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Theorem prodmodc 12323
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Modified by Jim Kingdon, 14-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m, x   B, f, j, m   f, F, k, m, x   j, G, x   ph, f, k, m, x   x, n   x, y
Allowed substitution hints:   ph( y, j, n)   A( y, n)   B( x, y, k, n)   F( y, j, n)   G( y, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodc
Dummy variables a g w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 537 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1208 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2647 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 simpll 531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
7 simplr 533 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
8 simprr 537 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> z )
96, 7, 83jca 1208 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
109reximi 2647 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
11 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
1211sseq2d 3278 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
1311raleqdv 2755 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
14 seqeq1 10865 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
1514breq1d 4135 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> z <-> seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1612, 13, 153anbi123d 1353 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
1716cbvrexvw 2791 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1817anbi2i 461 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
19 reeanv 2721 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
2018, 19bitr4i 187 . . . . . . 7 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
21 simprl3 1075 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
2221adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
23 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
24 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
2524adantlr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
26 simprll 543 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> m e. ZZ )
27 simprlr 544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> w e. ZZ )
28 simprl1 1073 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2928adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
30 simprr1 1076 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
3130adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
32 eleq1w 2299 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3332dcbid 850 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
34 simprl2 1074 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3534ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
36 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
3733, 35, 36rspcdva 2934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
38 simprr2 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3938ad2antlr 493 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
40 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> k e. ( ZZ>= ` w ) )
4133, 39, 40rspcdva 2934 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
4223, 25, 26, 27, 29, 31, 37, 41prodrbdc 12319 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
4322, 42mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
44 simprr3 1078 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
4544adantl 277 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
46 climuni 12037 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) -> x = z )
4743, 45, 46syl2anc 415 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> x = z )
4847expcom 116 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
4948ex 115 . . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) ) )
5049rexlimivv 2674 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5120, 50sylbi 121 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
525, 10, 51syl2an 289 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
53 prodmodc.3 . . . . . . . . . 10 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
5423, 24, 53prodmodclem2 12322 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> z = x ) )
55 equcomi 1756 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> x = z )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 363 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857com12 30 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5958ancoms 268 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
6023, 24, 53prodmodclem2 12322 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6160expimpd 363 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6261com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
63 reeanv 2721 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
64 exdistrv 1966 . . . . . . . . 9 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
65642rexbii 2559 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
66 oveq2 6083 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... w ) )
6766f1oeq2d 5630 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
68 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) )
6968eqeq2d 2250 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) )
7067, 69anbi12d 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
7170exbidv 1878 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
72 f1oeq1 5622 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
73 fveq1 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( f ` j ) = ( g ` j ) )
7473csbeq1d 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
7574ifeq1d 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
7675mpteq2dv 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7753, 76eqtrid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7877seqeq3d 10870 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> seq 1 ( x. , G ) = seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) )
7978fveq1d 5692 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
8079eqeq2d 2250 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) <-> z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8172, 80anbi12d 477 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8281cbvexvw 1976 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8371, 82bitrdi 196 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8483cbvrexvw 2791 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8584anbi2i 461 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8663, 65, 853bitr4i 212 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
87 an4 592 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8824ad4ant14 518 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
89 breq1 4128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
90 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = a -> ( f ` j ) = ( f ` a ) )
9190csbeq1d 3154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
9289, 91ifbieq1d 3660 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9392cbvmptv 4222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9453, 93eqtri 2259 . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
95 fveq2 5690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( g ` j ) = ( g ` a ) )
9695csbeq1d 3154 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> [_ ( g ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
9789, 96ifbieq1d 3660 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9897cbvmptv 4222 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
99 simplr 533 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( m e. NN /\ w e. NN ) )
100 simprl 535 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
101 simprr 537 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
10223, 88, 94, 98, 99, 100, 101prodmodclem3 12320 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
103 eqeq12 2251 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> ( x = z <-> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
104102, 103syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> x = z ) )
105104expimpd 363 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10687, 105biimtrid 152 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
107106exlimdvv 1953 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
108107rexlimdvva 2676 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10986, 108biimtrrid 153 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
110109com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
11152, 59, 62, 110ccase 977 . . . 4 |- ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
112111com12 30 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
113112alrimivv 1928 . 2 |- ( ph -> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
114 breq2 4129 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
115114anbi2d 468 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) )
116115anbi2d 468 . . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
117116rexbidv 2551 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
118 eqeq1 2245 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
119118anbi2d 468 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
120119exbidv 1878 . . . . 5 |- ( x = z -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
121120rexbidv 2551 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
122117, 121orbi12d 805 . . 3 |- ( x = z -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) )
123122mo4 2148 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
124113, 123sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   E.wex 1545   E*wmo 2087   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   [_csb 3147   C_ wss 3220   ifcif 3635   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   -1-1-onto->wf1o 5371   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   x. cmul 8174   <_ cle 8351   # cap 8899   NNcn 9283   ZZcz 9623   ZZ>=cuz 9900   ...cfz 10390   seqcseq 10862  ♯chash 11192   ~~> cli 12022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-ihash 11193  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023
This theorem is referenced by:  fprodseq  12328
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