Theorem elssdc 7093

Description: Membership in a finite subset of a set with decidable equality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elssdc.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑥 = 𝑦)
elssdc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elssdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
elssdc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
elssdc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elssdc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ ∅))
2	1	dcbid 845	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ ∅))
3		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ 𝑢))
4	3	dcbid 845	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ 𝑢))
5		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
6	5	dcbid 845	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
7		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
8	7	dcbid 845	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ 𝐴))
9		noel 3498	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ ∅
10	9	olci 739	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑋 ∈ ∅)
11		df-dc 842	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑋 ∈ ∅ ↔ (𝑋 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑋 ∈ ∅))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID 𝑋 ∈ ∅
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑋 ∈ ∅)
14		vsnid 3701	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
15		eleq1 2294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑣 → (𝑋 ∈ {𝑣} ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ 𝑋 = 𝑣) → (𝑋 ∈ {𝑣} ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
17	14, 16	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ 𝑋 = 𝑣) → 𝑋 ∈ {𝑣})
18		elun2 3375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
19	18	orcd 740	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
20		df-dc 842	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ↔ (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
22	17, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ 𝑋 = 𝑣) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
23		elun1 3374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑢 → 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
24	23	orcd 740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑢 → (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
25	24, 20	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑢 → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑢)
28		elsni 3687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → 𝑋 = 𝑣)
29	28	con3i 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑣 → ¬ 𝑋 ∈ {𝑣})
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑋 ∈ {𝑣})
31		ioran 759	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ 𝑋 ∈ {𝑣}) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {𝑣}))
32	27, 30, 31	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ 𝑋 ∈ {𝑣}))
33		elun 3348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ 𝑋 ∈ {𝑣}))
34	32, 33	sylnibr 683	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
35	34	olcd 741	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
36	35, 20	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
37		exmiddc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑋 ∈ 𝑢 → (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢))
38	37	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢))
39	26, 36, 38	mpjaodan 805	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
40		eqeq2 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑣))
41	40	dcbid 845	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (DECID 𝑋 = 𝑦 ↔ DECID 𝑋 = 𝑣))
42		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑦))
43	42	dcbid 845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝑋 = 𝑦))
44	43	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑋 = 𝑦))
45		elssdc.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑥 = 𝑦)
46		elssdc.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
47	44, 45, 46	rspcdva 2915	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑋 = 𝑦)
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑋 = 𝑦)
49		elssdc.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
50	49	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
51		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
52	51	eldifad 3211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐴)
53	50, 52	sseldd 3228	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐵)
54	41, 48, 53	rspcdva 2915	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 = 𝑣)
55		exmiddc 843	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑋 = 𝑣 → (𝑋 = 𝑣 ∨ ¬ 𝑋 = 𝑣))
56	54, 55	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → (𝑋 = 𝑣 ∨ ¬ 𝑋 = 𝑣))
57	22, 39, 56	mpjaodan 805	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
58	57	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (DECID 𝑋 ∈ 𝑢 → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
59		elssdc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
60	2, 4, 6, 8, 13, 58, 59	findcard2sd 7080	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715  DECID wdc 841   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510   ∖ cdif 3197   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494  {csn 3669  Fincfn 6908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-er 6701  df-en 6909  df-fin 6911

This theorem is referenced by:  vtxedgfi  16139