ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ocnvfv1 GIF version

Theorem f1ocnvfv1 5777
Description: The converse value of the value of a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 20-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
f1ocnvfv1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)

Proof of Theorem f1ocnvfv1
StepHypRef Expression
1 f1ococnv1 5490 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
21fveq1d 5517 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
32adantr 276 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (( I ↾ 𝐴)‘𝐶))
4 f1of 5461 . . 3 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
5 fvco3 5587 . . 3 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
64, 5sylan 283 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐹)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐹𝐶)))
7 fvresi 5709 . . 3 (𝐶𝐴 → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
87adantl 277 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (( I ↾ 𝐴)‘𝐶) = 𝐶)
93, 6, 83eqtr3d 2218 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐶𝐴) → (𝐹‘(𝐹𝐶)) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148   I cid 4288  ccnv 4625  cres 4628  ccom 4630  wf 5212  1-1-ontowf1o 5215  cfv 5216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224
This theorem is referenced by:  f1ocnvfv  5779  caseinl  7089  caseinr  7090  ctssdccl  7109  cc3  7266  iseqf1olemab  10486  cnrecnv  10914  fprodssdc  11593  ennnfonelemhf1o  12408  ennnfonelemex  12409  ennnfonelemrn  12414  ctinfomlemom  12422  ssnnctlemct  12441  mhmf1o  12815  isomninnlem  14660  iswomninnlem  14679  ismkvnnlem  14682
  Copyright terms: Public domain W3C validator