Theorem enfii 7061

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 7060	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2	1	biimparc 299	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088   ≈ cen 6907  Fincfn 6909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-er 6702  df-en 6910  df-fin 6912

This theorem is referenced by:  dif1en  7068  diffisn  7082  xpfi  7124  imaf1fi  7125  fisseneq  7127  fundmfi  7136  relcnvfi  7140  f1ofi  7142  f1dmvrnfibi  7143  f1finf1o  7146  en1eqsn  7147  exmidonfinlem  7404  fzfig  10693  hashennnuni  11042  hashennn  11043  summodclem2  11948  zsumdc  11950  prodmodclem2  12143  zproddc  12145  znfi  14675  upgrfi  15959  eupthfi  16308