ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashdifpr Unicode version
Theorem hashdifpr 11283
Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 3857 . . . 4 |- ( A \ { B , C } ) = ( ( A \ { B } ) \ { C } )
21a1i 9 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( A \ { B , C } ) = ( ( A \ { B } ) \ { C } ) )
32fveq2d 5702 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> A e. Fin )
5 snfig 7107 . . . . . 6 |- ( B e. A -> { B } e. Fin )
653ad2ant1 1049 . . . . 5 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) -> { B } e. Fin )
76adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> { B } e. Fin )
8 snssi 3859 . . . . . 6 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
983ad2ant1 1049 . . . . 5 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) -> { B } C_ A )
109adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> { B } C_ A )
11 diffifi 7202 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ { B } C_ A ) -> ( A \ { B } ) e. Fin )
124, 7, 10, 11syl3anc 1278 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( A \ { B } ) e. Fin )
13 simpr2 1035 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C e. A )
14 simpr3 1036 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> B =/= C )
1514necomd 2506 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C =/= B )
16 eldifsn 3841 . . . 4 |- ( C e. ( A \ { B } ) <-> ( C e. A /\ C =/= B ) )
1713, 15, 16sylanbrc 421 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C e. ( A \ { B } ) )
18 hashdifsn 11282 . . 3 |- ( ( ( A \ { B } ) e. Fin /\ C e. ( A \ { B } ) ) -> (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) = ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) )
1912, 17, 18syl2anc 415 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) = ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) )
20 hashdifsn 11282 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
21203ad2antr1 1193 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
2221oveq1d 6103 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) )
23 hashcl 11242 . . . . . 6 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2423nn0cnd 9633 . . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. CC )
25 sub1m1 9567 . . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2822, 27eqtrd 2271 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
293, 19, 283eqtrd 2275 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   \ cdif 3217   C_ wss 3220   {csn 3709   {cpr 3710   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   CCcc 8183   1c1 8186   - cmin 8504   2c2 9364  ♯chash 11236
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-ihash 11237
This theorem is used by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator