ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 GIF version

Theorem f1ocnvfv1 5556
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5282 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
21fveq1d 5307 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
32adantr 270 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4 f1of 5253 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
5 fvco3 5375 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
64, 5sylan 277 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
7 fvresi 5490 . . 3 (𝐶𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
87adantl 271 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
93, 6, 83eqtr3d 2128 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438   I cid 4115  ccnv 4437  cres 4440  ccom 4442  wf 5011  1-1-ontowf1o 5014  cfv 5015
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-sbc 2841  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5558  iseqf1olemab  9918  cnrecnv  10344
  Copyright terms: Public domain W3C validator