Theorem elssdc 7137

Description: Membership in a finite subset of a set with decidable equality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elssdc.b	|- ( ph -> A. x e. B A. y e. B DECID x = y )
elssdc.x	|- ( ph -> X e. B )
elssdc.ss	|- ( ph -> A C_ B )
elssdc.a	|- ( ph -> A e. Fin )

Assertion

Ref	Expression
elssdc	|- ( ph -> DECID X e. A )

Distinct variable groups:   x, B, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   A( x, y)

Proof of Theorem elssdc

Dummy variables u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = (/) -> ( X e. w <-> X e. (/) ) )
2	1	dcbid 846	. 2 |- ( w = (/) -> (DECID X e. w <-> DECID X e. (/) ) )
3		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = u -> ( X e. w <-> X e. u ) )
4	3	dcbid 846	. 2 |- ( w = u -> (DECID X e. w <-> DECID X e. u ) )
5		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = ( u u. { v } ) -> ( X e. w <-> X e. ( u u. { v } ) ) )
6	5	dcbid 846	. 2 |- ( w = ( u u. { v } ) -> (DECID X e. w <-> DECID X e. ( u u. { v } ) ) )
7		eleq2 2295	. . 3 |- ( w = A -> ( X e. w <-> X e. A ) )
8	7	dcbid 846	. 2 |- ( w = A -> (DECID X e. w <-> DECID X e. A ) )
9		noel 3500	. . . . 5 |- -. X e. (/)
10	9	olci 740	. . . 4 |- ( X e. (/) \/ -. X e. (/) )
11		df-dc 843	. . . 4 |- (DECID X e. (/) <-> ( X e. (/) \/ -. X e. (/) ) )
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 |- DECID X e. (/)
13	12	a1i 9	. 2 |- ( ph -> DECID X e. (/) )
14		vsnid 3705	. . . . . 6 |- v e. { v }
15		eleq1 2294	. . . . . . 7 |- ( X = v -> ( X e. { v } <-> v e. { v } ) )
16	15	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> ( X e. { v } <-> v e. { v } ) )
17	14, 16	mpbiri 168	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> X e. { v } )
18		elun2 3377	. . . . . . 7 |- ( X e. { v } -> X e. ( u u. { v } ) )
19	18	orcd 741	. . . . . 6 |- ( X e. { v } -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
20		df-dc 843	. . . . . 6 |- (DECID X e. ( u u. { v } ) <-> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( X e. { v } -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
22	17, 21	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ X = v ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
23		elun1 3376	. . . . . . . 8 |- ( X e. u -> X e. ( u u. { v } ) )
24	23	orcd 741	. . . . . . 7 |- ( X e. u -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
25	24, 20	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( X e. u -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
26	25	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. u )
28		elsni 3691	. . . . . . . . . . 11 |- ( X e. { v } -> X = v )
29	28	con3i 637	. . . . . . . . . 10 |- ( -. X = v -> -. X e. { v } )
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. { v } )
31		ioran 760	. . . . . . . . 9 |- ( -. ( X e. u \/ X e. { v } ) <-> ( -. X e. u /\ -. X e. { v } ) )
32	27, 30, 31	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. ( X e. u \/ X e. { v } ) )
33		elun 3350	. . . . . . . 8 |- ( X e. ( u u. { v } ) <-> ( X e. u \/ X e. { v } ) )
34	32, 33	sylnibr 684	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> -. X e. ( u u. { v } ) )
35	34	olcd 742	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> ( X e. ( u u. { v } ) \/ -. X e. ( u u. { v } ) ) )
36	35, 20	sylibr 134	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) /\ -. X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
37		exmiddc 844	. . . . . 6 |- (DECID X e. u -> ( X e. u \/ -. X e. u ) )
38	37	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) -> ( X e. u \/ -. X e. u ) )
39	26, 36, 38	mpjaodan 806	. . . 4 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) /\ -. X = v ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
40		eqeq2 2241	. . . . . . 7 |- ( y = v -> ( X = y <-> X = v ) )
41	40	dcbid 846	. . . . . 6 |- ( y = v -> (DECID X = y <-> DECID X = v ) )
42		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( x = X -> ( x = y <-> X = y ) )
43	42	dcbid 846	. . . . . . . . 9 |- ( x = X -> (DECID x = y <-> DECID X = y ) )
44	43	ralbidv 2533	. . . . . . . 8 |- ( x = X -> ( A. y e. B DECID x = y <-> A. y e. B DECID X = y ) )
45		elssdc.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B DECID x = y )
46		elssdc.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
47	44, 45, 46	rspcdva 2916	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. y e. B DECID X = y )
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> A. y e. B DECID X = y )
49		elssdc.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ B )
50	49	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> A C_ B )
51		simplrr 538	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. ( A \ u ) )
52	51	eldifad 3212	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. A )
53	50, 52	sseldd 3229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> v e. B )
54	41, 48, 53	rspcdva 2916	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> DECID X = v )
55		exmiddc 844	. . . . 5 |- (DECID X = v -> ( X = v \/ -. X = v ) )
56	54, 55	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> ( X = v \/ -. X = v ) )
57	22, 39, 56	mpjaodan 806	. . 3 |- ( ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) /\ DECID X e. u ) -> DECID X e. ( u u. { v } ) )
58	57	ex 115	. 2 |- ( ( ( ph /\ u e. Fin ) /\ ( u C_ A /\ v e. ( A \ u ) ) ) -> (DECID X e. u -> DECID X e. ( u u. { v } ) ) )
59		elssdc.a	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
60	2, 4, 6, 8, 13, 58, 59	findcard2sd 7124	1 |- ( ph -> DECID X e. A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   \ cdif 3198   u. cun 3199   C_ wss 3201   (/)c0 3496   {csn 3673   Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  vtxedgfi  16213