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Theorem prodmodclem2 12218
Description: Lemma for prodmodc 12219. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m   B, j   f, F, k, m   j, G   ph, f, k, m   x, f, k, m   z, f, m
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, j, n)   A( x, y, z, n)   B( x, y, z, f, k, m, n)   F( x, y, z, j, n)   G( x, y, z, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodclem2
Dummy variables g w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 529 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 533 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1204 . . 3 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2630 . 2 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 fveq2 5648 . . . . . 6 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
76sseq2d 3258 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
86raleqdv 2737 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
9 seqeq1 10775 . . . . . 6 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
109breq1d 4103 . . . . 5 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
117, 8, 103anbi123d 1349 . . . 4 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) )
1211cbvrexvw 2773 . . 3 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
13 reeanv 2704 . . . . 5 |- ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
14 simprl3 1071 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
15 simprl1 1069 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
16 uzssz 9837 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` w ) C_ ZZ
1715, 16sstrdi 3240 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ZZ )
18 1zzd 9567 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
19 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
2019nnzd 9662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
2118, 20fzfigd 10756 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
22 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
23 f1oeng 6973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2524ensymd 7000 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
26 enfii 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A e. Fin )
28 zfz1iso 11168 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
2917, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
30 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
31 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3231ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
33 prodmodc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
34 eqid 2231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
35 simpll2 1064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
37 eleq1w 2292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3837dcbid 846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
3938rspcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` w ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A -> DECID k e. A ) )
4036, 39mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
41 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
42 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> w e. ZZ )
4315adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
44 simprlr 540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
45 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
4630, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45prodmodclem2a 12217 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
4746expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4847exlimdv 1867 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4929, 48mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
50 climuni 11933 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
5114, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
52 eqeq2 2241 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> ( x = z <-> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) )
5453expr 375 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) ) )
5554impd 254 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5655exlimdv 1867 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 363 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857rexlimdvva 2659 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5913, 58biimtrrid 153 . . . 4 |- ( ph -> ( ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6059expdimp 259 . . 3 |- ( ( ph /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6112, 60sylan2b 287 . 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
625, 61sylan2 286 1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   [_csb 3128   C_ wss 3201   ifcif 3607   class class class wbr 4093   |-> cmpt 4155   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   Isom wiso 5334  (class class class)co 6028   ~~ cen 6950   Fincfn 6952   CCcc 8090   0cc0 8092   1c1 8093   x. cmul 8097   < clt 8273   <_ cle 8274   # cap 8820   NNcn 9202   ZZcz 9540   ZZ>=cuz 9816   ...cfz 10305   seqcseq 10772  ♯chash 11100   ~~> cli 11918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-ihash 11101  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-clim 11919
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