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Theorem prodmodclem2 11556
Description: Lemma for prodmodc 11557. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmodc.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
Distinct variable groups:    A, f, j, k, m    B, j   
f, F, k, m   
j, G    ph, f, k, m    x, f, k, m    z, f, m
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, j, n)    A( x, y, z, n)    B( x, y, z, f, k, m, n)    F( x, y, z, j, n)    G( x, y, z, f, k, m, n)

Proof of Theorem prodmodclem2
Dummy variables  g  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
2 simplr 528 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
3 simprr 531 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )
41, 2, 33jca 1177 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
54reximi 2574 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
6 fveq2 5510 . . . . . 6  |-  ( m  =  w  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  w )
)
76sseq2d 3185 . . . . 5  |-  ( m  =  w  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  w ) ) )
86raleqdv 2678 . . . . 5  |-  ( m  =  w  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A ) )
9 seqeq1 10421 . . . . . 6  |-  ( m  =  w  ->  seq m (  x.  ,  F )  =  seq w (  x.  ,  F ) )
109breq1d 4010 . . . . 5  |-  ( m  =  w  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
117, 8, 103anbi123d 1312 . . . 4  |-  ( m  =  w  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x ) ) )
1211cbvrexvw 2708 . . 3  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  <->  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
13 reeanv 2646 . . . . 5  |-  ( E. w  e.  ZZ  E. m  e.  NN  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
14 simprl3 1044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )
15 simprl1 1042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w
) )
16 uzssz 9523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ZZ>= `  w )  C_  ZZ
1715, 16sstrdi 3167 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  C_  ZZ )
18 1zzd 9256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
19 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  NN )
2019nnzd 9350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  ZZ )
2118, 20fzfigd 10404 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... m
)  e.  Fin )
22 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
23 f1oeng 6750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
2421, 22, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... m
)  ~~  A )
2524ensymd 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  ~~  ( 1 ... m ) )
26 enfii 6867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
2721, 25, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  A  e.  Fin )
28 zfz1iso 10792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
2917, 27, 28syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) )
30 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
31 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3231ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
33 prodmodc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
34 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
35 simpll2 1037 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>=
`  w )DECID  j  e.  A )
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>=
`  w )DECID  j  e.  A )
37 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
3837dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
3938rspcv 2837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  w
)  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  -> DECID  k  e.  A ) )
4036, 39mpan9 281 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN ) )  /\  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  w ) )  -> DECID  k  e.  A )
41 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  ->  m  e.  NN )
42 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  ->  w  e.  ZZ )
4315adantrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w
) )
44 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
45 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  -> 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
4630, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45prodmodclem2a 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( (
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )
4746expr 375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  ->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  m )
) )
4847exlimdv 1819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( E. g  g 
Isom  <  ,  <  (
( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )
4929, 48mpd 13 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )
50 climuni 11272 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  m )
)
5114, 49, 50syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  ->  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )
52 eqeq2 2187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (  seq 1
(  x.  ,  G
) `  m )  ->  ( x  =  z  <-> 
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )
5351, 52syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) )  -> 
( z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m )  ->  x  =  z ) )
5453expr 375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  ->  ( z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m )  ->  x  =  z )
) )
5554impd 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  ->  x  =  z ) )
5655exlimdv 1819 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN )
)  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
5756expimpd 363 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( w  e.  ZZ  /\  m  e.  NN ) )  -> 
( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  z ) )
5857rexlimdvva 2602 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  ZZ  E. m  e.  NN  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  z ) )
5913, 58biimtrrid 153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  z ) )
6059expdimp 259 . . 3  |-  ( (
ph  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  z ) )
6112, 60sylan2b 287 . 2  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  z ) )
625, 61sylan2 286 1  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057    C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4000    |-> cmpt 4061   -1-1-onto->wf1o 5210   ` cfv 5211    Isom wiso 5212  (class class class)co 5868    ~~ cen 6731   Fincfn 6733   CCcc 7787   0cc0 7789   1c1 7790    x. cmul 7794    < clt 7969    <_ cle 7970   # cap 8515   NNcn 8895   ZZcz 9229   ZZ>=cuz 9504   ...cfz 9982    seqcseq 10418  ♯chash 10726    ~~> cli 11257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-ihash 10727  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258
This theorem is referenced by:  prodmodc  11557
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