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Theorem prodmodclem2 11378
Description: Lemma for prodmodc 11379. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Revised by Jim Kingdon, 13-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodclem2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m   B, j   f, F, k, m   j, G   ph, f, k, m   x, f, k, m   z, f, m
Allowed substitution hints:   ph( x, y, z, j, n)   A( x, y, z, n)   B( x, y, z, f, k, m, n)   F( x, y, z, j, n)   G( x, y, z, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodclem2
Dummy variables g w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 520 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 522 . . . 4 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1162 . . 3 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2532 . 2 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 fveq2 5429 . . . . . 6 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
76sseq2d 3132 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
86raleqdv 2635 . . . . 5 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
9 seqeq1 10252 . . . . . 6 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
109breq1d 3947 . . . . 5 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
117, 8, 103anbi123d 1291 . . . 4 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) )
1211cbvrexvw 2662 . . 3 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
13 reeanv 2603 . . . . 5 |- ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
14 simprl3 1029 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
15 simprl1 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
16 uzssz 9369 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ZZ>= ` w ) C_ ZZ
1715, 16sstrdi 3114 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A C_ ZZ )
18 1zzd 9105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
19 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
2019nnzd 9196 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
2118, 20fzfigd 10235 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
22 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
23 f1oeng 6659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2421, 22, 23syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
2524ensymd 6685 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
26 enfii 6776 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
2721, 25, 26syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> A e. Fin )
28 zfz1iso 10616 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
2917, 27, 28syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
30 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
31 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
3231ad4ant14 506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
33 prodmodc.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
34 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
35 simpll2 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3635adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
37 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3837dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
3938rspcv 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( ZZ>= ` w ) -> ( A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A -> DECID k e. A ) )
4036, 39mpan9 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
41 simplrr 526 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
42 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> w e. ZZ )
4315adantrr 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
44 simprlr 528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
45 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
4630, 32, 33, 34, 40, 41, 42, 43, 44, 45prodmodclem2a 11377 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
4746expr 373 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4847exlimdv 1792 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
4929, 48mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
50 climuni 11094 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
5114, 49, 50syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) )
52 eqeq2 2150 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> ( x = z <-> x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
5351, 52syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) )
5453expr 373 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) -> x = z ) ) )
5554impd 252 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5655exlimdv 1792 . . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 361 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( w e. ZZ /\ m e. NN ) ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857rexlimdvva 2560 . . . . 5 |- ( ph -> ( E. w e. ZZ E. m e. NN ( ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5913, 58syl5bir 152 . . . 4 |- ( ph -> ( ( E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6059expdimp 257 . . 3 |- ( ( ph /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6112, 60sylan2b 285 . 2 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
625, 61sylan2 284 1 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 820   /\ w3a 963   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   [_csb 3007   C_ wss 3076   ifcif 3479   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131   Isom wiso 5132  (class class class)co 5782   ~~ cen 6640   Fincfn 6642   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   < clt 7824   <_ cle 7825   # cap 8367   NNcn 8744   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249  ♯chash 10553   ~~> cli 11079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080
This theorem is referenced by:  prodmodc  11379
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