Theorem zsumdc 11325

Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 8-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
zisum.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )
zisum.2	|- ( ph -> M e. ZZ )
zisum.3	|- ( ph -> A C_ Z )
zisum.4	|- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
zisum.dc	|- ( ph -> A. x e. Z DECID x e. A )
zisum.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
zsumdc	|- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )

Distinct variable groups:   A, k, x   x, B   k, F, x   x, M   k, Z, x   ph, k, x

Allowed substitution hints:   B( k)   M( k)

Proof of Theorem zsumdc

Dummy variables a b j n f g i m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpb 985	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
2		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> ( n e. A <-> i e. A ) )
3		csbeq1 3048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = i -> [_ n / k ]_ B = [_ i / k ]_ B )
4	2, 3	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = i -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 0 ) )
5	4	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . 11 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( i e. ZZ |-> if ( i e. A , [_ i / k ]_ B , 0 ) )
6		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> i e. A )
7		zisum.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
8	7	ralrimiva 2539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. k e. A B e. CC )
9	8	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
10		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ i / k ]_ B
11	10	nfel1 2319	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ i / k ]_ B e. CC
12		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B )
13	12	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = i -> ( B e. CC <-> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
14	11, 13	rspc 2824	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ i / k ]_ B e. CC ) )
15	6, 9, 14	sylc 62	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
16		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> m e. ZZ )
17		zisum.2	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
18	17	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> M e. ZZ )
19		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
20		zisum.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ Z )
21		zisum.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
22	20, 21	sseqtrdi 3190	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
24		zisum.dc	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> A. x e. Z DECID x e. A )
25	21	raleqi 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A. x e. Z DECID x e. A <-> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
26	24, 25	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A )
27		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x = i -> ( x e. A <-> i e. A ) )
28	27	dcbid 828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = i -> (DECID x e. A <-> DECID i e. A ) )
29	28	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A <-> A. i e. ( ZZ>= ` M )DECID i e. A )
30	26, 29	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. i e. ( ZZ>= ` M )DECID i e. A )
31	30	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
32	31	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
33	32	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
34	33	adantlr 469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
35		simp-4l 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ph )
36		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. i e. ( ZZ>= ` M ) )
37	22	ssneld 3144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( -. i e. ( ZZ>= ` M ) -> -. i e. A ) )
38	35, 36, 37	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> -. i e. A )
39	38	olcd 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( i e. A \/ -. i e. A ) )
40		df-dc 825	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID i e. A <-> ( i e. A \/ -. i e. A ) )
41	39, 40	sylibr 133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) /\ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
42		eluzelz 9475	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( ZZ>= ` m ) -> i e. ZZ )
43		eluzdc 9548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. ZZ /\ i e. ZZ ) -> DECID i e. ( ZZ>= ` M ) )
44	18, 42, 43	syl2an 287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID i e. ( ZZ>= ` M ) )
45		exmiddc 826	. . . . . . . . . . . . 13 |- (DECID i e. ( ZZ>= ` M ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) )
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> ( i e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. i e. ( ZZ>= ` M ) ) )
47	34, 41, 46	mpjaodan 788	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID i e. A )
48	5, 15, 16, 18, 19, 23, 47, 33	sumrbdc 11320	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
49	48	biimpd 143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. ZZ ) /\ A C_ ( ZZ>= ` m ) ) -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
50	49	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
51	1, 50	syl5 32	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. ZZ ) -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
52	51	rexlimdva 2583	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
53		uzssz 9485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` M ) C_ ZZ
54	22, 53	sstrdi 3154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A C_ ZZ )
55	54	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A C_ ZZ )
56		1zzd 9218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> 1 e. ZZ )
57		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. NN )
58	57	nnzd 9312	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> m e. ZZ )
59	56, 58	fzfigd 10366	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
60		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
61		f1oeng 6723	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
62	59, 60, 61	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( 1 ... m ) ~~ A )
63	62	ensymd 6749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A ~~ ( 1 ... m ) )
64		enfii 6840	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 ... m ) e. Fin /\ A ~~ ( 1 ... m ) ) -> A e. Fin )
65	59, 63, 64	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> A e. Fin )
66		zfz1iso 10754	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A C_ ZZ /\ A e. Fin ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
67	55, 65, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
68		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> i e. A )
69	8	ad3antrrr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
70	68, 69, 14	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. A ) -> [_ i / k ]_ B e. CC )
71	31	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
72	71	adantlr 469	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) /\ i e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID i e. A )
73		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
74		fveq2 5486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
75	74	csbeq1d 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
76		csbco 3055	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B
77	75, 76	eqtr4di 2217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B )
78	73, 77	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) )
79	78	cbvmptv 4078	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) )
80		eqid 2165	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ m , [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ m , [_ ( g ` j ) / i ]_ [_ i / k ]_ B , 0 ) )
81		simplr 520	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN )
82	17	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> M e. ZZ )
83	22	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
84	60	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
85		simprr 522	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) )
86	5, 70, 72, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85	summodclem2a 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
87	59	adantrr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
88	87, 84	fihasheqf1od 10703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
89	81	nnnn0d 9167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> m e. NN0 )
90		hashfz1 10696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
91	89, 90	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
92	88, 91	eqtr3d 2200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> (♯ ` A ) = m )
93	92	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> n <_ m ) )
94	93	ifbid 3541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
95	94	mpteq2dv 4073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) )
96	95	seqeq3d 10388	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
97	96	fveq1d 5488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
98	86, 97	breqtrd 4008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
99	98	expr 373	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
100	99	exlimdv 1807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( E. g g Isom < , < ( ( 1 ... (♯ ` A ) ) , A ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
101	67, 100	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) )
102		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) -> ( seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) )
103	101, 102	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A ) -> ( x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
104	103	expimpd 361	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
105	104	exlimdv 1807	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
106	105	rexlimdva 2583	. . . . . 6 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
107	52, 106	jaod 707	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
108	17	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> M e. ZZ )
109	22	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> A C_ ( ZZ>= ` M ) )
110		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = j -> ( x e. A <-> j e. A ) )
111	110	dcbid 828	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = j -> (DECID x e. A <-> DECID j e. A ) )
112	111	cbvralv 2692	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
113	26, 112	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
114	113	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A )
115		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x )
116		fveq2 5486	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` M ) )
117	116	sseq2d 3172	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` M ) ) )
118	116	raleqdv 2667	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A ) )
119		seqeq1 10383	. . . . . . . . . . 11 |- ( m = M -> seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) )
120	119	breq1d 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( m = M -> ( seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
121	117, 118, 120	3anbi123d 1302	. . . . . . . . 9 |- ( m = M -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) ) )
122	121	rspcev 2830	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. ZZ /\ ( A C_ ( ZZ>= ` M ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` M )DECID j e. A /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
123	108, 109, 114, 115, 122	syl13anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
124	123	orcd 723	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
125	124	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) )
126	107, 125	impbid 128	. . . 4 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) )
127		eluzelz 9475	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ZZ>= ` M ) -> a e. ZZ )
128		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. A ) -> a e. A )
129	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
130		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ a / k ]_ B
131	130	nfel1 2319	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k [_ a / k ]_ B e. CC
132		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = a -> B = [_ a / k ]_ B )
133	132	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = a -> ( B e. CC <-> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
134	131, 133	rspc 2824	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ a / k ]_ B e. CC ) )
135	128, 129, 134	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ a e. A ) -> [_ a / k ]_ B e. CC )
136		0cnd 7892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. a e. A ) -> 0 e. CC )
137		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
138	137	dcbid 828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = a -> (DECID x e. A <-> DECID a e. A ) )
139	138	cbvralv 2692	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. ( ZZ>= ` M )DECID x e. A <-> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
140	26, 139	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. a e. ( ZZ>= ` M )DECID a e. A )
141	140	r19.21bi 2554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID a e. A )
142	135, 136, 141	ifcldadc 3549	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) e. CC )
143		eleq1w 2227	. . . . . . . . . 10 |- ( n = a -> ( n e. A <-> a e. A ) )
144		csbeq1 3048	. . . . . . . . . 10 |- ( n = a -> [_ n / k ]_ B = [_ a / k ]_ B )
145	143, 144	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . 9 |- ( n = a -> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) = if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) )
146		eqid 2165	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
147	145, 146	fvmptg 5562	. . . . . . . 8 |- ( ( a e. ZZ /\ if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` a ) = if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) )
148	127, 142, 147	syl2an2 584	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` a ) = if ( a e. A , [_ a / k ]_ B , 0 ) )
149	148, 142	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` a ) e. CC )
150		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. ( ZZ>= ` M ) )
151	53, 150	sselid 3140	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. ZZ )
152		vex 2729	. . . . . . . . . 10 |- j e. _V
153		nfv 1516	. . . . . . . . . . 11 |- F/ k j e. A
154		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k [_ j / k ]_ B
155		nfcv 2308	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k 0
156	153, 154, 155	nfif 3548	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 )
157		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> ( k e. A <-> j e. A ) )
158		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = j -> B = [_ j / k ]_ B )
159	157, 158	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) )
160	152, 156, 159	csbief 3089	. . . . . . . . 9 |- [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) = if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 )
161		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. A ) -> j e. A )
162	8	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. A ) -> A. k e. A B e. CC )
163	154	nfel1 2319	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k [_ j / k ]_ B e. CC
164	158	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = j -> ( B e. CC <-> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
165	163, 164	rspc 2824	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. A -> ( A. k e. A B e. CC -> [_ j / k ]_ B e. CC ) )
166	161, 162, 165	sylc 62	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ j e. A ) -> [_ j / k ]_ B e. CC )
167		0cnd 7892	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ -. j e. A ) -> 0 e. CC )
168	113	r19.21bi 2554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> DECID j e. A )
169	166, 167, 168	ifcldadc 3549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> if ( j e. A , [_ j / k ]_ B , 0 ) e. CC )
170	160, 169	eqeltrid 2253	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC )
171		nfcv 2308	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n if ( k e. A , B , 0 )
172		nfv 1516	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ k n e. A
173		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ k [_ n / k ]_ B
174	172, 173, 155	nfif 3548	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ k if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 )
175		eleq1w 2227	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> ( k e. A <-> n e. A ) )
176		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = n -> B = [_ n / k ]_ B )
177	175, 176	ifbieq1d 3542	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = n -> if ( k e. A , B , 0 ) = if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
178	171, 174, 177	cbvmpt 4077	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) ) = ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) )
179	178	eqcomi 2169	. . . . . . . . 9 |- ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
180	179	fvmpts 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( j e. ZZ /\ [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) e. CC ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
181	151, 170, 180	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
182	150, 21	eleqtrrdi 2260	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> j e. Z )
183		zisum.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. Z ) -> ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
184	183	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
185	184	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) )
186		nfcsb1v 3078	. . . . . . . . . 10 |- F/_ k [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 )
187	186	nfeq2 2320	. . . . . . . . 9 |- F/ k ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 )
188		fveq2 5486	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> ( F ` k ) = ( F ` j ) )
189		csbeq1a 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( k = j -> if ( k e. A , B , 0 ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
190	188, 189	eqeq12d 2180	. . . . . . . . 9 |- ( k = j -> ( ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) <-> ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) ) )
191	187, 190	rspc 2824	. . . . . . . 8 |- ( j e. Z -> ( A. k e. Z ( F ` k ) = if ( k e. A , B , 0 ) -> ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) ) )
192	182, 185, 191	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` j ) = [_ j / k ]_ if ( k e. A , B , 0 ) )
193	181, 192	eqtr4d 2201	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ` j ) = ( F ` j ) )
194		addcl 7878	. . . . . . 7 |- ( ( a e. CC /\ b e. CC ) -> ( a + b ) e. CC )
195	194	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( a e. CC /\ b e. CC ) ) -> ( a + b ) e. CC )
196	17, 149, 193, 195	seq3feq 10407	. . . . 5 |- ( ph -> seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq M ( + , F ) )
197	196	breq1d 3992	. . . 4 |- ( ph -> ( seq M ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x <-> seq M ( + , F ) ~~> x ) )
198	126, 197	bitrd 187	. . 3 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) <-> seq M ( + , F ) ~~> x ) )
199	198	iotabidv 5174	. 2 |- ( ph -> ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) ) = ( iota x seq M ( + , F ) ~~> x ) )
200		df-sumdc 11295	. 2 |- sum_ k e. A B = ( iota x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , ( n e. ZZ |-> if ( n e. A , [_ n / k ]_ B , 0 ) ) ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , ( n e. NN |-> if ( n <_ m , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` m ) ) ) )
201		df-fv 5196	. 2 |- ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) = ( iota x seq M ( + , F ) ~~> x )
202	199, 200, 201	3eqtr4g 2224	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B = ( ~~> ` seq M ( + , F ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 824   /\ w3a 968   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   [_csb 3045   C_ wss 3116   ifcif 3520   class class class wbr 3982   |-> cmpt 4043   iotacio 5151   -1-1-onto->wf1o 5187   ` cfv 5188   Isom wiso 5189  (class class class)co 5842   ~~ cen 6704   Fincfn 6706   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   < clt 7933   <_ cle 7934   NNcn 8857   NN0cn0 9114   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466   ...cfz 9944   seqcseq 10380  ♯chash 10688   ~~> cli 11219   sum_csu 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-ihash 10689  df-cj 10784  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295

This theorem is referenced by:  isum  11326  sum0  11329  isumz  11330  isumss  11332  fsumsersdc  11336