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Theorem prodmodclem2 11759
Description: Lemma for prodmodc 11760. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m   B, j   f, F, k, m   j, G   ph, f, k, m   x, f, k, m   z, f, m
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, j, n)   A( x, y, z, n)   B( x, y, z, f, k, m, n)   F( x, y, z, j, n)   G( x, y, z, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodclem2
Dummy variables g w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 528 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 531 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1179 . . 3 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2594 . 2 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 fveq2 5561 . . . . . 6 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
76sseq2d 3214 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
86raleqdv 2699 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
9 seqeq1 10559 . . . . . 6 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
109breq1d 4044 . . . . 5 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
117, 8, 103anbi123d 1323 . . . 4 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) )
1211cbvrexvw 2734 . . 3 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
13 reeanv 2667 . . . . 5 |- ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
14 simprl3 1046 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
15 simprl1 1044 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
16 uzssz 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` w ) C_ ZZ
1715, 16sstrdi 3196 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ZZ )
18 1zzd 9370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
19 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
2019nnzd 9464 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
2118, 20fzfigd 10540 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
22 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
23 f1oeng 6825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2524ensymd 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
26 enfii 6944 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A e. Fin )
28 zfz1iso 10950 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
2917, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
30 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
31 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3231ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
33 prodmodc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
34 eqid 2196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
35 simpll2 1039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
37 eleq1w 2257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3837dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
3938rspcv 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` w ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A -> DECID k e. A ) )
4036, 39mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
42 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> w e. ZZ )
4315adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
44 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
45 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
4630, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45prodmodclem2a 11758 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
4746expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4847exlimdv 1833 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4929, 48mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
50 climuni 11475 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
5114, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
52 eqeq2 2206 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> ( x = z <-> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) )
5453expr 375 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) ) )
5554impd 254 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5655exlimdv 1833 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 363 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857rexlimdvva 2622 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5913, 58biimtrrid 153 . . . 4 |- ( ph -> ( ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6059expdimp 259 . . 3 |- ( ( ph /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6112, 60sylan2b 287 . 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
625, 61sylan2 286 1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   [_csb 3084   C_ wss 3157   ifcif 3562   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   Isom wiso 5260  (class class class)co 5925   ~~ cen 6806   Fincfn 6808   CCcc 7894   0cc0 7896   1c1 7897   x. cmul 7901   < clt 8078   <_ cle 8079   # cap 8625   NNcn 9007   ZZcz 9343   ZZ>=cuz 9618   ...cfz 10100   seqcseq 10556  ♯chash 10884   ~~> cli 11460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-pre-mulext 8014  ax-arch 8015  ax-caucvg 8016
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-ap 8626  df-div 8717  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-n0 9267  df-z 9344  df-uz 9619  df-q 9711  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-exp 10648  df-ihash 10885  df-cj 11024  df-re 11025  df-im 11026  df-rsqrt 11180  df-abs 11181  df-clim 11461
This theorem is referenced by:  prodmodc  11760
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