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Theorem prodmodc 12084
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Modified by Jim Kingdon, 14-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m, x   B, f, j, m   f, F, k, m, x   j, G, x   ph, f, k, m, x   x, n   x, y
Allowed substitution hints:   ph( y, j, n)   A( y, n)   B( x, y, k, n)   F( y, j, n)   G( y, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodc
Dummy variables a g w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1201 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2627 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 simpll 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
7 simplr 528 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
8 simprr 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> z )
96, 7, 83jca 1201 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
109reximi 2627 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
11 fveq2 5626 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
1211sseq2d 3254 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
1311raleqdv 2734 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
14 seqeq1 10667 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
1514breq1d 4092 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> z <-> seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1612, 13, 153anbi123d 1346 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
1716cbvrexvw 2770 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1817anbi2i 457 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
19 reeanv 2701 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
2018, 19bitr4i 187 . . . . . . 7 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
21 simprl3 1068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
2221adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
23 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
24 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
2524adantlr 477 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
26 simprll 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> m e. ZZ )
27 simprlr 538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> w e. ZZ )
28 simprl1 1066 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2928adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
30 simprr1 1069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
3130adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
32 eleq1w 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3332dcbid 843 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
34 simprl2 1067 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3534ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
3733, 35, 36rspcdva 2912 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
38 simprr2 1070 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3938ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
40 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> k e. ( ZZ>= ` w ) )
4133, 39, 40rspcdva 2912 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
4223, 25, 26, 27, 29, 31, 37, 41prodrbdc 12080 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
4322, 42mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
44 simprr3 1071 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
46 climuni 11799 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) -> x = z )
4743, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> x = z )
4847expcom 116 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
4948ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) ) )
5049rexlimivv 2654 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5120, 50sylbi 121 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
525, 10, 51syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
53 prodmodc.3 . . . . . . . . . 10 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
5423, 24, 53prodmodclem2 12083 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> z = x ) )
55 equcomi 1750 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> x = z )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 363 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857com12 30 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5958ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
6023, 24, 53prodmodclem2 12083 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6160expimpd 363 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6261com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
63 reeanv 2701 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
64 exdistrv 1957 . . . . . . . . 9 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
65642rexbii 2539 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
66 oveq2 6008 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... w ) )
6766f1oeq2d 5567 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
68 fveq2 5626 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) )
6968eqeq2d 2241 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) )
7067, 69anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
7170exbidv 1871 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
72 f1oeq1 5559 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
73 fveq1 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( f ` j ) = ( g ` j ) )
7473csbeq1d 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
7574ifeq1d 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
7675mpteq2dv 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7753, 76eqtrid 2274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7877seqeq3d 10672 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> seq 1 ( x. , G ) = seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) )
7978fveq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
8079eqeq2d 2241 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) <-> z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8172, 80anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8281cbvexvw 1967 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8371, 82bitrdi 196 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8483cbvrexvw 2770 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8584anbi2i 457 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8663, 65, 853bitr4i 212 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
87 an4 586 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8824ad4ant14 514 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
89 breq1 4085 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
90 fveq2 5626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = a -> ( f ` j ) = ( f ` a ) )
9190csbeq1d 3131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
9289, 91ifbieq1d 3625 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9392cbvmptv 4179 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9453, 93eqtri 2250 . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
95 fveq2 5626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( g ` j ) = ( g ` a ) )
9695csbeq1d 3131 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> [_ ( g ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
9789, 96ifbieq1d 3625 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9897cbvmptv 4179 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
99 simplr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( m e. NN /\ w e. NN ) )
100 simprl 529 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
101 simprr 531 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
10223, 88, 94, 98, 99, 100, 101prodmodclem3 12081 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
103 eqeq12 2242 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> ( x = z <-> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
104102, 103syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> x = z ) )
105104expimpd 363 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10687, 105biimtrid 152 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
107106exlimdvv 1944 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
108107rexlimdvva 2656 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10986, 108biimtrrid 153 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
110109com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
11152, 59, 62, 110ccase 970 . . . 4 |- ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
112111com12 30 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
113112alrimivv 1921 . 2 |- ( ph -> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
114 breq2 4086 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
115114anbi2d 464 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) )
116115anbi2d 464 . . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
117116rexbidv 2531 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
118 eqeq1 2236 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
119118anbi2d 464 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
120119exbidv 1871 . . . . 5 |- ( x = z -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
121120rexbidv 2531 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
122117, 121orbi12d 798 . . 3 |- ( x = z -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) )
123122mo4 2139 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
124113, 123sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 713  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E*wmo 2078   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   [_csb 3124   C_ wss 3197   ifcif 3602   class class class wbr 4082   |-> cmpt 4144   -1-1-onto->wf1o 5316   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   CCcc 7993   0cc0 7995   1c1 7996   x. cmul 8000   <_ cle 8178   # cap 8724   NNcn 9106   ZZcz 9442   ZZ>=cuz 9718   ...cfz 10200   seqcseq 10664  ♯chash 10992   ~~> cli 11784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-frec 6535  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-er 6678  df-en 6886  df-dom 6887  df-fin 6888  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-fz 10201  df-fzo 10335  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-ihash 10993  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-clim 11785
This theorem is referenced by:  fprodseq  12089
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