ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrecnv Unicode version

Theorem cnrecnv 10309
Description: The inverse to the canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC from cnref1o 9102. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
cnrecnv  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Distinct variable groups:    z, F    x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
21cnref1o 9102 . . . . . 6  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
3 f1ocnv 5250 . . . . . 6  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
4 f1of 5237 . . . . . 6  |-  ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' F : CC
--> ( RR  X.  RR ) )
52, 3, 4mp2b 8 . . . . 5  |-  `' F : CC --> ( RR  X.  RR )
65a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  `' F : CC --> ( RR 
X.  RR ) )
76feqmptd 5341 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  =  (
z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) ) )
87mptru 1298 . 2  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )
9 df-ov 5637 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( F `  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
10 recl 10252 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  RR )
11 imcl 10253 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  RR )
1210recnd 7495 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  CC )
13 ax-icn 7419 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
1413a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1511recnd 7495 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  CC )
1614, 15mulcld 7487 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  z ) )  e.  CC )
1712, 16addcld 7486 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  CC )
18 oveq1 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  y
) ) )
19 oveq2 5642 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
_i  x.  y )  =  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )
2019oveq2d 5650 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2118, 20, 1ovmpt2g 5761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR  /\  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( ( Re `  z )  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
2210, 11, 17, 21syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
) F ( Im
`  z ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
239, 22syl5eqr 2134 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  ( ( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
24 replim 10258 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  z  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2523, 24eqtr4d 2123 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  z )
2625fveq2d 5293 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  ( `' F `  z ) )
27 opelxpi 4459 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR )  ->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2810, 11, 27syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
29 f1ocnvfv1 5538 . . . . 5  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  <.
( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
302, 28, 29sylancr 405 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
3126, 30eqtr3d 2122 . . 3  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  z )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
3231mpteq2ia 3916 . 2  |-  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
338, 32eqtri 2108 1  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1289   T. wtru 1290    e. wcel 1438   <.cop 3444    |-> cmpt 3891    X. cxp 4426   `'ccnv 4427   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634    |-> cmpt2 5636   CCcc 7327   RRcr 7328   _ici 7331    + caddc 7332    x. cmul 7334   Recre 10239   Imcim 10240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator