Theorem cnrecnv 11254

Description: The inverse to the canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC from cnref1o 9774. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	|- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Distinct variable groups:   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2	1	cnref1o 9774	. . . . . 6 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
3		f1ocnv 5537	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) )
4		f1of 5524	. . . . . 6 |- ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 |- `' F : CC --> ( RR X. RR )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
7	6	feqmptd 5634	. . 3 |- ( T. -> `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) )
8	7	mptru 1382	. 2 |- `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) )
9		df-ov 5949	. . . . . . 7 |- ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
10		recl 11197	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. RR )
11		imcl 11198	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. RR )
12	10	recnd 8103	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. CC )
13		ax-icn 8022	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> _i e. CC )
15	11	recnd 8103	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. CC )
16	14, 15	mulcld 8095	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( _i x. ( Im ` z ) ) e. CC )
17	12, 16	addcld 8094	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC )
18		oveq1 5953	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) )
19		oveq2 5954	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( _i x. y ) = ( _i x. ( Im ` z ) ) )
20	19	oveq2d 5962	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
21	18, 20, 1	ovmpog 6082	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR /\ ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC ) -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1250	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
23	9, 22	eqtr3id 2252	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
24		replim 11203	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> z = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
25	23, 24	eqtr4d 2241	. . . . 5 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = z )
26	25	fveq2d 5582	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = ( `' F ` z ) )
27		opelxpi 4708	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
28	10, 11, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( z e. CC -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
29		f1ocnvfv1 5848	. . . . 5 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
30	2, 28, 29	sylancr 414	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31	26, 30	eqtr3d 2240	. . 3 |- ( z e. CC -> ( `' F ` z ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32	31	mpteq2ia 4131	. 2 |- ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
33	8, 32	eqtri 2226	1 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Syntax hints:   = wceq 1373   T. wtru 1374   e. wcel 2176   <.cop 3636   |-> cmpt 4106   X. cxp 4674   `'ccnv 4675   -->wf 5268   -1-1-onto->wf1o 5271   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   e. cmpo 5948   CCcc 7925   RRcr 7926   _ici 7929   + caddc 7930   x. cmul 7932   Recre 11184   Imcim 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-apti 8042  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044  ax-pre-mulext 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-po 4344  df-iso 4345  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-reap 8650  df-ap 8657  df-div 8748  df-2 9097  df-cj 11186  df-re 11187  df-im 11188

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15115