Theorem summodclem2 12006

Description: Lemma for summodc 12007. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
isummo.1	|- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summodclem2.g	|- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
summodclem2	|- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   ph, k, n   A, f, j, m, k, n   B, n   f, F, k, m   ph, f, m   x, f, k, m, n   y, f, m

Allowed substitution hints:   ph( x, y, j)   A( x, y)   B( x, y, f, j, k, m)   F( x, y, j)   G( x, y, f, j, k, m, n)

Proof of Theorem summodclem2

Dummy variables a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( m = a -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` a ) )
2	1	sseq2d 3258	. . . 4 |- ( m = a -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` a ) ) )
3	1	raleqdv 2737	. . . 4 |- ( m = a -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A ) )
4		seqeq1 10758	. . . . 5 |- ( m = a -> seq m ( + , F ) = seq a ( + , F ) )
5	4	breq1d 4103	. . . 4 |- ( m = a -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq a ( + , F ) ~~> x ) )
6	2, 3, 5	3anbi123d 1349	. . 3 |- ( m = a -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) )
7	6	cbvrexv 2769	. 2 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> E. a e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) )
8		simplr3 1068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq a ( + , F ) ~~> x )
9		simplr1 1066	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` a ) )
10		uzssz 9820	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` a ) C_ ZZ
11	9, 10	sstrdi 3240	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ZZ )
12		1zzd 9550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
13		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
14	13	nnzd 9645	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
15	12, 14	fzfigd 10739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
16		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
17		f1oeng 6973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
19	18	ensymd 7000	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
20		enfii 7104	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
21	15, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A e. Fin )
22		zfz1iso 11151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
23	11, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
24		isummo.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
25		simplll 535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ph )
26		isummo.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
28		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
29	28	dcbid 846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
30		simpr2 1031	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A )
31	30	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` a ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A )
32		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` a ) ) -> k e. ( ZZ>= ` a ) )
33	29, 31, 32	rspcdva 2916	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` a ) ) -> DECID k e. A )
34		summodclem2.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
35		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( g ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( g ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
36		simprll 539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
37		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> a e. ZZ )
38		simplr1 1066	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` a ) )
39		simprlr 540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
40		simprr 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
41	24, 27, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40	summodclem2a 12005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq a ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) )
42	41	expr 375	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq a ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
43	42	exlimdv 1867	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq a ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
44	23, 43	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq a ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) )
45		climuni 11916	. . . . . . . . 9 |- ( ( seq a ( + , F ) ~~> x /\ seq a ( + , F ) ~~> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) )
46	8, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ ( m e. NN /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) )
47	46	anassrs 400	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) )
48		eqeq2 2241	. . . . . . 7 |- ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) -> ( x = y <-> x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
49	47, 48	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) -> x = y ) )
50	49	expimpd 363	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
51	50	exlimdv 1867	. . . 4 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
52	51	rexlimdva 2651	. . 3 |- ( ( ( ph /\ a e. ZZ ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
53	52	r19.29an 2676	. 2 |- ( ( ph /\ E. a e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` a ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` a )DECID j e. A /\ seq a ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
54	7, 53	sylan2b 287	1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   [_csb 3128   C_ wss 3201   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   Isom wiso 5334  (class class class)co 6028   ~~ cen 6950   Fincfn 6952   CCcc 8073   0cc0 8075   1c1 8076   + caddc 8078   < clt 8256   <_ cle 8257   NNcn 9185   ZZcz 9523   ZZ>=cuz 9799   ...cfz 10288   seqcseq 10755  ♯chash 11083   ~~> cli 11901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-ihash 11084  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902

This theorem is referenced by:  summodc  12007