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Theorem prodmodc 11379
Description: A product has at most one limit. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.) (Modified by Jim Kingdon, 14-Apr-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
prodmo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
prodmo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
prodmodc.3 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
Assertion
Ref Expression
prodmodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   A, f, j, k, m, x   B, f, j, m   f, F, k, m, x   j, G, x   ph, f, k, m, x   x, n   x, y
Allowed substitution hints:   ph( y, j, n)   A( y, n)   B( x, y, k, n)   F( y, j, n)   G( y, f, k, m, n)
Proof of Theorem prodmodc
Dummy variables a g w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 519 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2 simplr 520 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3 simprr 522 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
41, 2, 33jca 1162 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
54reximi 2532 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) )
6 simpll 519 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
7 simplr 520 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
8 simprr 522 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> z )
96, 7, 83jca 1162 . . . . . . 7 |- ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
109reximi 2532 . . . . . 6 |- ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
11 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` w ) )
1211sseq2d 3132 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` w ) ) )
1311raleqdv 2635 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A ) )
14 seqeq1 10252 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> seq m ( x. , F ) = seq w ( x. , F ) )
1514breq1d 3947 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( seq m ( x. , F ) ~~> z <-> seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1612, 13, 153anbi123d 1291 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
1716cbvrexvw 2662 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) <-> E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) )
1817anbi2i 453 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
19 reeanv 2603 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. w e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
2018, 19bitr4i 186 . . . . . . 7 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) <-> E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) )
21 simprl3 1029 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
2221adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq m ( x. , F ) ~~> x )
23 prodmo.1 . . . . . . . . . . . . 13 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 1 ) )
24 prodmo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
2524adantlr 469 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
26 simprll 527 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> m e. ZZ )
27 simprlr 528 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> w e. ZZ )
28 simprl1 1027 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
2928adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
30 simprr1 1030 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
3130adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` w ) )
32 eleq1w 2201 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
3332dcbid 824 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
34 simprl2 1028 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
3534ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
36 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
3733, 35, 36rspcdva 2798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
38 simprr2 1031 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
3938ad2antlr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A )
40 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> k e. ( ZZ>= ` w ) )
4133, 39, 40rspcdva 2798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` w ) ) -> DECID k e. A )
4223, 25, 26, 27, 29, 31, 37, 41prodrbdc 11375 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq w ( x. , F ) ~~> x ) )
4322, 42mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> x )
44 simprr3 1032 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
4544adantl 275 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> seq w ( x. , F ) ~~> z )
46 climuni 11094 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( seq w ( x. , F ) ~~> x /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) -> x = z )
4743, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) ) -> x = z )
4847expcom 115 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
4948ex 114 . . . . . . . 8 |- ( ( m e. ZZ /\ w e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) ) )
5049rexlimivv 2558 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ E. w e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` w ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` w )DECID j e. A /\ seq w ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5120, 50sylbi 120 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) -> ( ph -> x = z ) )
525, 10, 51syl2an 287 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
53 prodmodc.3 . . . . . . . . . 10 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
5423, 24, 53prodmodclem2 11378 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> z = x ) )
55 equcomi 1681 . . . . . . . . 9 |- ( z = x -> x = z )
5654, 55syl6 33 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
5756expimpd 361 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
5857com12 30 . . . . . 6 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
5958ancoms 266 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
6023, 24, 53prodmodclem2 11378 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) -> x = z ) )
6160expimpd 361 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
6261com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
63 reeanv 2603 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
64 exdistrv 1883 . . . . . . . . 9 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
65642rexbii 2447 . . . . . . . 8 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> E. m e. NN E. w e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
66 oveq2 5790 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... w ) )
6766f1oeq2d 5371 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
68 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m = w -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) )
6968eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( m = w -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) )
7067, 69anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = w -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
7170exbidv 1798 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) ) )
72 f1oeq1 5364 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) )
73 fveq1 5428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( f = g -> ( f ` j ) = ( g ` j ) )
7473csbeq1d 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
7574ifeq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) )
7675mpteq2dv 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7753, 76syl5eq 2185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) )
7877seqeq3d 10257 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> seq 1 ( x. , G ) = seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) )
7978fveq1d 5431 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
8079eqeq2d 2152 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> ( z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) <-> z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8172, 80anbi12d 465 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8281cbvexvw 1893 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f ( f : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` w ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8371, 82syl6bb 195 . . . . . . . . . 10 |- ( m = w -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8483cbvrexvw 2662 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
8584anbi2i 453 . . . . . . . 8 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. w e. NN E. g ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8663, 65, 853bitr4i 211 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
87 an4 576 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) )
8824ad4ant14 506 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
89 breq1 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( j <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
90 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( j = a -> ( f ` j ) = ( f ` a ) )
9190csbeq1d 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> [_ ( f ` j ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
9289, 91ifbieq1d 3499 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9392cbvmptv 4032 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9453, 93eqtri 2161 . . . . . . . . . . . . 13 |- G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
95 fveq2 5429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = a -> ( g ` j ) = ( g ` a ) )
9695csbeq1d 3014 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = a -> [_ ( g ` j ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
9789, 96ifbieq1d 3499 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = a -> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
9897cbvmptv 4032 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 1 ) )
99 simplr 520 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( m e. NN /\ w e. NN ) )
100 simprl 521 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
101 simprr 522 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A )
10223, 88, 94, 98, 99, 100, 101prodmodclem3 11376 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) )
103 eqeq12 2153 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> ( x = z <-> ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) )
104102, 103syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) -> x = z ) )
105104expimpd 361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10687, 105syl5bi 151 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
107106exlimdvv 1870 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ w e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
108107rexlimdvva 2560 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. w e. NN E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... w ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 1 ) ) ) ` w ) ) ) -> x = z ) )
10986, 108syl5bir 152 . . . . . 6 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> x = z ) )
110109com12 30 . . . . 5 |- ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
11152, 59, 62, 110ccase 949 . . . 4 |- ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ph -> x = z ) )
112111com12 30 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
113112alrimivv 1848 . 2 |- ( ph -> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
114 breq2 3941 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( seq m ( x. , F ) ~~> x <-> seq m ( x. , F ) ~~> z ) )
115114anbi2d 460 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) <-> ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) )
116115anbi2d 460 . . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
117116rexbidv 2439 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) <-> E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) ) )
118 eqeq1 2147 . . . . . . 7 |- ( x = z -> ( x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) <-> z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) )
119118anbi2d 460 . . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
120119exbidv 1798 . . . . 5 |- ( x = z -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
121120rexbidv 2439 . . . 4 |- ( x = z -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
122117, 121orbi12d 783 . . 3 |- ( x = z -> ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) )
123122mo4 2061 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. z ( ( ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> z ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ z = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) ) -> x = z ) )
124113, 123sylibr 133 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A ) /\ ( E. n e. ( ZZ>= ` m ) E. y ( y # 0 /\ seq n ( x. , F ) ~~> y ) /\ seq m ( x. , F ) ~~> x ) ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( x. , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698  DECID wdc 820   /\ w3a 963   A.wal 1330   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   E*wmo 2001   A.wral 2417   E.wrex 2418   [_csb 3007   C_ wss 3076   ifcif 3479   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   0cc0 7644   1c1 7645   x. cmul 7649   <_ cle 7825   # cap 8367   NNcn 8744   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   ...cfz 9821   seqcseq 10249  ♯chash 10553   ~~> cli 11079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-ihash 10554  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080
This theorem is referenced by:  fprodseq  11384
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