ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashdifpr Unicode version
Theorem hashdifpr 10894
Description: The size of the difference of a finite set and a proper ordered pair subset is the set's size minus 2. (Contributed by AV, 16-Dec-2020.)
Assertion
Ref Expression
hashdifpr |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
Proof of Theorem hashdifpr
StepHypRef Expression
1 difpr 3761 . . . 4 |- ( A \ { B , C } ) = ( ( A \ { B } ) \ { C } )
21a1i 9 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( A \ { B , C } ) = ( ( A \ { B } ) \ { C } ) )
32fveq2d 5559 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) )
4 simpl 109 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> A e. Fin )
5 snfig 6870 . . . . . 6 |- ( B e. A -> { B } e. Fin )
653ad2ant1 1020 . . . . 5 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) -> { B } e. Fin )
76adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> { B } e. Fin )
8 snssi 3763 . . . . . 6 |- ( B e. A -> { B } C_ A )
983ad2ant1 1020 . . . . 5 |- ( ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) -> { B } C_ A )
109adantl 277 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> { B } C_ A )
11 diffifi 6952 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ { B } e. Fin /\ { B } C_ A ) -> ( A \ { B } ) e. Fin )
124, 7, 10, 11syl3anc 1249 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( A \ { B } ) e. Fin )
13 simpr2 1006 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C e. A )
14 simpr3 1007 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> B =/= C )
1514necomd 2450 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C =/= B )
16 eldifsn 3746 . . . 4 |- ( C e. ( A \ { B } ) <-> ( C e. A /\ C =/= B ) )
1713, 15, 16sylanbrc 417 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> C e. ( A \ { B } ) )
18 hashdifsn 10893 . . 3 |- ( ( ( A \ { B } ) e. Fin /\ C e. ( A \ { B } ) ) -> (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) = ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) )
1912, 17, 18syl2anc 411 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( ( A \ { B } ) \ { C } ) ) = ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) )
20 hashdifsn 10893 . . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ B e. A ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
21203ad2antr1 1164 . . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B } ) ) = ( (♯ ` A ) - 1 ) )
2221oveq1d 5934 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) = ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) )
23 hashcl 10855 . . . . . 6 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. NN0 )
2423nn0cnd 9298 . . . . 5 |- ( A e. Fin -> (♯ ` A ) e. CC )
25 sub1m1 9236 . . . . 5 |- ( (♯ ` A ) e. CC -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2624, 25syl 14 . . . 4 |- ( A e. Fin -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2726adantr 276 . . 3 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( ( (♯ ` A ) - 1 ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
2822, 27eqtrd 2226 . 2 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> ( (♯ ` ( A \ { B } ) ) - 1 ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
293, 19, 283eqtrd 2230 1 |- ( ( A e. Fin /\ ( B e. A /\ C e. A /\ B =/= C ) ) -> (♯ ` ( A \ { B , C } ) ) = ( (♯ ` A ) - 2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   \ cdif 3151   C_ wss 3154   {csn 3619   {cpr 3620   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Fincfn 6796   CCcc 7872   1c1 7875   - cmin 8192   2c2 9035  ♯chash 10849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-oadd 6475  df-er 6589  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078  df-ihash 10850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator