ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnrecnv Unicode version

Theorem cnrecnv 10706
Description: The inverse to the canonical bijection from  ( RR  X.  RR ) to  CC from cnref1o 9462. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnrecnv.1  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
Assertion
Ref Expression
cnrecnv  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Distinct variable groups:    z, F    x, y, z
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem cnrecnv
StepHypRef Expression
1 cnrecnv.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
21cnref1o 9462 . . . . . 6  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
3 f1ocnv 5383 . . . . . 6  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR ) )
4 f1of 5370 . . . . . 6  |-  ( `' F : CC -1-1-onto-> ( RR  X.  RR )  ->  `' F : CC
--> ( RR  X.  RR ) )
52, 3, 4mp2b 8 . . . . 5  |-  `' F : CC --> ( RR  X.  RR )
65a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  `' F : CC --> ( RR 
X.  RR ) )
76feqmptd 5477 . . 3  |-  ( T. 
->  `' F  =  (
z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) ) )
87mptru 1340 . 2  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )
9 df-ov 5780 . . . . . . 7  |-  ( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( F `  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
10 recl 10649 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  RR )
11 imcl 10650 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  RR )
1210recnd 7813 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Re `  z )  e.  CC )
13 ax-icn 7734 . . . . . . . . . . 11  |-  _i  e.  CC
1413a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  _i  e.  CC )
1511recnd 7813 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  CC  ->  (
Im `  z )  e.  CC )
1614, 15mulcld 7805 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  z ) )  e.  CC )
1712, 16addcld 7804 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  CC )
18 oveq1 5784 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( Re `  z )  ->  (
x  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  y
) ) )
19 oveq2 5785 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
_i  x.  y )  =  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )
2019oveq2d 5793 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  z )  ->  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  y ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2118, 20, 1ovmpog 5908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR  /\  (
( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) )  e.  CC )  -> 
( ( Re `  z ) F ( Im `  z ) )  =  ( ( Re `  z )  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
2210, 11, 17, 21syl3anc 1216 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  CC  ->  (
( Re `  z
) F ( Im
`  z ) )  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
239, 22syl5eqr 2186 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  ( ( Re `  z
)  +  ( _i  x.  ( Im `  z ) ) ) )
24 replim 10655 . . . . . 6  |-  ( z  e.  CC  ->  z  =  ( ( Re
`  z )  +  ( _i  x.  (
Im `  z )
) ) )
2523, 24eqtr4d 2175 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  ( F `  <. ( Re
`  z ) ,  ( Im `  z
) >. )  =  z )
2625fveq2d 5428 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  ( `' F `  z ) )
27 opelxpi 4574 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re `  z
)  e.  RR  /\  ( Im `  z )  e.  RR )  ->  <. ( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
2810, 11, 27syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( z  e.  CC  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )
29 f1ocnvfv1 5681 . . . . 5  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  <.
( Re `  z
) ,  ( Im
`  z ) >.  e.  ( RR  X.  RR ) )  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
302, 28, 29sylancr 410 . . . 4  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. ) )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
3126, 30eqtr3d 2174 . . 3  |-  ( z  e.  CC  ->  ( `' F `  z )  =  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
3231mpteq2ia 4017 . 2  |-  ( z  e.  CC  |->  ( `' F `  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >. )
338, 32eqtri 2160 1  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480   <.cop 3530    |-> cmpt 3992    X. cxp 4540   `'ccnv 4541   -->wf 5122   -1-1-onto->wf1o 5125   ` cfv 5126  (class class class)co 5777    e. cmpo 5779   CCcc 7637   RRcr 7638   _ici 7641    + caddc 7642    x. cmul 7644   Recre 10636   Imcim 10637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-2 8798  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640
This theorem is referenced by:  cnrehmeocntop  12788
  Copyright terms: Public domain W3C validator