Theorem eltpsi 14700

Description: Properties that determine a topological space from a construction (using no explicit indices). (Contributed by NM, 20-Oct-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
eltpsi.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
eltpsi.u	⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
eltpsi.j	⊢ 𝐽 ∈ Top

Assertion

Ref	Expression
eltpsi	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem eltpsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpsi.j	. . 3 ⊢ 𝐽 ∈ Top
2		eltpsi.u	. . . 4 ⊢ 𝐴 = ∪ 𝐽
3	2	toptopon 14677	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴))
4	1, 3	mpbi 145	. 2 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴)
5		eltpsi.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩}
6	5	eltpsg 14699	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘𝐴) → 𝐾 ∈ TopSp)
7	4, 6	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3667  ⟨cop 3669  ∪ cuni 3887  ‘cfv 5314  ndxcnx 13015  Basecbs 13018  TopSetcts 13102  Topctop 14656  TopOnctopon 14669  TopSpctps 14689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-setind 4626  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1cn 8080  ax-1re 8081  ax-icn 8082  ax-addcl 8083  ax-addrcl 8084  ax-mulcl 8085  ax-addcom 8087  ax-addass 8089  ax-i2m1 8092  ax-0lt1 8093  ax-0id 8095  ax-rnegex 8096  ax-pre-ltirr 8099  ax-pre-lttrn 8101  ax-pre-ltadd 8103

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318  df-f1 5319  df-fo 5320  df-f1o 5321  df-fv 5322  df-ov 5997  df-oprab 5998  df-mpo 5999  df-1st 6276  df-2nd 6277  df-pnf 8171  df-mnf 8172  df-ltxr 8174  df-inn 9099  df-2 9157  df-3 9158  df-4 9159  df-5 9160  df-6 9161  df-7 9162  df-8 9163  df-9 9164  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-tset 13115  df-rest 13260  df-topn 13261  df-top 14657  df-topon 14670  df-topsp 14690

This theorem is referenced by:  distps  14750  retps  15186