Theorem elssdc 7137

Description: Membership in a finite subset of a set with decidable equality is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 11-Feb-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
elssdc.b	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑥 = 𝑦)
elssdc.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
elssdc.ss	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
elssdc.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
elssdc	⊢ (𝜑 → DECID 𝑋 ∈ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elssdc

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = ∅ → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ ∅))
2	1	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = ∅ → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ ∅))
3		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ 𝑢))
4	3	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ 𝑢))
5		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
6	5	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = (𝑢 ∪ {𝑣}) → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
7		eleq2 2295	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (𝑋 ∈ 𝑤 ↔ 𝑋 ∈ 𝐴))
8	7	dcbid 846	. 2 ⊢ (𝑤 = 𝐴 → (DECID 𝑋 ∈ 𝑤 ↔ DECID 𝑋 ∈ 𝐴))
9		noel 3500	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑋 ∈ ∅
10	9	olci 740	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑋 ∈ ∅)
11		df-dc 843	. . . 4 ⊢ (DECID 𝑋 ∈ ∅ ↔ (𝑋 ∈ ∅ ∨ ¬ 𝑋 ∈ ∅))
12	10, 11	mpbir 146	. . 3 ⊢ DECID 𝑋 ∈ ∅
13	12	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑋 ∈ ∅)
14		vsnid 3705	. . . . . 6 ⊢ 𝑣 ∈ {𝑣}
15		eleq1 2294	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 𝑣 → (𝑋 ∈ {𝑣} ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
16	15	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ 𝑋 = 𝑣) → (𝑋 ∈ {𝑣} ↔ 𝑣 ∈ {𝑣}))
17	14, 16	mpbiri 168	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ 𝑋 = 𝑣) → 𝑋 ∈ {𝑣})
18		elun2 3377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
19	18	orcd 741	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
20		df-dc 843	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ↔ (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
21	19, 20	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
22	17, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ 𝑋 = 𝑣) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
23		elun1 3376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑢 → 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
24	23	orcd 741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑢 → (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
25	24, 20	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑢 → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
26	25	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
27		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑋 ∈ 𝑢)
28		elsni 3691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑣} → 𝑋 = 𝑣)
29	28	con3i 637	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑋 = 𝑣 → ¬ 𝑋 ∈ {𝑣})
30	29	ad2antlr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑋 ∈ {𝑣})
31		ioran 760	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ 𝑋 ∈ {𝑣}) ↔ (¬ 𝑋 ∈ 𝑢 ∧ ¬ 𝑋 ∈ {𝑣}))
32	27, 30, 31	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ 𝑋 ∈ {𝑣}))
33		elun 3350	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ 𝑋 ∈ {𝑣}))
34	32, 33	sylnibr 684	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
35	34	olcd 742	. . . . . 6 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → (𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}) ∨ ¬ 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
36	35, 20	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) ∧ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
37		exmiddc 844	. . . . . 6 ⊢ (DECID 𝑋 ∈ 𝑢 → (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢))
38	37	ad2antlr 489	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → (𝑋 ∈ 𝑢 ∨ ¬ 𝑋 ∈ 𝑢))
39	26, 36, 38	mpjaodan 806	. . . 4 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) ∧ ¬ 𝑋 = 𝑣) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
40		eqeq2 2241	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (𝑋 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑣))
41	40	dcbid 846	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑣 → (DECID 𝑋 = 𝑦 ↔ DECID 𝑋 = 𝑣))
42		eqeq1 2238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑋 = 𝑦))
43	42	dcbid 846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ DECID 𝑋 = 𝑦))
44	43	ralbidv 2533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑥 = 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑋 = 𝑦))
45		elssdc.b	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑥 = 𝑦)
46		elssdc.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
47	44, 45, 46	rspcdva 2916	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑋 = 𝑦)
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 DECID 𝑋 = 𝑦)
49		elssdc.ss	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
50	49	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
51		simplrr 538	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))
52	51	eldifad 3212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐴)
53	50, 52	sseldd 3229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → 𝑣 ∈ 𝐵)
54	41, 48, 53	rspcdva 2916	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 = 𝑣)
55		exmiddc 844	. . . . 5 ⊢ (DECID 𝑋 = 𝑣 → (𝑋 = 𝑣 ∨ ¬ 𝑋 = 𝑣))
56	54, 55	syl 14	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → (𝑋 = 𝑣 ∨ ¬ 𝑋 = 𝑣))
57	22, 39, 56	mpjaodan 806	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) ∧ DECID 𝑋 ∈ 𝑢) → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣}))
58	57	ex 115	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ∈ Fin) ∧ (𝑢 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ (𝐴 ∖ 𝑢))) → (DECID 𝑋 ∈ 𝑢 → DECID 𝑋 ∈ (𝑢 ∪ {𝑣})))
59		elssdc.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
60	2, 4, 6, 8, 13, 58, 59	findcard2sd 7124	1 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑋 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511   ∖ cdif 3198   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496  {csn 3673  Fincfn 6952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955

This theorem is referenced by:  vtxedgfi  16213