Theorem elssdc 7199

Description: Membership in a finite subset of a set with decidable equality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elssdc.b	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B DECID x = y )
elssdc.x	|- ( ph -> X e. B )
elssdc.ss	|- ( ph -> A C_ B )
elssdc.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
elssdc	|- ( ph -> DECID X e. A )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem elssdc

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2302	. . 3 |- ( w = (/) -> ( X e. w <-> X e. (/) ) )
2	1	dcbid 850	. 2 |- ( w = (/) -> (DECID X e. w <-> DECID X e. (/) ) )
3		eleq2 2302	. . 3 |- ( w = u -> ( X e. w <-> X e. u ) )
4	3	dcbid 850	. 2 |- ( w = u -> (DECID X e. w <-> DECID X e. u ) )
5		eleq2 2302	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( X e. w <-> X e. ( u u. { v } ) ) )
6	5	dcbid 850	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> (DECID X e. w <-> DECID X e. ( u u. { v } ) ) )
7		eleq2 2302	. . 3 |- ( w = A -> ( X e. w <-> X e. A ) )
8	7	dcbid 850	. 2 |- ( w = A -> (DECID X e. w <-> DECID X e. A ) )
9		noel 3525	. . . . 5 |- -. X e. (/)
10	9	olci 744	. . . 4 |- ( X e. (/) \/ -. X e. (/) )
11		df-dc 847	. . . 4 |- (DECID X e. (/) <-> ( X e. (/) \/ -. X e. (/) ) )
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 |- DECID X e. (/)
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ph -> DECID X e. (/) )
14		vsnid 3737	. . . . . 6 |- v e. { v }
15		eleq1 2301	. . . . . . 7 |- ( X = v -> ( X e. { v } <-> v e. { v } ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> ( X e. { v } <-> v e. { v } ) )
17	14, 16	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> X e. { v } )
18		elun2 3397	. . . . . . 7 |- ( X e. { v } -> X e. ( u u. { v } ) )
19	18	orcd 745	. . . . . 6 |- ( X e. { v } -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
20		df-dc 847	. . . . . 6 |- (DECID X e. ( u u. { v } ) <-> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( X e. { v } -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
22	17, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
23		elun1 3396	. . . . . . . 8 |- ( X e. u -> X e. ( u u. { v } ) )
24	23	orcd 745	. . . . . . 7 |- ( X e. u -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
25	24, 20	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( X e. u -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
26	25	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. u )
28		elsni 3723	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { v } -> X = v )
29	28	con3i 641	. . . . . . . . . 10 |- ( -. X = v -> -. X e. { v } )
30	29	ad2antlr 493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. { v } )
31		ioran 764	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( X e. u \/ X e. { v } ) <-> ( -. X e. u /\ -. X e. { v } ) )
32	27, 30, 31	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. ( X e. u \/ X e. { v } ) )
33		elun 3370	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( u u. { v } ) <-> ( X e. u \/ X e. { v } ) )
34	32, 33	sylnibr 688	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. ( u u. { v } ) )
35	34	olcd 746	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
36	35, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
37		exmiddc 848	. . . . . 6 |- (DECID X e. u -> ( X e. u \/ -. X e. u ) )
38	37	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) -> ( X e. u \/ -. X e. u ) )
39	26, 36, 38	mpjaodan 810	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
40		eqeq2 2248	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( X = y <-> X = v ) )
41	40	dcbid 850	. . . . . 6 |- ( y = v -> (DECID X = y <-> DECID X = v ) )
42		eqeq1 2245	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( x = y <-> X = y ) )
43	42	dcbid 850	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> (DECID x = y <-> DECID X = y ) )
44	43	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A. y e. B DECID x = y <-> A. y e. B DECID X = y ) )
45		elssdc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B DECID x = y )
46		elssdc.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
47	44, 45, 46	rspcdva 2934	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B DECID X = y )
48	47	ad3antrrr 496	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> A. y e. B DECID X = y )
49		elssdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ B )
50	49	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> A C_ B )
51		simplrr 542	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. ( A \ u ) )
52	51	eldifad 3231	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. A )
53	50, 52	sseldd 3249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. B )
54	41, 48, 53	rspcdva 2934	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> DECID X = v )
55		exmiddc 848	. . . . 5 |- (DECID X = v -> ( X = v \/ -. X = v ) )
56	54, 55	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> ( X = v \/ -. X = v ) )
57	22, 39, 56	mpjaodan 810	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
58	57	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> (DECID X e. u -> DECID X e. ( u u. { v } ) ) )
59		elssdc.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
60	2, 4, 6, 8, 13, 58, 59	findcard2sd 7186	1 |- ( ph -> DECID X e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   \ cdif 3217   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   {csn 3705   Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  zfidc  9702  ballotfilem2  13206  vtxedgfi  16444