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Theorem prodmodclem2 12322
Description: Lemma for prodmodc 12323. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m   B, j   f, F, k, m   j, G   ph, f, k, m   x, f, k, m   z, f, m
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, j, n)   A( x, y, z, n)   B( x, y, z, f, k, m, n)   F( x, y, z, j, n)   G( x, y, z, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodclem2
Dummy variables g w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 531 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 533 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 537 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1208 . . 3 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2647 . 2 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 fveq2 5690 . . . . . 6 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
76sseq2d 3278 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
86raleqdv 2755 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
9 seqeq1 10865 . . . . . 6 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
109breq1d 4135 . . . . 5 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
117, 8, 103anbi123d 1353 . . . 4 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) )
1211cbvrexvw 2791 . . 3 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
13 reeanv 2721 . . . . 5 |- ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
14 simprl3 1075 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
15 simprl1 1073 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
16 uzssz 9921 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` w ) C_ ZZ
1715, 16sstrdi 3260 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ZZ )
18 1zzd 9650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
19 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
2019nnzd 9746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
2118, 20fzfigd 10846 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
22 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
23 f1oeng 7033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2421, 22, 23syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2524ensymd 7060 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
26 enfii 7166 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
2721, 25, 26syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A e. Fin )
28 zfz1iso 11271 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
2917, 27, 28syl2anc 415 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
30 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
31 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3231ad4ant14 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
33 prodmodc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
34 eqid 2238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
35 simpll2 1068 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
37 eleq1w 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3837dcbid 850 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
3938rspcv 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` w ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A -> DECID k e. A ) )
4036, 39mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
41 simplrr 542 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
42 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> w e. ZZ )
4315adantrr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
44 simprlr 544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
45 simprr 537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
4630, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45prodmodclem2a 12321 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
4746expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4847exlimdv 1872 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4929, 48mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
50 climuni 12037 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
5114, 49, 50syl2anc 415 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
52 eqeq2 2248 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> ( x = z <-> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) )
5453expr 375 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) ) )
5554impd 254 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5655exlimdv 1872 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 363 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857rexlimdvva 2676 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5913, 58biimtrrid 153 . . . 4 |- ( ph -> ( ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6059expdimp 259 . . 3 |- ( ( ph /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6112, 60sylan2b 287 . 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
625, 61sylan2 286 1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   [_csb 3147   C_ wss 3220   ifcif 3635   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372   Isom wiso 5373  (class class class)co 6075   ~~ cen 7010   Fincfn 7012   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   < clt 8350   <_ cle 8351   # cap 8899   NNcn 9283   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862  ♯chash 11192   ~~> cli 12022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023
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