ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enfii GIF version

Theorem enfii 6736
Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
enfii ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii
StepHypRef Expression
1 enfi 6735 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
21biimparc 297 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1465   class class class wbr 3899  cen 6600  Fincfn 6602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-er 6397  df-en 6603  df-fin 6605
This theorem is referenced by:  dif1en  6741  diffisn  6755  xpfi  6786  fisseneq  6788  fundmfi  6794  relcnvfi  6797  f1ofi  6799  f1dmvrnfibi  6800  f1finf1o  6803  en1eqsn  6804  exmidonfinlem  7017  fzfig  10171  hashennnuni  10493  hashennn  10494  summodclem2  11119  zsumdc  11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator