Theorem cnrecnv 10309

Description: The inverse to the canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC from cnref1o 9102. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	|- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Distinct variable groups:   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2	1	cnref1o 9102	. . . . . 6 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
3		f1ocnv 5250	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) )
4		f1of 5237	. . . . . 6 |- ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 |- `' F : CC --> ( RR X. RR )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
7	6	feqmptd 5341	. . 3 |- ( T. -> `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) )
8	7	mptru 1298	. 2 |- `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) )
9		df-ov 5637	. . . . . . 7 |- ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
10		recl 10252	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. RR )
11		imcl 10253	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. RR )
12	10	recnd 7495	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. CC )
13		ax-icn 7419	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> _i e. CC )
15	11	recnd 7495	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. CC )
16	14, 15	mulcld 7487	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( _i x. ( Im ` z ) ) e. CC )
17	12, 16	addcld 7486	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC )
18		oveq1 5641	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) )
19		oveq2 5642	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( _i x. y ) = ( _i x. ( Im ` z ) ) )
20	19	oveq2d 5650	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
21	18, 20, 1	ovmpt2g 5761	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR /\ ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC ) -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1174	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
23	9, 22	syl5eqr 2134	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
24		replim 10258	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> z = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
25	23, 24	eqtr4d 2123	. . . . 5 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = z )
26	25	fveq2d 5293	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = ( `' F ` z ) )
27		opelxpi 4459	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
28	10, 11, 27	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( z e. CC -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
29		f1ocnvfv1 5538	. . . . 5 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
30	2, 28, 29	sylancr 405	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31	26, 30	eqtr3d 2122	. . 3 |- ( z e. CC -> ( `' F ` z ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32	31	mpteq2ia 3916	. 2 |- ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
33	8, 32	eqtri 2108	1 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Syntax hints:   = wceq 1289   T. wtru 1290   e. wcel 1438   <.cop 3444   |-> cmpt 3891   X. cxp 4426   `'ccnv 4427   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   |-> cmpt2 5636   CCcc 7327   RRcr 7328   _ici 7331   + caddc 7332   x. cmul 7334   Recre 10239   Imcim 10240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-2 8452  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243

This theorem is referenced by: (None)