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Theorem zsumdc 11184
Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
zisum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zisum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zisum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zisum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
zisum.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z DECID  x  e.  A )
zisum.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zsumdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x   
x, B    k, F, x    x, M    k, Z, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( k)    M( k)

Proof of Theorem zsumdc
Dummy variables  a  b  j  n  f  g  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  A  <->  i  e.  A ) )
3 csbeq1 3009 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ i  /  k ]_ B )
42, 3ifbieq1d 3498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
54cbvmptv 4031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
6 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
7 zisum.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
98ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
10 nfcsb1v 3039 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
1110nfel1 2293 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 3015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
1312eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1411, 13rspc 2786 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
156, 9, 14sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
16 simplr 520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
17 zisum.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1817ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
19 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
20 zisum.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21 zisum.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2220, 21sseqtrdi 3149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2322ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
24 zisum.dc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z DECID  x  e.  A )
2521raleqi 2633 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  Z DECID  x  e.  A 
<-> 
A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
2624, 25sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
27 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  i  ->  (
x  e.  A  <->  i  e.  A ) )
2827dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  i  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  i  e.  A )
)
2928cbvralv 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  i  e.  A )
3026, 29sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  i  e.  A )
3130r19.21bi 2523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
3231adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
3332adantlr 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  i  e.  A )
3433adantlr 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  M ) )  -> DECID 
i  e.  A )
35 simp-4l 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ph )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3722ssneld 3103 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  -.  i  e.  A
) )
3835, 36, 37sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  i  e.  A )
3938olcd 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( i  e.  A  \/  -.  i  e.  A )
)
40 df-dc 821 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (DECID  i  e.  A  <->  ( i  e.  A  \/  -.  i  e.  A ) )
4139, 40sylibr 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
42 eluzelz 9358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  i  e.  ZZ )
43 eluzdc 9430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  -> DECID  i  e.  ( ZZ>= `  M
) )
4418, 42, 43syl2an 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> DECID  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 exmiddc 822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (DECID  i  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  i  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( i  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  i  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
4734, 41, 46mpjaodan 788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> DECID  i  e.  A )
485, 15, 16, 18, 19, 23, 47, 33sumrbdc 11179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
4948biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
5049expimpd 361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
511, 50syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
5251rexlimdva 2552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
53 uzssz 9368 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5422, 53sstrdi 3113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
5554ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  ZZ )
56 1zzd 9104 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  1  e.  ZZ )
57 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
5857nnzd 9195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ZZ )
5956, 58fzfigd 10234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
60 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
61 f1oeng 6658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
6259, 60, 61syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
6362ensymd 6684 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
64 enfii 6775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
6559, 63, 64syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
66 zfz1iso 10615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
6755, 65, 66syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
68 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
698ad3antrrr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7068, 69, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
7131adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
7271adantlr 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  i  e.  A )
73 breq1 3939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  j  <_  ( `  A ) ) )
74 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
7574csbeq1d 3013 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
76 csbco 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
7775, 76eqtr4di 2191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
7873, 77ifbieq1d 3498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
7978cbvmptv 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
80 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  m ,  [_ ( g `  j
)  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  m ,  [_ ( g `  j
)  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
81 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
8217ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8322ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
8460adantrr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
85 simprr 522 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) )
865, 70, 72, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85summodclem2a 11181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
8759adantrr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
8887, 84fihasheqf1od 10567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( `  ( 1 ... m ) )  =  ( `  A )
)
8981nnnn0d 9053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
90 hashfz1 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... m ) )  =  m )
9189, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( `  ( 1 ... m ) )  =  m )
9288, 91eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( `  A )  =  m )
9392breq2d 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( n  <_ 
( `  A )  <->  n  <_  m ) )
9493ifbid 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
9594mpteq2dv 4026 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
9695seqeq3d 10256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
9796fveq1d 5430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
9886, 97breqtrd 3961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
9998expr 373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
10099exlimdv 1792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
10167, 100mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
102 breq2 3940 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  ->  (  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
103101, 102syl5ibrcom 156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
104103expimpd 361 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
105104exlimdv 1792 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
106105rexlimdva 2552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
10752, 106jaod 707 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
10817adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
10922adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
110 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  (
x  e.  A  <->  j  e.  A ) )
111110dcbid 824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  j  e.  A )
)
112111cbvralv 2657 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
11326, 112sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
114113adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
115 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )
116 fveq2 5428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
117116sseq2d 3131 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) ) )
118116raleqdv 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A ) )
119 seqeq1 10251 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
120119breq1d 3946 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
121117, 118, 1203anbi123d 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
122121rspcev 2792 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
123108, 109, 114, 115, 122syl13anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
124123orcd 723 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
125124ex 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
126107, 125impbid 128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
127 eluzelz 9358 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  a  e.  ZZ )
128 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
1298ad2antrr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
130 nfcsb1v 3039 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ a  /  k ]_ B
131130nfel1 2293 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ a  /  k ]_ B  e.  CC
132 csbeq1a 3015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  a  ->  B  =  [_ a  /  k ]_ B )
133132eleq1d 2209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
134131, 133rspc 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ a  /  k ]_ B  e.  CC )
)
135128, 129, 134sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  k ]_ B  e.  CC )
136 0cnd 7782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  a  e.  A )  ->  0  e.  CC )
137 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
138137dcbid 824 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  a  e.  A )
)
139138cbvralv 2657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  <->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
14026, 139sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
141140r19.21bi 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  a  e.  A
)
142135, 136, 141ifcldadc 3505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
143 eleq1w 2201 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  a  ->  (
n  e.  A  <->  a  e.  A ) )
144 csbeq1 3009 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  a  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ a  /  k ]_ B )
145143, 144ifbieq1d 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  a  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 ) )
146 eqid 2140 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
147145, 146fvmptg 5504 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 a )  =  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 ) )
148127, 142, 147syl2an2 584 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  a )  =  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 ) )
149148, 142eqeltrd 2217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  a )  e.  CC )
150 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
15153, 150sseldi 3099 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ZZ )
152 vex 2692 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
153 nfv 1509 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  j  e.  A
154 nfcsb1v 3039 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
155 nfcv 2282 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
156153, 154, 155nfif 3504 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )
157 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
158 csbeq1a 3015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
159157, 158ifbieq1d 3498 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
160152, 156, 159csbief 3048 . . . . . . . . 9  |-  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )
161 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
1628ad2antrr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
163154nfel1 2293 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
164158eleq1d 2209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
165163, 164rspc 2786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
166161, 162, 165sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
167 0cnd 7782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  j  e.  A )  ->  0  e.  CC )
168113r19.21bi 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  j  e.  A
)
169166, 167, 168ifcldadc 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
170160, 169eqeltrid 2227 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
171 nfcv 2282 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
172 nfv 1509 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  n  e.  A
173 nfcsb1v 3039 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
174172, 173, 155nfif 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
175 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
176 csbeq1a 3015 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
177175, 176ifbieq1d 3498 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
178171, 174, 177cbvmpt 4030 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
179178eqcomi 2144 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
180179fvmpts 5506 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 j )  = 
[_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
181151, 170, 180syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
182150, 21eleqtrrdi 2234 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  Z )
183 zisum.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
184183ralrimiva 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
185184adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
186 nfcsb1v 3039 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 )
187186nfeq2 2294 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
188 fveq2 5428 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
189 csbeq1a 3015 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
190188, 189eqeq12d 2155 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <-> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
191187, 190rspc 2786 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
192182, 185, 191sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  j )  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
193181, 192eqtr4d 2176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  ( F `  j ) )
194 addcl 7768 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  b )  e.  CC )
195194adantl 275 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC ) )  -> 
( a  +  b )  e.  CC )
19617, 149, 193, 195seq3feq 10275 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M
(  +  ,  F
) )
197196breq1d 3946 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
198126, 197bitrd 187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
199198iotabidv 5116 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
200 df-sumdc 11154 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
201 df-fv 5138 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x )
202199, 200, 2013eqtr4g 2198 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 698  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1332   E.wex 1469    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418   [_csb 3006    C_ wss 3075   ifcif 3478   class class class wbr 3936    |-> cmpt 3996   iotacio 5093   -1-1-onto->wf1o 5129   ` cfv 5130    Isom wiso 5131  (class class class)co 5781    ~~ cen 6639   Fincfn 6641   CCcc 7641   0cc0 7643   1c1 7644    + caddc 7646    < clt 7823    <_ cle 7824   NNcn 8743   NN0cn0 9000   ZZcz 9077   ZZ>=cuz 9349   ...cfz 9820    seqcseq 10248  ♯chash 10552    ~~> cli 11078   sum_csu 11153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-irdg 6274  df-frec 6295  df-1o 6320  df-oadd 6324  df-er 6436  df-en 6642  df-dom 6643  df-fin 6644  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-fz 9821  df-fzo 9950  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-ihash 10553  df-cj 10645  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-clim 11079  df-sumdc 11154
This theorem is referenced by:  isum  11185  sum0  11188  isumz  11189  isumss  11191  fsumsersdc  11195
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