Theorem cc3 7598

Description: Countable choice using a sequence F(n) . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cc3.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
cc3.f	|- ( ph -> A. n e. N F e. _V )
cc3.m	|- ( ph -> A. n e. N E. w w e. F )
cc3.n	|- ( ph -> N ~~ om )

Assertion

Ref	Expression
cc3	|- ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )

Distinct variable groups:   f, F   w, F   f, N, n   w, N, n   ph, n, w

Allowed substitution hints:   ph( f)   F( n)

Proof of Theorem cc3

Dummy variables g h k m p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cc3.n	. . 3 |- ( ph -> N ~~ om )
2		relen 6992	. . . 4 |- Rel ~~
3	2	brrelex1i 4798	. . 3 |- ( N ~~ om -> N e. _V )
4		mptexg 5916	. . 3 |- ( N e. _V -> ( n e. N |-> F ) e. _V )
5	1, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( n e. N |-> F ) e. _V )
6		bren 6996	. . . . . . 7 |- ( N ~~ om <-> E. h h : N -1-1-onto-> om )
7	1, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. h h : N -1-1-onto-> om )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> E. h h : N -1-1-onto-> om )
9		cc3.cc	. . . . . . . 8 |- ( ph -> CCHOICE )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> CCHOICE )
11		cc3.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. N F e. _V )
12		eqid 2234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. N |-> F ) = ( n e. N |-> F )
13	12	mptfng 5489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. N F e. _V <-> ( n e. N |-> F ) Fn N )
14	11, 13	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. N |-> F ) Fn N )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> ( n e. N |-> F ) Fn N )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> k = ( n e. N |-> F ) )
17	16	fneq1d 5451	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> ( k Fn N <-> ( n e. N |-> F ) Fn N ) )
18	15, 17	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> k Fn N )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> k Fn N )
20		f1ocnv 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> `' h : om -1-1-onto-> N )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> `' h : om -1-1-onto-> N )
22		f1of 5619	. . . . . . . . 9 |- ( `' h : om -1-1-onto-> N -> `' h : om --> N )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> `' h : om --> N )
24		fnfco 5544	. . . . . . . 8 |- ( ( k Fn N /\ `' h : om --> N ) -> ( k o. `' h ) Fn om )
25	19, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( k o. `' h ) Fn om )
26	23	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( `' h ` p ) e. N )
27		cc3.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. N E. w w e. F )
28	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> A. n e. N E. w w e. F )
29		nfcsb1v 3174	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F
30	29	nfcri 2380	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F
31	30	nfex 1686	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F
32		csbeq1a 3150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( `' h ` p ) -> F = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
33	32	eleq2d 2304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( `' h ` p ) -> ( w e. F <-> w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
34	33	exbidv 1874	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( `' h ` p ) -> ( E. w w e. F <-> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
35	31, 34	rspc 2917	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h ` p ) e. N -> ( A. n e. N E. w w e. F -> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
36	26, 28, 35	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
37		fvco3 5753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' h : om --> N /\ p e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` p ) = ( k ` ( `' h ` p ) ) )
38	23, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` p ) = ( k ` ( `' h ` p ) ) )
39		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> k = ( n e. N |-> F ) )
40	39	fveq1d 5677	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( k ` ( `' h ` p ) ) = ( ( n e. N |-> F ) ` ( `' h ` p ) ) )
41	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> A. n e. N F e. _V )
42	29	nfel1 2397	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V
43	32	eleq1d 2303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' h ` p ) -> ( F e. _V <-> [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V ) )
44	42, 43	rspc 2917	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' h ` p ) e. N -> ( A. n e. N F e. _V -> [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V ) )
45	26, 41, 44	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V )
46	12	fvmpts 5760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' h ` p ) e. N /\ [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` ( `' h ` p ) ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
47	26, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` ( `' h ` p ) ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
48	40, 47	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( k ` ( `' h ` p ) ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
49	38, 48	eqtrd 2267	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` p ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
50	49	eleq2d 2304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) <-> w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
51	50	exbidv 1874	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( E. w w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) <-> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
52	36, 51	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> E. w w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) )
53	52	ralrimiva 2617	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> A. p e. om E. w w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) )
54	10, 25, 53	cc2 7597	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> E. g ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) )
55		simprl 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> g Fn om )
56		f1of 5619	. . . . . . . . . 10 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> h : N --> om )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> h : N --> om )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> h : N --> om )
59		fnfco 5544	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn om /\ h : N --> om ) -> ( g o. h ) Fn N )
60	55, 58, 59	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> ( g o. h ) Fn N )
61		nfv 1577	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ph
62		nfmpt1 4208	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( n e. N |-> F )
63	62	nfeq2 2398	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n k = ( n e. N |-> F )
64	61, 63	nfan 1614	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) )
65		nfv 1577	. . . . . . . . . 10 |- F/ n h : N -1-1-onto-> om
66	64, 65	nfan 1614	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om )
67		nfv 1577	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) )
68	66, 67	nfan 1614	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) )
69		fvco3 5753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h : N --> om /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
70	58, 69	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
71		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( h ` n ) -> ( g ` m ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
72		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( k o. `' h ) ` m ) = ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
73	71, 72	eleq12d 2305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) <-> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) )
74		simplrr 538	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) )
75	58	ffvelcdmda 5817	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( h ` n ) e. om )
76	73, 74, 75	rspcdva 2928	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
77	70, 76	eqeltrd 2311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
78	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> `' h : om --> N )
79		fvco3 5753	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' h : om --> N /\ ( h ` n ) e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
80	78, 75, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
81	77, 80	eleqtrd 2313	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
82		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> h : N -1-1-onto-> om )
83		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> n e. N )
84		f1ocnvfv1 5956	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( `' h ` ( h ` n ) ) = n )
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( `' h ` ( h ` n ) ) = n )
86	85	fveq2d 5679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
87	81, 86	eleqtrd 2313	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. ( k ` n ) )
88	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> k = ( n e. N |-> F ) )
89	88	fveq1d 5677	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( k ` n ) = ( ( n e. N |-> F ) ` n ) )
90	11	r19.21bi 2632	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> F e. _V )
91	90	ad5ant15 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> F e. _V )
92	12	fvmpt2 5766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. N /\ F e. _V ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` n ) = F )
93	83, 91, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` n ) = F )
94	89, 93	eqtrd 2267	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( k ` n ) = F )
95	87, 94	eleqtrd 2313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F )
96	95	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> ( n e. N -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
97	68, 96	ralrimi 2615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F )
98		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
99		vex 2818	. . . . . . . . 9 |- h e. _V
100	98, 99	coex 5313	. . . . . . . 8 |- ( g o. h ) e. _V
101		fneq1 5449	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f Fn N <-> ( g o. h ) Fn N ) )
102		fveq1 5674	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` n ) = ( ( g o. h ) ` n ) )
103	102	eleq1d 2303	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` n ) e. F <-> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
104	103	ralbidv 2544	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. n e. N ( f ` n ) e. F <-> A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
105	101, 104	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) <-> ( ( g o. h ) Fn N /\ A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
106	100, 105	spcev 2914	. . . . . . 7 |- ( ( ( g o. h ) Fn N /\ A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
107	60, 97, 106	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
108	54, 107	exlimddv 1950	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
109	8, 108	exlimddv 1950	. . . 4 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
110	109	expcom 116	. . 3 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) ) )
111	110	vtocleg 2890	. 2 |- ( ( n e. N |-> F ) e. _V -> ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) ) )
112	5, 111	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   _Vcvv 2815   [_csb 3141   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   omcom 4717   `'ccnv 4753   o. ccom 4758   Fn wfn 5352   -->wf 5353   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357   ~~ cen 6986  CCHOICEwacc 7592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-2nd 6348  df-er 6780  df-en 6989  df-cc 7593

This theorem is referenced by:  cc4f  7599  cc4n  7601