Theorem lssneln0 14539

Description: A vector X which doesn't belong to a subspace U is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssneln0.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssneln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssneln0.u	|- ( ph -> U e. S )
lssneln0.x	|- ( ph -> X e. V )
lssneln0.n	|- ( ph -> -. X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lssneln0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
3		lssneln0.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lssneln0.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
5		lssneln0.u	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
6		lssneln0.n	. . 3 |- ( ph -> -. X e. U )
7	2, 3, 4, 5, 6	lssvneln0 14538	. 2 |- ( ph -> X =/= .0. )
8		eldifsn 3822	. 2 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) <-> ( X e. V /\ X =/= .0. ) )
9	1, 7, 8	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   \ cdif 3210   {csn 3691   ` cfv 5354   0gc0g 13486   LModclmod 14452   LSubSpclss 14517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-ltxr 8315  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-plusg 13320  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-0g 13488  df-mgm 13586  df-sgrp 13632  df-mnd 13647  df-grp 13733  df-minusg 13734  df-sbg 13735  df-mgp 14082  df-ur 14121  df-ring 14159  df-lmod 14454  df-lssm 14518

This theorem is referenced by: (None)