Theorem lssneln0 13707

Description: A vector X which doesn't belong to a subspace U is nonzero. (Contributed by NM, 14-May-2015.) (Revised by AV, 17-Jul-2022.) (Proof shortened by AV, 19-Jul-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
lssneln0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lssneln0.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lssneln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lssneln0.u	|- ( ph -> U e. S )
lssneln0.x	|- ( ph -> X e. V )
lssneln0.n	|- ( ph -> -. X e. U )

Assertion

Ref	Expression
lssneln0	|- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Proof of Theorem lssneln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lssneln0.x	. 2 |- ( ph -> X e. V )
2		lssneln0.o	. . 3 |- .0. = ( 0g ` W )
3		lssneln0.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lssneln0.w	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
5		lssneln0.u	. . 3 |- ( ph -> U e. S )
6		lssneln0.n	. . 3 |- ( ph -> -. X e. U )
7	2, 3, 4, 5, 6	lssvneln0 13706	. 2 |- ( ph -> X =/= .0. )
8		eldifsn 3734	. 2 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) <-> ( X e. V /\ X =/= .0. ) )
9	1, 7, 8	sylanbrc 417	1 |- ( ph -> X e. ( V \ { .0. } ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   =/= wne 2360   \ cdif 3141   {csn 3607   ` cfv 5235   0gc0g 12764   LModclmod 13620   LSubSpclss 13685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-0g 12766  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-sbg 12965  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-lmod 13622  df-lssm 13686

This theorem is referenced by: (None)