Theorem cnrecnv 11550

Description: The inverse to the canonical bijection from ( RR X. RR ) to CC from cnref1o 9946. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnrecnv.1	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnrecnv	|- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Distinct variable groups:   z, F   x, y, z

Allowed substitution hints:   F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnrecnv.1	. . . . . . 7 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
2	1	cnref1o 9946	. . . . . 6 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
3		f1ocnv 5605	. . . . . 6 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) )
4		f1of 5592	. . . . . 6 |- ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR X. RR ) -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
5	2, 3, 4	mp2b 8	. . . . 5 |- `' F : CC --> ( RR X. RR )
6	5	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> `' F : CC --> ( RR X. RR ) )
7	6	feqmptd 5708	. . 3 |- ( T. -> `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) )
8	7	mptru 1407	. 2 |- `' F = ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) )
9		df-ov 6031	. . . . . . 7 |- ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
10		recl 11493	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. RR )
11		imcl 11494	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. RR )
12	10	recnd 8267	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( Re ` z ) e. CC )
13		ax-icn 8187	. . . . . . . . . . 11 |- _i e. CC
14	13	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> _i e. CC )
15	11	recnd 8267	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. CC -> ( Im ` z ) e. CC )
16	14, 15	mulcld 8259	. . . . . . . . 9 |- ( z e. CC -> ( _i x. ( Im ` z ) ) e. CC )
17	12, 16	addcld 8258	. . . . . . . 8 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC )
18		oveq1 6035	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( Re ` z ) -> ( x + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) )
19		oveq2 6036	. . . . . . . . . 10 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( _i x. y ) = ( _i x. ( Im ` z ) ) )
20	19	oveq2d 6044	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( Im ` z ) -> ( ( Re ` z ) + ( _i x. y ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
21	18, 20, 1	ovmpog 6166	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR /\ ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) e. CC ) -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
22	10, 11, 17, 21	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( z e. CC -> ( ( Re ` z ) F ( Im ` z ) ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
23	9, 22	eqtr3id 2278	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
24		replim 11499	. . . . . 6 |- ( z e. CC -> z = ( ( Re ` z ) + ( _i x. ( Im ` z ) ) ) )
25	23, 24	eqtr4d 2267	. . . . 5 |- ( z e. CC -> ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) = z )
26	25	fveq2d 5652	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = ( `' F ` z ) )
27		opelxpi 4763	. . . . . 6 |- ( ( ( Re ` z ) e. RR /\ ( Im ` z ) e. RR ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
28	10, 11, 27	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( z e. CC -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) )
29		f1ocnvfv1 5928	. . . . 5 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
30	2, 28, 29	sylancr 414	. . . 4 |- ( z e. CC -> ( `' F ` ( F ` <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. ) ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31	26, 30	eqtr3d 2266	. . 3 |- ( z e. CC -> ( `' F ` z ) = <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
32	31	mpteq2ia 4180	. 2 |- ( z e. CC |-> ( `' F ` z ) ) = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
33	8, 32	eqtri 2252	1 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )

Syntax hints:   = wceq 1398   T. wtru 1399   e. wcel 2202   <.cop 3676   |-> cmpt 4155   X. cxp 4729   `'ccnv 4730   -->wf 5329   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333  (class class class)co 6028   e. cmpo 6030   CCcc 8090   RRcr 8091   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097   Recre 11480   Imcim 11481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-2 9261  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484

This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  15421