Theorem elssdc 7093

Description: Membership in a finite subset of a set with decidable equality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elssdc.b	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B DECID x = y )
elssdc.x	|- ( ph -> X e. B )
elssdc.ss	|- ( ph -> A C_ B )
elssdc.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
elssdc	|- ( ph -> DECID X e. A )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem elssdc

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = (/) -> ( X e. w <-> X e. (/) ) )
2	1	dcbid 845	. 2 |- ( w = (/) -> (DECID X e. w <-> DECID X e. (/) ) )
3		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = u -> ( X e. w <-> X e. u ) )
4	3	dcbid 845	. 2 |- ( w = u -> (DECID X e. w <-> DECID X e. u ) )
5		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( X e. w <-> X e. ( u u. { v } ) ) )
6	5	dcbid 845	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> (DECID X e. w <-> DECID X e. ( u u. { v } ) ) )
7		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = A -> ( X e. w <-> X e. A ) )
8	7	dcbid 845	. 2 |- ( w = A -> (DECID X e. w <-> DECID X e. A ) )
9		noel 3498	. . . . 5 |- -. X e. (/)
10	9	olci 739	. . . 4 |- ( X e. (/) \/ -. X e. (/) )
11		df-dc 842	. . . 4 |- (DECID X e. (/) <-> ( X e. (/) \/ -. X e. (/) ) )
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 |- DECID X e. (/)
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ph -> DECID X e. (/) )
14		vsnid 3701	. . . . . 6 |- v e. { v }
15		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( X = v -> ( X e. { v } <-> v e. { v } ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> ( X e. { v } <-> v e. { v } ) )
17	14, 16	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> X e. { v } )
18		elun2 3375	. . . . . . 7 |- ( X e. { v } -> X e. ( u u. { v } ) )
19	18	orcd 740	. . . . . 6 |- ( X e. { v } -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
20		df-dc 842	. . . . . 6 |- (DECID X e. ( u u. { v } ) <-> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( X e. { v } -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
22	17, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
23		elun1 3374	. . . . . . . 8 |- ( X e. u -> X e. ( u u. { v } ) )
24	23	orcd 740	. . . . . . 7 |- ( X e. u -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
25	24, 20	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( X e. u -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
26	25	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. u )
28		elsni 3687	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { v } -> X = v )
29	28	con3i 637	. . . . . . . . . 10 |- ( -. X = v -> -. X e. { v } )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. { v } )
31		ioran 759	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( X e. u \/ X e. { v } ) <-> ( -. X e. u /\ -. X e. { v } ) )
32	27, 30, 31	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. ( X e. u \/ X e. { v } ) )
33		elun 3348	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( u u. { v } ) <-> ( X e. u \/ X e. { v } ) )
34	32, 33	sylnibr 683	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. ( u u. { v } ) )
35	34	olcd 741	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
36	35, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
37		exmiddc 843	. . . . . 6 |- (DECID X e. u -> ( X e. u \/ -. X e. u ) )
38	37	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) -> ( X e. u \/ -. X e. u ) )
39	26, 36, 38	mpjaodan 805	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
40		eqeq2 2241	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( X = y <-> X = v ) )
41	40	dcbid 845	. . . . . 6 |- ( y = v -> (DECID X = y <-> DECID X = v ) )
42		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( x = y <-> X = y ) )
43	42	dcbid 845	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> (DECID x = y <-> DECID X = y ) )
44	43	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A. y e. B DECID x = y <-> A. y e. B DECID X = y ) )
45		elssdc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B DECID x = y )
46		elssdc.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
47	44, 45, 46	rspcdva 2915	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B DECID X = y )
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> A. y e. B DECID X = y )
49		elssdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ B )
50	49	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> A C_ B )
51		simplrr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. ( A \ u ) )
52	51	eldifad 3211	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. A )
53	50, 52	sseldd 3228	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. B )
54	41, 48, 53	rspcdva 2915	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> DECID X = v )
55		exmiddc 843	. . . . 5 |- (DECID X = v -> ( X = v \/ -. X = v ) )
56	54, 55	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> ( X = v \/ -. X = v ) )
57	22, 39, 56	mpjaodan 805	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
58	57	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> (DECID X e. u -> DECID X e. ( u u. { v } ) ) )
59		elssdc.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
60	2, 4, 6, 8, 13, 58, 59	findcard2sd 7080	1 |- ( ph -> DECID X e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   e. wcel 2202   A.wral 2510   \ cdif 3197   u. cun 3198   C_ wss 3200   (/)c0 3494   {csn 3669   Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  vtxedgfi  16139