Theorem cnrecnv 10838

Description: The inverse to the canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC from cnref1o 9579. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	|- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Distinct variable groups:   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2	1	cnref1o 9579	. . . . . 6 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
3		f1ocnv 5439	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) )
4		f1of 5426	. . . . . 6 |- ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 |- `' F : CC --> ( RR X. RR )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
7	6	feqmptd 5533	. . 3 |- ( T. -> `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) )
8	7	mptru 1351	. 2 |- `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) )
9		df-ov 5839	. . . . . . 7 |- ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
10		recl 10781	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. RR )
11		imcl 10782	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. RR )
12	10	recnd 7918	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. CC )
13		ax-icn 7839	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> _i e. CC )
15	11	recnd 7918	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. CC )
16	14, 15	mulcld 7910	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( _i x. ( Im ` z ) ) e. CC )
17	12, 16	addcld 7909	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC )
18		oveq1 5843	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) )
19		oveq2 5844	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( _i x. y ) = ( _i x. ( Im ` z ) ) )
20	19	oveq2d 5852	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
21	18, 20, 1	ovmpog 5967	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR /\ ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC ) -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1227	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
23	9, 22	eqtr3id 2211	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
24		replim 10787	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> z = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
25	23, 24	eqtr4d 2200	. . . . 5 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = z )
26	25	fveq2d 5484	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = ( `' F ` z ) )
27		opelxpi 4630	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
28	10, 11, 27	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( z e. CC -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
29		f1ocnvfv1 5739	. . . . 5 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
30	2, 28, 29	sylancr 411	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31	26, 30	eqtr3d 2199	. . 3 |- ( z e. CC -> ( `' F ` z ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32	31	mpteq2ia 4062	. 2 |- ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
33	8, 32	eqtri 2185	1 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Syntax hints:   = wceq 1342   T. wtru 1343   e. wcel 2135   <.cop 3573   |-> cmpt 4037   X. cxp 4596   `'ccnv 4597   -->wf 5178   -1-1-onto->wf1o 5181   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   e. cmpo 5838   CCcc 7742   RRcr 7743   _ici 7746   + caddc 7747   x. cmul 7749   Recre 10768   Imcim 10769

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-2 8907  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  13134