Theorem zsumdc 11549

Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
zisum.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zisum.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zisum.3	|- ( ph -> A C_ Z )
zisum.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
zisum.dc	|- ( ph -> A. x e. Z DECID x e. A )
zisum.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zsumdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, x   x, B   k, F, x   x, M   k, Z, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( k)   M( k)

Proof of Theorem zsumdc

Dummy variables a b j n f g i m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 997	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> ( n e. A <-> i e. A ) )
3		csbeq1 3087	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> [_ n / k ]_ B = [_ i / k ]_ B )
4	2, 3	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 0 ) )
5	4	cbvmptv 4129	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( i e. ZZ |-> if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 0 ) )
6		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> i e. A )
7		zisum.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2570	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
9	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
10		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
11	10	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ i / k ]_ B e. CC
12		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
13	12	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( B e. CC <-> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
14	11, 13	rspc 2862	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
15	6, 9, 14	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
16		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> m e. ZZ )
17		zisum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
18	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> M e. ZZ )
19		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
20		zisum.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ Z )
21		zisum.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
22	20, 21	sseqtrdi 3231	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
24		zisum.dc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. Z DECID x e. A )
25	21	raleqi 2697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. Z DECID x e. A <-> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
26	24, 25	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
27		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = i -> ( x e. A <-> i e. A ) )
28	27	dcbid 839	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = i -> (DECID x e. A <-> DECID i e. A ) )
29	28	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A <-> A. i e. ( ZZ>= ` M )DECID i e. A )
30	26, 29	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. i e. ( ZZ>= ` M )DECID i e. A )
31	30	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
32	31	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
33	32	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
34	33	adantlr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
35		simp-4l 541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
36		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. i e. ( ZZ>= ` M ) )
37	22	ssneld 3185	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( -. i e. ( ZZ>= ` M ) -> -. i e. A ) )
38	35, 36, 37	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. i e. A )
39	38	olcd 735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( i e. A \/ -. i e. A ) )
40		df-dc 836	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID i e. A <-> ( i e. A \/ -. i e. A ) )
41	39, 40	sylibr 134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
42		eluzelz 9610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` m ) -> i e. ZZ )
43		eluzdc 9684	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> DECID i e. ( ZZ>= ` M ) )
44	18, 42, 43	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID i e. ( ZZ>= ` M ) )
45		exmiddc 837	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) )
47	34, 41, 46	mpjaodan 799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID i e. A )
48	5, 15, 16, 18, 19, 23, 47, 33	sumrbdc 11544	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
49	48	biimpd 144	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
50	49	expimpd 363	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
51	1, 50	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
52	51	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
53		uzssz 9621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
54	22, 53	sstrdi 3195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ZZ )
55	54	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ZZ )
56		1zzd 9353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> 1 e. ZZ )
57		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
58	57	nnzd 9447	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ZZ )
59	56, 58	fzfigd 10523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
60		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
61		f1oeng 6816	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
62	59, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
63	62	ensymd 6842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
64		enfii 6935	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
65	59, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
66		zfz1iso 10933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
67	55, 65, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
68		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> i e. A )
69	8	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
70	68, 69, 14	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
71	31	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
72	71	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
73		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
74		fveq2 5558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
75	74	csbeq1d 3091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
76		csbco 3094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B
77	75, 76	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B )
78	73, 77	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) )
79	78	cbvmptv 4129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) )
80		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ m , [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ m , [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) )
81		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
82	17	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> M e. ZZ )
83	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
84	60	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
85		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
86	5, 70, 72, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85	summodclem2a 11546	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
87	59	adantrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
88	87, 84	fihasheqf1od 10881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
89	81	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN0 )
90		hashfz1 10875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
92	88, 91	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` A ) = m )
93	92	breq2d 4045	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> n <_ m ) )
94	93	ifbid 3582	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
95	94	mpteq2dv 4124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
96	95	seqeq3d 10547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
97	96	fveq1d 5560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
98	86, 97	breqtrd 4059	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
99	98	expr 375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
100	99	exlimdv 1833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
101	67, 100	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
102		breq2 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) -> ( seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
103	101, 102	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
104	103	expimpd 363	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
105	104	exlimdv 1833	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
106	105	rexlimdva 2614	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
107	52, 106	jaod 718	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
108	17	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> M e. ZZ )
109	22	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
110		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> ( x e. A <-> j e. A ) )
111	110	dcbid 839	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> (DECID x e. A <-> DECID j e. A ) )
112	111	cbvralv 2729	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
113	26, 112	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
114	113	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
115		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x )
116		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` M ) )
117	116	sseq2d 3213	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` M ) ) )
118	116	raleqdv 2699	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) )
119		seqeq1 10542	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) )
120	119	breq1d 4043	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
121	117, 118, 120	3anbi123d 1323	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
122	121	rspcev 2868	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
123	108, 109, 114, 115, 122	syl13anc 1251	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
124	123	orcd 734	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
125	124	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
126	107, 125	impbid 129	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
127		eluzelz 9610	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) -> a e. ZZ )
128		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. A ) -> a e. A )
129	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
130		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ a / k ]_ B
131	130	nfel1 2350	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ a / k ]_ B e. CC
132		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = a -> B = [_ a / k ]_ B )
133	132	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = a -> ( B e. CC <-> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
134	131, 133	rspc 2862	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
135	128, 129, 134	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. A ) -> [_ a / k ]_ B e. CC )
136		0cnd 8019	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. A ) -> 0 e. CC )
137		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
138	137	dcbid 839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> (DECID x e. A <-> DECID a e. A ) )
139	138	cbvralv 2729	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
140	26, 139	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
141	140	r19.21bi 2585	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
142	135, 136, 141	ifcldadc 3590	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) e. CC )
143		eleq1w 2257	. . . . . . . . . 10 |- ( n = a -> ( n e. A <-> a e. A ) )
144		csbeq1 3087	. . . . . . . . . 10 |- ( n = a -> [_ n / k ]_ B = [_ a / k ]_ B )
145	143, 144	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . 9 |- ( n = a -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) )
146		eqid 2196	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
147	145, 146	fvmptg 5637	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` a ) = if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) )
148	127, 142, 147	syl2an2 594	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` a ) = if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) )
149	148, 142	eqeltrd 2273	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` a ) e. CC )
150		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
151	53, 150	sselid 3181	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. ZZ )
152		vex 2766	. . . . . . . . . 10 |- j e. _V
153		nfv 1542	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k j e. A
154		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
155		nfcv 2339	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
156	153, 154, 155	nfif 3589	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 )
157		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
158		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
159	157, 158	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
160	152, 156, 159	csbief 3129	. . . . . . . . 9 |- [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 )
161		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
162	8	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
163	154	nfel1 2350	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
164	158	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
165	163, 164	rspc 2862	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
166	161, 162, 165	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
167		0cnd 8019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. j e. A ) -> 0 e. CC )
168	113	r19.21bi 2585	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID j e. A )
169	166, 167, 168	ifcldadc 3590	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) e. CC )
170	160, 169	eqeltrid 2283	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
171		nfcv 2339	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
172		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k n e. A
173		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
174	172, 173, 155	nfif 3589	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
175		eleq1w 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
176		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
177	175, 176	ifbieq1d 3583	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
178	171, 174, 177	cbvmpt 4128	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
179	178	eqcomi 2200	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
180	179	fvmpts 5639	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
181	151, 170, 180	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
182	150, 21	eleqtrrdi 2290	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. Z )
183		zisum.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
184	183	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
185	184	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
186		nfcsb1v 3117	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 )
187	186	nfeq2 2351	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 )
188		fveq2 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
189		csbeq1a 3093	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> if ( k e. A , B , 0 ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
190	188, 189	eqeq12d 2211	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) <-> ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) ) )
191	187, 190	rspc 2862	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) ) )
192	182, 185, 191	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
193	181, 192	eqtr4d 2232	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` j ) = ( F ` j ) )
194		addcl 8004	. . . . . . 7 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
195	194	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
196	17, 149, 193, 195	seq3feq 10572	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq M ( + , F ) )
197	196	breq1d 4043	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , F ) ~~> x ) )
198	126, 197	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( + , F ) ~~> x ) )
199	198	iotabidv 5241	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x seq M ( + , F ) ~~> x ) )
200		df-sumdc 11519	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
201		df-fv 5266	. 2 |- ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( iota x seq M ( + , F ) ~~> x )
202	199, 200, 201	3eqtr4g 2254	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   [_csb 3084   C_ wss 3157   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   iotacio 5217   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258   Isom wiso 5259  (class class class)co 5922   ~~ cen 6797   Fincfn 6799   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   < clt 8061   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   seqcseq 10539  ♯chash 10867   ~~> cli 11443   sum_csu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  isum  11550  sum0  11553  isumz  11554  isumss  11556  fsumsersdc  11560