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Theorem prodmodc 11354
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Modified by Jim Kingdon, 14-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
prodmo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
prodmodc.3  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodc  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, j, k, m, x    B, f, j, m    f, F, k, m, x    j, G, x    ph, f, k, m, x    x, n   
x, y
Allowed substitution hints:    ph( y, j, n)    A( y, n)    B( x, y, k, n)    F( y,
j, n)    G( y,
f, k, m, n)

Proof of Theorem prodmodc
Dummy variables  a  g  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
2 simplr 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
3 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )
41, 2, 33jca 1161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
54reximi 2529 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
6 simpll 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  A  C_  ( ZZ>=
`  m ) )
7 simplr 519 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
8 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z )
96, 7, 83jca 1161 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
109reximi 2529 . . . . . 6  |-  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
11 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  w )
)
1211sseq2d 3127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  w ) ) )
1311raleqdv 2632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A ) )
14 seqeq1 10228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  seq m (  x.  ,  F )  =  seq w (  x.  ,  F ) )
1514breq1d 3939 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
1612, 13, 153anbi123d 1290 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
1716cbvrexvw 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z )  <->  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
1817anbi2i 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) ) )
19 reeanv 2600 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. w  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  w
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) ) )
2018, 19bitr4i 186 . . . . . . 7  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )  <->  E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) ) )
21 simprl3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )
23 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  1 ) )
24 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
2524adantlr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
26 simprll 526 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
27 simprlr 527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  w  e.  ZZ )
28 simprl1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)
2928adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m
) )
30 simprr1 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w )
)
3130adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  w
) )
32 eleq1w 2200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
3332dcbid 823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
34 simprl2 1027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
3534ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  m ) )
3733, 35, 36rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m ) )  -> DECID  k  e.  A )
38 simprr2 1030 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A )
3938ad2antlr 480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  w ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>=
`  w )DECID  j  e.  A )
40 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  w ) )  -> 
k  e.  ( ZZ>= `  w ) )
4133, 39, 40rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  w ) )  -> DECID  k  e.  A )
4223, 25, 26, 27, 29, 31, 37, 41prodrbdc 11350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  -> 
(  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  x ) )
4322, 42mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x )
44 simprr3 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )
46 climuni 11069 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  x  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z )  ->  x  =  z )
4743, 45, 46syl2anc 408 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )  ->  x  =  z )
4847expcom 115 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  /\  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
4948ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) ) )
5049rexlimivv 2555 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  w )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  w )DECID  j  e.  A  /\  seq w
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
5120, 50sylbi 120 . . . . . 6  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
525, 10, 51syl2an 287 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
53 prodmodc.3 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
5423, 24, 53prodmodclem2 11353 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  -> 
z  =  x ) )
55 equcomi 1680 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  x  ->  x  =  z )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
5756expimpd 360 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  z )
)
5857com12 30 . . . . . 6  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ph  ->  x  =  z ) )
5958ancoms 266 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
6023, 24, 53prodmodclem2 11353 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  ->  x  =  z )
)
6160expimpd 360 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  z )
)
6261com12 30 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ph  ->  x  =  z ) )
63 reeanv 2600 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  <->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. w  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) ) )
64 exdistrv 1882 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  <->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) ) )
65642rexbii 2444 . . . . . . . 8  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  <->  E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) ) )
66 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  w  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... w
) )
6766f1oeq2d 5363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
68 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  w  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
) )
6968eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  w  ->  (
z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) ) )
7067, 69anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  w  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 w ) ) ) )
7170exbidv 1797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  w  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) ) ) )
72 f1oeq1 5356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )
73 fveq1 5420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  j )  =  ( g `  j ) )
7473csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
7574ifeq1d 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )
7675mpteq2dv 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  (
j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) )
7753, 76syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) )
7877seqeq3d 10233 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  x.  ,  G )  =  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) )
7978fveq1d 5423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) )
8079eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  (
z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )
8172, 80anbi12d 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) )  <->  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w ) ) ) )
8281cbvexvw 1892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  w ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )
8371, 82syl6bb 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  w  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) ) )
8483cbvrexvw 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. w  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )
8584anbi2i 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. w  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) ) )
8663, 65, 853bitr4i 211 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  <->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
87 an4 575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) ) )
8824ad4ant14 505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
89 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  a  ->  (
j  <_  ( `  A
)  <->  a  <_  ( `  A ) ) )
90 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  a  ->  (
f `  j )  =  ( f `  a ) )
9190csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  a  ->  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B )
9289, 91ifbieq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  a  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B ,  1 ) )
9392cbvmptv 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B ,  1 ) )
9453, 93eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  G  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B ,  1 ) )
95 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  a  ->  (
g `  j )  =  ( g `  a ) )
9695csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  a  ->  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B )
9789, 96ifbieq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  a  ->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  1 )  =  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  1 ) )
9897cbvmptv 4024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  1 ) )
99 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )
100 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
101 simprr 521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
10223, 88, 94, 98, 99, 100, 101prodmodclem3 11351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) )
103 eqeq12 2152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) )  ->  (
x  =  z  <->  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )
104102, 103syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  w  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m )  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  , 
( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) )  ->  x  =  z ) )
105104expimpd 360 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  ->  x  =  z )
)
10687, 105syl5bi 151 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  ->  x  =  z )
)
107106exlimdvv 1869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  w  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  ->  x  =  z )
)
108107rexlimdvva 2557 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. w  e.  NN  E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... w
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B ,  1 ) ) ) `  w
) ) )  ->  x  =  z )
)
10986, 108syl5bir 152 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) )  /\  E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  z ) )
110109com12 30 . . . . 5  |-  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
11152, 59, 62, 110ccase 948 . . . 4  |-  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  ( ph  ->  x  =  z ) )
112111com12 30 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  z ) )
113112alrimivv 1847 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. z
( ( ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  z ) )
114 breq2 3933 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x  <->  seq m
(  x.  ,  F
)  ~~>  z ) )
115114anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) )
116115anbi2d 459 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  <->  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )
117116rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  <->  E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) ) ) )
118 eqeq1 2146 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
)  <->  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) )
119118anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `
 m ) ) ) )
120119exbidv 1797 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) ) ) )
121120rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
122117, 121orbi12d 782 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) ) )
123122mo4 2060 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  <->  A. x A. z ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>=
`  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  z ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  z  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )  ->  x  =  z ) )
124113, 123sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )  /\  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) E. y ( y #  0  /\  seq n (  x.  ,  F )  ~~>  y )  /\  seq m (  x.  ,  F )  ~~>  x ) )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  x.  ,  G ) `  m
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697  DECID wdc 819    /\ w3a 962   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E*wmo 2000   A.wral 2416   E.wrex 2417   [_csb 3003    C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7625   0cc0 7627   1c1 7628    x. cmul 7632    <_ cle 7808   # cap 8350   NNcn 8727   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   ...cfz 9797    seqcseq 10225  ♯chash 10528    ~~> cli 11054
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055
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