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Theorem summodc 11548
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summodclem2.g |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
summodc.3 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   ph, k, n   A, f, j, m, k, n   B, n   f, F, k, m   ph, f, m, x, k, n   x, A, j   B, f, j, m   j, F, x   n, G, x   ph, j, x
Allowed substitution hints:   B( x, k)   G( f, j, k, m)
Proof of Theorem summodc
Dummy variables a g y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5558 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` n ) )
21sseq2d 3213 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` n ) ) )
31raleqdv 2699 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A ) )
4 seqeq1 10542 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> seq m ( + , F ) = seq n ( + , F ) )
54breq1d 4043 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( seq m ( + , F ) ~~> y <-> seq n ( + , F ) ~~> y ) )
62, 3, 53anbi123d 1323 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
76cbvrexv 2730 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) )
8 reeanv 2667 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
9 simprl3 1046 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq m ( + , F ) ~~> x )
10 isummo.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
11 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ph )
12 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
14 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> m e. ZZ )
15 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> n e. ZZ )
16 simprl1 1044 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
17 simprr1 1047 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` n ) )
18 eleq1w 2257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
1918dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
20 simprl2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
2319, 21, 22rspcdva 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
24 simprr2 1048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
26 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
2719, 25, 26rspcdva 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> DECID k e. A )
2810, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 27sumrbdc 11544 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq n ( + , F ) ~~> x ) )
299, 28mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> x )
30 simprr3 1049 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> y )
31 climuni 11458 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq n ( + , F ) ~~> x /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> x = y )
3332exp31 364 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) ) )
3433rexlimdvv 2621 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
358, 34biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
3635expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
377, 36biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
38 summodc.3 . . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
3910, 12, 38summodclem2 11547 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4037, 39jaod 718 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
4110, 12, 38summodclem2 11547 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> y = x ) )
42 equcom 1720 . . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
4341, 42imbitrdi 161 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4443impancom 260 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
45 oveq2 5930 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
46 f1oeq2 5493 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
48 fveq2 5558 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) )
4948eqeq2d 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) )
5047, 49anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
5150exbidv 1839 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
52 f1oeq1 5492 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
53 breq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
54 fveq2 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = a -> ( f ` n ) = ( f ` a ) )
5554csbeq1d 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
5653, 55ifbieq1d 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
5756cbvmptv 4129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
58 fveq1 5557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f ` a ) = ( g ` a ) )
5958csbeq1d 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> [_ ( f ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
6059ifeq1d 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
6160mpteq2dv 4124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6257, 61eqtrid 2241 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6338, 62eqtrid 2241 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6463seqeq3d 10547 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
6564fveq1d 5560 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( seq 1 ( + , G ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
6665eqeq2d 2208 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6752, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
6867cbvexv 1933 . . . . . . . . 9 |- ( E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6951, 68bitrdi 196 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
7069cbvrexv 2730 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
71 reeanv 2667 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
72 eeanv 1951 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
73 an4 586 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
74 1zzd 9353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
75 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN )
7675nnzd 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. ZZ )
7774, 76fzfigd 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
78 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
7977, 78fihasheqf1od 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = (♯ ` A ) )
8075nnnn0d 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN0 )
81 hashfz1 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8379, 82eqtr3d 2231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) = n )
8483breq2d 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> a <_ n ) )
8584ifbid 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
8685mpteq2dv 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
8786seqeq3d 10547 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
8887fveq1d 5560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
8988eqeq2d 2208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
9089anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) <-> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
91 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
9291nnnn0d 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN0 )
93 hashfz1 10875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9591nnzd 9447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
9674, 95fzfigd 10523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
97 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
9896, 97fihasheqf1od 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
9994, 98eqtr3d 2231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m = (♯ ` A ) )
10099fveq2d 5562 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) )
101 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ph )
102101, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10399, 91eqeltrrd 2274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
104103, 75jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN /\ n e. NN ) )
10599oveq2d 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
106 f1oeq2 5493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
10897, 107mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
109 breq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
110 fveq2 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
111110csbeq1d 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
112109, 111ifbieq1d 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
113112cbvmptv 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
11438, 113eqtri 2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
115 breq1 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> ( a <_ n <-> j <_ n ) )
116 fveq2 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = j -> ( g ` a ) = ( g ` j ) )
117116csbeq1d 3091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> [_ ( g ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
118115, 117ifbieq1d 3583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = j -> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
119118cbvmptv 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
12010, 102, 104, 108, 78, 114, 119summodclem3 11545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
121100, 120eqtrd 2229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
122 eqeq12 2209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
123121, 122syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
12490, 123sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
125124expimpd 363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12673, 125biimtrid 152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
127126exlimdvv 1912 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12872, 127biimtrrid 153 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
129128rexlimdvva 2622 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
13071, 129biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
131130expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
13270, 131biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
13344, 132jaod 718 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
13440, 133jaodan 798 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
135134expimpd 363 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
136135alrimivv 1889 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
137 breq2 4037 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq m ( + , F ) ~~> y ) )
1381373anbi3d 1329 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
139138rexbidv 2498 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
140 eqeq1 2203 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
141140anbi2d 464 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
142141exbidv 1839 . . . . 5 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
143142rexbidv 2498 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
144139, 143orbi12d 794 . . 3 |- ( x = y -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) )
145144mo4 2106 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
146136, 145sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709  DECID wdc 835   /\ w3a 980   A.wal 1362   = wceq 1364   E.wex 1506   E*wmo 2046   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   [_csb 3084   C_ wss 3157   ifcif 3561   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   -1-1-onto->wf1o 5257   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   CCcc 7877   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ...cfz 10083   seqcseq 10539  ♯chash 10867   ~~> cli 11443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444
This theorem is referenced by:  fsum3  11552
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