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- 7 e. NN
321	320	nnzi 9226	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 7 e. ZZ
322		zdceq 9280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A mod 8 ) e. ZZ /\ 7 e. ZZ ) -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
323	317, 321, 322	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) = 7 )
324		dcor 930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (DECID ( A mod 8 ) = 1 -> (DECID ( A mod 8 ) = 7 -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
325	319, 323, 324	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) )
326		elprg 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A mod 8 ) e. NN0 -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
327	316, 326	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
328	327	dcbid 833	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( A e. ZZ -> (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } <-> DECID ( ( A mod 8 ) = 1 \/ ( A mod 8 ) = 7 ) ) )
329	325, 328	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( A e. ZZ -> DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } )
330		exmiddc 831	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (DECID ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
331	329, 330	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( A e. ZZ -> ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } \/ -. ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } ) )
332	309, 313, 331	mpjaodan 793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. ZZ -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
333	258, 332	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
334	333	ad4antr 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> if ( ( A mod 8 ) e. { 1 , 7 } , 1 , -u 1 ) =/= 0 )
335	305, 334	eqnetrd 2364	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k = 2 ) -> ( A /L k ) =/= 0 )
336		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> k e. Prime )
337	336	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. Prime )
338	337, 287	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> -. k || 1 )
339		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k || N )
340	337, 260	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. ZZ )
341	284	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> A e. ZZ )
342		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k =/= 2 )
343		eldifsn 3708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( k e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( k e. Prime /\ k =/= 2 ) )
344	337, 342, 343	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k e. ( Prime \ { 2 } ) )
345		oddprm 12206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( k e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN )
346	344, 345	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN )
347	346	nnnn0d 9181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 )
348		zexpcl 10484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( A e. ZZ /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
349	341, 347, 348	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ )
350	289	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> N e. ZZ )
351		dvdsgcd 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( k e. ZZ /\ ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) /\ k || N ) -> k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) ) )
352	340, 349, 350, 351	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) /\ k || N ) -> k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) ) )
353	339, 352	mpan2d 426	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( k || ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) -> k || ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) ) )
354	341	zcnd 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> A e. CC )
355	354, 347	absexpd 11149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) )
356	355	oveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ` N ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) )
357		gcdabs 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ` N ) ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) )
358	349, 350, 357	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) ) gcd ( abs ` N ) ) = ( ( A ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd N ) )
359		gcdabs 11936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = ( A gcd N ) )
360	341, 350, 359	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = ( A gcd N ) )
361	292	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A gcd N ) = 1 )
362	360, 361	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 )
363	299	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> -. k || A )
364		dvds0 11761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( k e. ZZ -> k || 0 )
365	340, 364	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> k || 0 )
366		breq2 3991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( A = 0 -> ( k || A <-> k || 0 ) )
367	365, 366	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( A = 0 -> k || A ) )
368	367	necon3bd 2383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( -. k || A -> A =/= 0 ) )
369	363, 368	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> A =/= 0 )
370		nnabscl 11057	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( A e. ZZ /\ A =/= 0 ) -> ( abs ` A ) e. NN )
371	341, 369, 370	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( abs ` A ) e. NN )
372		simpll3 1033	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> N =/= 0 )
373	289, 372, 86	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) -> ( abs ` N ) e. NN )
374	373	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( abs ` N ) e. NN )
375		rplpwr 11975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( abs ` A ) e. NN /\ ( abs ` N ) e. NN /\ ( ( k - 1 ) / 2 ) e. NN ) -> ( ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 ) )
376	371, 374, 346, 375	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( ( abs ` A ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs ` N ) ) = 1 ) )
377	362, 376	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( ( A e. ZZ /\ N e. ZZ /\ N =/= 0 ) /\ ( A gcd N ) = 1 ) /\ k e. Prime ) /\ k || N ) /\ k =/= 2 ) -> ( ( ( abs ` A ) ^ ( ( k - 1 ) / 2 ) ) gcd ( abs