ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashdifpr Unicode version
Theorem hashdifpr 10813
Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 3746 . . . 4 |- ( A \ { B , C } ) = ( ( A \ { B } ) \ { C } )
21a1i 9 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( A \ { B , C } ) = ( ( A \ { B } ) \ { C } ) )
32fveq2d 5531 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> A e. Fin )
5 snfig 6827 . . . . . 6 |- ( B e. A -> { B } e. Fin )
653ad2ant1 1019 . . . . 5 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) -> { B } e. Fin )
76adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> { B } e. Fin )
8 snssi 3748 . . . . . 6 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
983ad2ant1 1019 . . . . 5 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) -> { B } C_ A )
109adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> { B } C_ A )
11 diffifi 6907 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ { B } C_ A ) -> ( A \ { B } ) e. Fin )
124, 7, 10, 11syl3anc 1248 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( A \ { B } ) e. Fin )
13 simpr2 1005 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C e. A )
14 simpr3 1006 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> B =/= C )
1514necomd 2443 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C =/= B )
16 eldifsn 3731 . . . 4 |- ( C e. ( A \ { B } ) <-> ( C e. A /\ C =/= B ) )
1713, 15, 16sylanbrc 417 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C e. ( A \ { B } ) )
18 hashdifsn 10812 . . 3 |- ( ( ( A \ { B } ) e. Fin /\ C e. ( A \ { B } ) ) -> (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) = ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) )
1912, 17, 18syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) = ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) )
20 hashdifsn 10812 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
21203ad2antr1 1163 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
2221oveq1d 5903 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) )
23 hashcl 10774 . . . . . 6 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2423nn0cnd 9244 . . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. CC )
25 sub1m1 9182 . . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2822, 27eqtrd 2220 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
293, 19, 283eqtrd 2224 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   \ cdif 3138   C_ wss 3141   {csn 3604   {cpr 3605   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Fincfn 6753   CCcc 7822   1c1 7825   - cmin 8141   2c2 8983  ♯chash 10768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-frec 6405  df-1o 6430  df-oadd 6434  df-er 6548  df-en 6754  df-dom 6755  df-fin 6756  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-ihash 10769
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator