ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrecnv Unicode version

Theorem cnrecnv 10523
Description: The inverse to the canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC from cnref1o 9290. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
cnrecnv  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Distinct variable groups:    z, F    x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
21cnref1o 9290 . . . . . 6  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
3 f1ocnv 5314 . . . . . 6  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
4 f1of 5301 . . . . . 6  |-  ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' F : CC
--> ( RR  X.  RR ) )
52, 3, 4mp2b 8 . . . . 5  |-  `' F : CC --> ( RR  X.  RR )
65a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  `' F : CC --> ( RR 
X.  RR ) )
76feqmptd 5406 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  =  (
z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) ) )
87mptru 1308 . 2  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )
9 df-ov 5709 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( F `  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
10 recl 10466 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  RR )
11 imcl 10467 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  RR )
1210recnd 7666 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  CC )
13 ax-icn 7590 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
1413a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1511recnd 7666 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  CC )
1614, 15mulcld 7658 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  z ) )  e.  CC )
1712, 16addcld 7657 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  CC )
18 oveq1 5713 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  y
) ) )
19 oveq2 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
_i  x.  y )  =  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )
2019oveq2d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2118, 20, 1ovmpog 5837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR  /\  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( ( Re `  z )  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
2210, 11, 17, 21syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
) F ( Im
`  z ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
239, 22syl5eqr 2146 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  ( ( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
24 replim 10472 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  z  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2523, 24eqtr4d 2135 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  z )
2625fveq2d 5357 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  ( `' F `  z ) )
27 opelxpi 4509 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR )  ->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2810, 11, 27syl2anc 406 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
29 f1ocnvfv1 5610 . . . . 5  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  <.
( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
302, 28, 29sylancr 408 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
3126, 30eqtr3d 2134 . . 3  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  z )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
3231mpteq2ia 3954 . 2  |-  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
338, 32eqtri 2120 1  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1299   T. wtru 1300    e. wcel 1448   <.cop 3477    |-> cmpt 3929    X. cxp 4475   `'ccnv 4476   -->wf 5055   -1-1-onto->wf1o 5058   ` cfv 5059  (class class class)co 5706    e. cmpo 5708   CCcc 7498   RRcr 7499   _ici 7502    + caddc 7503    x. cmul 7505   Recre 10453   Imcim 10454
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-2 8637  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator