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Theorem zsumdc 10992
Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
zisum.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
zisum.2  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
zisum.3  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
zisum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
zisum.dc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z DECID  x  e.  A )
zisum.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
zsumdc  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Distinct variable groups:    A, k, x   
x, B    k, F, x    x, M    k, Z, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    B( k)    M( k)

Proof of Theorem zsumdc
Dummy variables  a  b  j  n  f  g  i  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 947 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
2 eleq1w 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  (
n  e.  A  <->  i  e.  A ) )
3 csbeq1 2958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  i  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ i  /  k ]_ B )
42, 3ifbieq1d 3441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  i  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
54cbvmptv 3964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( i  e.  ZZ  |->  if ( i  e.  A ,  [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
6 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
7 zisum.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
98ad3antrrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
10 nfcsb1v 2985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ k [_ i  /  k ]_ B
1110nfel1 2251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ k
[_ i  /  k ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 2963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  i  ->  B  =  [_ i  /  k ]_ B )
1312eleq1d 2168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  i  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ i  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
1411, 13rspc 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
)
156, 9, 14sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
16 simplr 500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  m  e.  ZZ )
17 zisum.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
1817ad2antrr 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  M  e.  ZZ )
19 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
20 zisum.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  Z )
21 zisum.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
2220, 21syl6sseq 3095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) )
2322ad2antrr 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
24 zisum.dc . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z DECID  x  e.  A )
2521raleqi 2588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  Z DECID  x  e.  A 
<-> 
A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
2624, 25sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A )
27 eleq1w 2160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  i  ->  (
x  e.  A  <->  i  e.  A ) )
2827dcbid 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  i  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  i  e.  A )
)
2928cbvralv 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  <->  A. i  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  i  e.  A )
3026, 29sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. i  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  i  e.  A )
3130r19.21bi 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
3231adantlr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
3332adantlr 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  i  e.  A )
3433adantlr 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  M ) )  -> DECID 
i  e.  A )
35 simp-4l 511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ph )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3722ssneld 3049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  -.  i  e.  A
) )
3835, 36, 37sylc 62 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  -.  i  e.  A )
3938olcd 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( i  e.  A  \/  -.  i  e.  A )
)
40 df-dc 787 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (DECID  i  e.  A  <->  ( i  e.  A  \/  -.  i  e.  A ) )
4139, 40sylibr 133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )  /\  i  e.  (
ZZ>= `  m ) )  /\  -.  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
42 eluzelz 9185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  e.  ( ZZ>= `  m
)  ->  i  e.  ZZ )
43 eluzdc 9254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  i  e.  ZZ )  -> DECID  i  e.  ( ZZ>= `  M
) )
4418, 42, 43syl2an 285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> DECID  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)
45 exmiddc 788 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (DECID  i  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ( i  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  i  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
( i  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  i  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
4734, 41, 46mpjaodan 753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> DECID  i  e.  A )
485, 15, 16, 18, 19, 23, 47, 33sumrbdc 10986 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
4948biimpd 143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  ZZ )  /\  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
5049expimpd 358 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
511, 50syl5 32 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
5251rexlimdva 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
53 uzssz 9195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ZZ>= `  M )  C_  ZZ
5422, 53syl6ss 3059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  C_  ZZ )
5554ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  C_  ZZ )
56 1zzd 8933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  1  e.  ZZ )
57 simplr 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  NN )
5857nnzd 9024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  m  e.  ZZ )
5956, 58fzfigd 10045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  e. 
Fin )
60 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
61 f1oeng 6581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
6259, 60, 61syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
1 ... m )  ~~  A )
6362ensymd 6607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  ~~  ( 1 ... m
) )
64 enfii 6697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  A  ~~  ( 1 ... m ) )  ->  A  e.  Fin )
6559, 63, 64syl2anc 406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  A  e.  Fin )
66 zfz1iso 10425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  e.  Fin )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
6755, 65, 66syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  E. g 
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) )
68 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  i  e.  A )
698ad3antrrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
7068, 69, 14sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  A )  ->  [_ i  /  k ]_ B  e.  CC )
7131adantlr 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  i  e.  A
)
7271adantlr 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) ) )  /\  i  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> DECID  i  e.  A )
73 breq1 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  j  <_  ( `  A ) ) )
74 fveq2 5353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
7574csbeq1d 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
76 csbco 2964 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [_ (
f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B
7775, 76syl6eqr 2150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B )
7873, 77ifbieq1d 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
7978cbvmptv 3964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j )  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
80 eqid 2100 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  m ,  [_ ( g `  j
)  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  m ,  [_ ( g `  j
)  /  i ]_ [_ i  /  k ]_ B ,  0 ) )
81 simplr 500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN )
8217ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  M  e.  ZZ )
8322ad2antrr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
8460adantrr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
85 simprr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
) )
865, 70, 72, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85summodclem2a 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
8759adantrr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( 1 ... m )  e.  Fin )
8887, 84fihasheqf1od 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( `  ( 1 ... m ) )  =  ( `  A )
)
8981nnnn0d 8882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
90 hashfz1 10370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... m ) )  =  m )
9189, 90syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( `  ( 1 ... m ) )  =  m )
9288, 91eqtr3d 2134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( `  A )  =  m )
9392breq2d 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( n  <_ 
( `  A )  <->  n  <_  m ) )
9493ifbid 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
9594mpteq2dv 3959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
9695seqeq3d 10067 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
9796fveq1d 5355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
9886, 97breqtrd 3899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A ) ) )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
9998expr 370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A ) ) ,  A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
10099exlimdv 1758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  ( E. g  g  Isom  <  ,  <  ( ( 1 ... ( `  A
) ) ,  A
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
10167, 100mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )
102 breq2 3879 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  ->  (  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )
103101, 102syl5ibrcom 156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
)  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
104103expimpd 358 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
105104exlimdv 1758 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
106105rexlimdva 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
10752, 106jaod 678 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  ->  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
10817adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  M  e.  ZZ )
10922adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  M ) )
110 eleq1w 2160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  j  ->  (
x  e.  A  <->  j  e.  A ) )
111110dcbid 792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  j  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  j  e.  A )
)
112111cbvralv 2612 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  <->  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
11326, 112sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
114113adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A )
115 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )
116 fveq2 5353 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  M )
)
117116sseq2d 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  M ) ) )
118116raleqdv 2590 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A ) )
119 seqeq1 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  M  ->  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
120119breq1d 3885 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  M  ->  (  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
121117, 118, 1203anbi123d 1258 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) ) )
122121rspcev 2744 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  M )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  j  e.  A  /\  seq M (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
123108, 109, 114, 115, 122syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
124123orcd 693 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
125124ex 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) ) )
126107, 125impbid 128 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x ) )
127 eluzelz 9185 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  a  e.  ZZ )
128 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
1298ad2antrr 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
130 nfcsb1v 2985 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ a  /  k ]_ B
131130nfel1 2251 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k
[_ a  /  k ]_ B  e.  CC
132 csbeq1a 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  a  ->  B  =  [_ a  /  k ]_ B )
133132eleq1d 2168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  a  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ a  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
134131, 133rspc 2738 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ a  /  k ]_ B  e.  CC )
)
135128, 129, 134sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  a  e.  A )  ->  [_ a  /  k ]_ B  e.  CC )
136 0cnd 7631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  a  e.  A )  ->  0  e.  CC )
137 eleq1w 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
138137dcbid 792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  e.  A  <-> DECID  a  e.  A )
)
139138cbvralv 2612 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  x  e.  A  <->  A. a  e.  ( ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
14026, 139sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  M )DECID  a  e.  A )
141140r19.21bi 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  a  e.  A
)
142135, 136, 141ifcldadc 3448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
143 eleq1w 2160 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  a  ->  (
n  e.  A  <->  a  e.  A ) )
144 csbeq1 2958 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  a  ->  [_ n  /  k ]_ B  =  [_ a  /  k ]_ B )
145143, 144ifbieq1d 3441 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  a  ->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 ) )
146 eqid 2100 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
147145, 146fvmptg 5429 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 a )  =  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 ) )
148127, 142, 147syl2an2 564 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  a )  =  if ( a  e.  A ,  [_ a  /  k ]_ B ,  0 ) )
149148, 142eqeltrd 2176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  a )  e.  CC )
150 simpr 109 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)
15153, 150sseldi 3045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  ZZ )
152 vex 2644 . . . . . . . . . 10  |-  j  e. 
_V
153 nfv 1476 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ k  j  e.  A
154 nfcsb1v 2985 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ B
155 nfcv 2240 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k
0
156153, 154, 155nfif 3447 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )
157 eleq1w 2160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
k  e.  A  <->  j  e.  A ) )
158 csbeq1a 2963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  B  =  [_ j  /  k ]_ B )
159157, 158ifbieq1d 3441 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 ) )
160152, 156, 159csbief 2994 . . . . . . . . 9  |-  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )
161 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  A )  ->  j  e.  A )
1628ad2antrr 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  A )  ->  A. k  e.  A  B  e.  CC )
163154nfel1 2251 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k
[_ j  /  k ]_ B  e.  CC
164158eleq1d 2168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ j  / 
k ]_ B  e.  CC ) )
165163, 164rspc 2738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  A  ->  ( A. k  e.  A  B  e.  CC  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
)
166161, 162, 165sylc 62 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  j  e.  A )  ->  [_ j  /  k ]_ B  e.  CC )
167 0cnd 7631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  -.  j  e.  A )  ->  0  e.  CC )
168113r19.21bi 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  -> DECID  j  e.  A
)
169166, 167, 168ifcldadc 3448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  if (
j  e.  A ,  [_ j  /  k ]_ B ,  0 )  e.  CC )
170160, 169syl5eqel 2186 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )
171 nfcv 2240 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
172 nfv 1476 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ k  n  e.  A
173 nfcsb1v 2985 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ k [_ n  /  k ]_ B
174172, 173, 155nfif 3447 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ k if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 )
175 eleq1w 2160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  (
k  e.  A  <->  n  e.  A ) )
176 csbeq1a 2963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  n  ->  B  =  [_ n  /  k ]_ B )
177175, 176ifbieq1d 3441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  n  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
178171, 174, 177cbvmpt 3963 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )
179178eqcomi 2104 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
180179fvmpts 5431 . . . . . . . 8  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  e.  CC )  -> 
( ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `
 j )  = 
[_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
181151, 170, 180syl2anc 406 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
182150, 21syl6eleqr 2193 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  j  e.  Z )
183 zisum.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  Z )  ->  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B , 
0 ) )
184183ralrimiva 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
185184adantr 272 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
186 nfcsb1v 2985 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ k [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B , 
0 )
187186nfeq2 2252 . . . . . . . . 9  |-  F/ k ( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 )
188 fveq2 5353 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  ( F `  k )  =  ( F `  j ) )
189 csbeq1a 2963 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  =  [_ j  / 
k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
190188, 189eqeq12d 2114 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  j  ->  (
( F `  k
)  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  <-> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
191187, 190rspc 2738 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  Z  ->  ( A. k  e.  Z  ( F `  k )  =  if ( k  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( F `  j
)  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
192182, 185, 191sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  j )  =  [_ j  /  k ]_ if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
193181, 192eqtr4d 2135 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( (
n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) `  j )  =  ( F `  j ) )
194 addcl 7617 . . . . . . 7  |-  ( ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC )  ->  ( a  +  b )  e.  CC )
195194adantl 273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  CC  /\  b  e.  CC ) )  -> 
( a  +  b )  e.  CC )
19617, 149, 193, 195seq3feq 10086 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq M
(  +  ,  F
) )
197196breq1d 3885 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq M (  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
198126, 197bitrd 187 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) )  <->  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
199198iotabidv 5045 . 2  |-  ( ph  ->  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  , 
( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x ) )
200 df-sumdc 10962 . 2  |-  sum_ k  e.  A  B  =  ( iota x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  ( n  e.  ZZ  |->  if ( n  e.  A ,  [_ n  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  ~~>  x )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  , 
( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  m ,  [_ ( f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  m
) ) ) )
201 df-fv 5067 . 2  |-  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) )  =  ( iota x  seq M (  +  ,  F )  ~~>  x )
202199, 200, 2013eqtr4g 2157 1  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  A  B  =  (  ~~>  `  seq M (  +  ,  F ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 670  DECID wdc 786    /\ w3a 930    = wceq 1299   E.wex 1436    e. wcel 1448   A.wral 2375   E.wrex 2376   [_csb 2955    C_ wss 3021   ifcif 3421   class class class wbr 3875    |-> cmpt 3929   iotacio 5022   -1-1-onto->wf1o 5058   ` cfv 5059    Isom wiso 5060  (class class class)co 5706    ~~ cen 6562   Fincfn 6564   CCcc 7498   0cc0 7500   1c1 7501    + caddc 7503    < clt 7672    <_ cle 7673   NNcn 8578   NN0cn0 8829   ZZcz 8906   ZZ>=cuz 9176   ...cfz 9631    seqcseq 10059  ♯chash 10362    ~~> cli 10886   sum_csu 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-irdg 6197  df-frec 6218  df-1o 6243  df-oadd 6247  df-er 6359  df-en 6565  df-dom 6566  df-fin 6567  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-q 9262  df-rp 9292  df-fz 9632  df-fzo 9761  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-ihash 10363  df-cj 10455  df-rsqrt 10610  df-abs 10611  df-clim 10887  df-sumdc 10962
This theorem is referenced by:  isum  10993  sum0  10996  isumz  10997  isumss  10999  fsumsersdc  11003
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