Theorem cc3 7450

Description: Countable choice using a sequence F(n) . (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 29-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cc3.cc	|- ( ph -> CCHOICE )
cc3.f	|- ( ph -> A. n e. N F e. _V )
cc3.m	|- ( ph -> A. n e. N E. w w e. F )
cc3.n	|- ( ph -> N ~~ om )

Assertion

Ref	Expression
cc3	|- ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )

Distinct variable groups:   f, F   w, F   f, N, n   w, N, n   ph, n, w

Allowed substitution hints:   ph( f)   F( n)

Proof of Theorem cc3

Dummy variables g h k m p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cc3.n	. . 3 |- ( ph -> N ~~ om )
2		relen 6889	. . . 4 |- Rel ~~
3	2	brrelex1i 4761	. . 3 |- ( N ~~ om -> N e. _V )
4		mptexg 5863	. . 3 |- ( N e. _V -> ( n e. N |-> F ) e. _V )
5	1, 3, 4	3syl 17	. 2 |- ( ph -> ( n e. N |-> F ) e. _V )
6		bren 6893	. . . . . . 7 |- ( N ~~ om <-> E. h h : N -1-1-onto-> om )
7	1, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> E. h h : N -1-1-onto-> om )
8	7	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> E. h h : N -1-1-onto-> om )
9		cc3.cc	. . . . . . . 8 |- ( ph -> CCHOICE )
10	9	ad2antrr 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> CCHOICE )
11		cc3.f	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. n e. N F e. _V )
12		eqid 2229	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. N |-> F ) = ( n e. N |-> F )
13	12	mptfng 5448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. N F e. _V <-> ( n e. N |-> F ) Fn N )
14	11, 13	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. N |-> F ) Fn N )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> ( n e. N |-> F ) Fn N )
16		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> k = ( n e. N |-> F ) )
17	16	fneq1d 5410	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> ( k Fn N <-> ( n e. N |-> F ) Fn N ) )
18	15, 17	mpbird 167	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> k Fn N )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> k Fn N )
20		f1ocnv 5584	. . . . . . . . . 10 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> `' h : om -1-1-onto-> N )
21	20	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> `' h : om -1-1-onto-> N )
22		f1of 5571	. . . . . . . . 9 |- ( `' h : om -1-1-onto-> N -> `' h : om --> N )
23	21, 22	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> `' h : om --> N )
24		fnfco 5499	. . . . . . . 8 |- ( ( k Fn N /\ `' h : om --> N ) -> ( k o. `' h ) Fn om )
25	19, 23, 24	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> ( k o. `' h ) Fn om )
26	23	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( `' h ` p ) e. N )
27		cc3.m	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. N E. w w e. F )
28	27	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> A. n e. N E. w w e. F )
29		nfcsb1v 3157	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ n [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F
30	29	nfcri 2366	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ n w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F
31	30	nfex 1683	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F
32		csbeq1a 3133	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( `' h ` p ) -> F = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
33	32	eleq2d 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( `' h ` p ) -> ( w e. F <-> w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
34	33	exbidv 1871	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( `' h ` p ) -> ( E. w w e. F <-> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
35	31, 34	rspc 2901	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' h ` p ) e. N -> ( A. n e. N E. w w e. F -> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
36	26, 28, 35	sylc 62	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
37		fvco3 5704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' h : om --> N /\ p e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` p ) = ( k ` ( `' h ` p ) ) )
38	23, 37	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` p ) = ( k ` ( `' h ` p ) ) )
39		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> k = ( n e. N |-> F ) )
40	39	fveq1d 5628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( k ` ( `' h ` p ) ) = ( ( n e. N |-> F ) ` ( `' h ` p ) ) )
41	11	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> A. n e. N F e. _V )
42	29	nfel1 2383	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/ n [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V
43	32	eleq1d 2298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = ( `' h ` p ) -> ( F e. _V <-> [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V ) )
44	42, 43	rspc 2901	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( `' h ` p ) e. N -> ( A. n e. N F e. _V -> [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V ) )
45	26, 41, 44	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V )
46	12	fvmpts 5711	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( `' h ` p ) e. N /\ [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F e. _V ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` ( `' h ` p ) ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
47	26, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` ( `' h ` p ) ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
48	40, 47	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( k ` ( `' h ` p ) ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
49	38, 48	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` p ) = [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F )
50	49	eleq2d 2299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) <-> w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
51	50	exbidv 1871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> ( E. w w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) <-> E. w w e. [_ ( `' h ` p ) / n ]_ F ) )
52	36, 51	mpbird 167	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ p e. om ) -> E. w w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) )
53	52	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> A. p e. om E. w w e. ( ( k o. `' h ) ` p ) )
54	10, 25, 53	cc2 7449	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> E. g ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) )
55		simprl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> g Fn om )
56		f1of 5571	. . . . . . . . . 10 |- ( h : N -1-1-onto-> om -> h : N --> om )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> h : N --> om )
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> h : N --> om )
59		fnfco 5499	. . . . . . . 8 |- ( ( g Fn om /\ h : N --> om ) -> ( g o. h ) Fn N )
60	55, 58, 59	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> ( g o. h ) Fn N )
61		nfv 1574	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n ph
62		nfmpt1 4176	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( n e. N |-> F )
63	62	nfeq2 2384	. . . . . . . . . . 11 |- F/ n k = ( n e. N |-> F )
64	61, 63	nfan 1611	. . . . . . . . . 10 |- F/ n ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) )
65		nfv 1574	. . . . . . . . . 10 |- F/ n h : N -1-1-onto-> om
66	64, 65	nfan 1611	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om )
67		nfv 1574	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) )
68	66, 67	nfan 1611	. . . . . . . 8 |- F/ n ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) )
69		fvco3 5704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( h : N --> om /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
70	58, 69	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
71		fveq2 5626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( h ` n ) -> ( g ` m ) = ( g ` ( h ` n ) ) )
72		fveq2 5626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( k o. `' h ) ` m ) = ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
73	71, 72	eleq12d 2300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = ( h ` n ) -> ( ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) <-> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) ) )
74		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) )
75	58	ffvelcdmda 5769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( h ` n ) e. om )
76	73, 74, 75	rspcdva 2912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( g ` ( h ` n ) ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
77	70, 76	eqeltrd 2306	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) )
78	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> `' h : om --> N )
79		fvco3 5704	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' h : om --> N /\ ( h ` n ) e. om ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
80	78, 75, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( k o. `' h ) ` ( h ` n ) ) = ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
81	77, 80	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) )
82		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> h : N -1-1-onto-> om )
83		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> n e. N )
84		f1ocnvfv1 5900	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( h : N -1-1-onto-> om /\ n e. N ) -> ( `' h ` ( h ` n ) ) = n )
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( `' h ` ( h ` n ) ) = n )
86	85	fveq2d 5630	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( k ` ( `' h ` ( h ` n ) ) ) = ( k ` n ) )
87	81, 86	eleqtrd 2308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. ( k ` n ) )
88	16	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> k = ( n e. N |-> F ) )
89	88	fveq1d 5628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( k ` n ) = ( ( n e. N |-> F ) ` n ) )
90	11	r19.21bi 2618	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. N ) -> F e. _V )
91	90	ad5ant15 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> F e. _V )
92	12	fvmpt2 5717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. N /\ F e. _V ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` n ) = F )
93	83, 91, 92	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( n e. N |-> F ) ` n ) = F )
94	89, 93	eqtrd 2262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( k ` n ) = F )
95	87, 94	eleqtrd 2308	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) /\ n e. N ) -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F )
96	95	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> ( n e. N -> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
97	68, 96	ralrimi 2601	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F )
98		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
99		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- h e. _V
100	98, 99	coex 5273	. . . . . . . 8 |- ( g o. h ) e. _V
101		fneq1 5408	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f Fn N <-> ( g o. h ) Fn N ) )
102		fveq1 5625	. . . . . . . . . . 11 |- ( f = ( g o. h ) -> ( f ` n ) = ( ( g o. h ) ` n ) )
103	102	eleq1d 2298	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f ` n ) e. F <-> ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
104	103	ralbidv 2530	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( g o. h ) -> ( A. n e. N ( f ` n ) e. F <-> A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) )
105	101, 104	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( f = ( g o. h ) -> ( ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) <-> ( ( g o. h ) Fn N /\ A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) ) )
106	100, 105	spcev 2898	. . . . . . 7 |- ( ( ( g o. h ) Fn N /\ A. n e. N ( ( g o. h ) ` n ) e. F ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
107	60, 97, 106	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) /\ ( g Fn om /\ A. m e. om ( g ` m ) e. ( ( k o. `' h ) ` m ) ) ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
108	54, 107	exlimddv 1945	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) /\ h : N -1-1-onto-> om ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
109	8, 108	exlimddv 1945	. . . 4 |- ( ( ph /\ k = ( n e. N |-> F ) ) -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )
110	109	expcom 116	. . 3 |- ( k = ( n e. N |-> F ) -> ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) ) )
111	110	vtocleg 2874	. 2 |- ( ( n e. N |-> F ) e. _V -> ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) ) )
112	5, 111	mpcom 36	1 |- ( ph -> E. f ( f Fn N /\ A. n e. N ( f ` n ) e. F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [_csb 3124   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   omcom 4681   `'ccnv 4717   o. ccom 4722   Fn wfn 5312   -->wf 5313   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317   ~~ cen 6883  CCHOICEwacc 7444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-2nd 6285  df-er 6678  df-en 6886  df-cc 7445

This theorem is referenced by:  cc4f  7451  cc4n  7453