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Theorem prodmodc 11541
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Modified by Jim Kingdon, 14-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m, x   B, f, j, m   f, F, k, m, x   j, G, x   ph, f, k, m, x   x, n   x, y
Allowed substitution hints:   ph( y, j, n)   A( y, n)   B( x, y, k, n)   F( y, j, n)   G( y, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodc
Dummy variables a g w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 525 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1172 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2567 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 simpll 524 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
7 simplr 525 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
8 simprr 527 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> z )
96, 7, 83jca 1172 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
109reximi 2567 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
11 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
1211sseq2d 3177 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
1311raleqdv 2671 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
14 seqeq1 10404 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
1514breq1d 3999 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> z <-> seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1612, 13, 153anbi123d 1307 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
1716cbvrexvw 2701 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1817anbi2i 454 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
19 reeanv 2639 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
2018, 19bitr4i 186 . . . . . . 7 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
21 simprl3 1039 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
23 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
24 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
2524adantlr 474 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
26 simprll 532 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> m e. ZZ )
27 simprlr 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> w e. ZZ )
28 simprl1 1037 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2928adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
30 simprr1 1040 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
3130adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
32 eleq1w 2231 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3332dcbid 833 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
34 simprl2 1038 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3534ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
3733, 35, 36rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
38 simprr2 1041 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3938ad2antlr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
40 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> k e. ( ZZ>= ` w ) )
4133, 39, 40rspcdva 2839 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
4223, 25, 26, 27, 29, 31, 37, 41prodrbdc 11537 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
4322, 42mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
44 simprr3 1042 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
46 climuni 11256 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) -> x = z )
4743, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> x = z )
4847expcom 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
4948ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) ) )
5049rexlimivv 2593 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5120, 50sylbi 120 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
525, 10, 51syl2an 287 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
53 prodmodc.3 . . . . . . . . . 10 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
5423, 24, 53prodmodclem2 11540 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> z = x ) )
55 equcomi 1697 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> x = z )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 361 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857com12 30 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5958ancoms 266 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
6023, 24, 53prodmodclem2 11540 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6160expimpd 361 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6261com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
63 reeanv 2639 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
64 exdistrv 1903 . . . . . . . . 9 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
65642rexbii 2479 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
66 oveq2 5861 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... w ) )
6766f1oeq2d 5438 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
68 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) )
6968eqeq2d 2182 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) )
7067, 69anbi12d 470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
7170exbidv 1818 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
72 f1oeq1 5431 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
73 fveq1 5495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( f ` j ) = ( g ` j ) )
7473csbeq1d 3056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
7574ifeq1d 3543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
7675mpteq2dv 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7753, 76eqtrid 2215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7877seqeq3d 10409 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> seq 1 ( x. , G ) = seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) )
7978fveq1d 5498 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
8079eqeq2d 2182 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) <-> z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8172, 80anbi12d 470 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8281cbvexvw 1913 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8371, 82bitrdi 195 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8483cbvrexvw 2701 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8584anbi2i 454 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8663, 65, 853bitr4i 211 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
87 an4 581 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8824ad4ant14 511 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
89 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
90 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = a -> ( f ` j ) = ( f ` a ) )
9190csbeq1d 3056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
9289, 91ifbieq1d 3548 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9392cbvmptv 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9453, 93eqtri 2191 . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
95 fveq2 5496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( g ` j ) = ( g ` a ) )
9695csbeq1d 3056 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> [_ ( g ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
9789, 96ifbieq1d 3548 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9897cbvmptv 4085 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
99 simplr 525 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( m e. NN /\ w e. NN ) )
100 simprl 526 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
101 simprr 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
10223, 88, 94, 98, 99, 100, 101prodmodclem3 11538 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
103 eqeq12 2183 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> ( x = z <-> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
104102, 103syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> x = z ) )
105104expimpd 361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10687, 105syl5bi 151 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
107106exlimdvv 1890 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
108107rexlimdvva 2595 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10986, 108syl5bir 152 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
110109com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
11152, 59, 62, 110ccase 959 . . . 4 |- ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
112111com12 30 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
113112alrimivv 1868 . 2 |- ( ph -> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
114 breq2 3993 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
115114anbi2d 461 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) )
116115anbi2d 461 . . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
117116rexbidv 2471 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
118 eqeq1 2177 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
119118anbi2d 461 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
120119exbidv 1818 . . . . 5 |- ( x = z -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
121120rexbidv 2471 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
122117, 121orbi12d 788 . . 3 |- ( x = z -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) )
123122mo4 2080 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
124113, 123sylibr 133 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703  DECID wdc 829   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   E.wex 1485   E*wmo 2020   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   [_csb 3049   C_ wss 3121   ifcif 3526   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   -1-1-onto->wf1o 5197   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   x. cmul 7779   <_ cle 7955   # cap 8500   NNcn 8878   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ...cfz 9965   seqcseq 10401  ♯chash 10709   ~~> cli 11241
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242
This theorem is referenced by:  fprodseq  11546
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