Theorem enfii 7166

Description: A set equinumerous to a finite set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
enfii	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Proof of Theorem enfii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enfi 7165	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
2	1	biimparc 299	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4125   ≈ cen 7010  Fincfn 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015

This theorem is referenced by:  dif1en  7173  diffisn  7187  xpfi  7229  imaf1fi  7230  fisseneq  7232  fundmfi  7241  relcnvfi  7245  f1ofi  7247  f1dmvrnfibi  7248  mapfi  7251  f1finf1o  7254  en1eqsn  7255  fsuppcorn  7291  fipwfi  7311  exmidonfinlem  7535  fzfig  10845  hashennnuni  11196  hashennn  11197  sseqn  11257  hashf1lem2  11264  summodclem2  12127  zsumdc  12129  prodmodclem2  12322  zproddc  12324  ballotfilemro  13244  gsumf1ofi  14137  znfi  14962  upgrfi  16257  eupthfi  16606