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Theorem summodc 12094
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summodclem2.g |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
summodc.3 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   ph, k, n   A, f, j, m, k, n   B, n   f, F, k, m   ph, f, m, x, k, n   x, A, j   B, f, j, m   j, F, x   n, G, x   ph, j, x
Allowed substitution hints:   B( x, k)   G( f, j, k, m)
Proof of Theorem summodc
Dummy variables a g y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5675 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` n ) )
21sseq2d 3272 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` n ) ) )
31raleqdv 2749 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A ) )
4 seqeq1 10836 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> seq m ( + , F ) = seq n ( + , F ) )
54breq1d 4124 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( seq m ( + , F ) ~~> y <-> seq n ( + , F ) ~~> y ) )
62, 3, 53anbi123d 1349 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
76cbvrexv 2781 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) )
8 reeanv 2715 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
9 simprl3 1071 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq m ( + , F ) ~~> x )
10 isummo.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
11 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ph )
12 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
14 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> m e. ZZ )
15 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> n e. ZZ )
16 simprl1 1069 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
17 simprr1 1072 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` n ) )
18 eleq1w 2295 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
1918dcbid 846 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
20 simprl2 1070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
2319, 21, 22rspcdva 2928 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
24 simprr2 1073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
26 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
2719, 25, 26rspcdva 2928 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> DECID k e. A )
2810, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 27sumrbdc 12090 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq n ( + , F ) ~~> x ) )
299, 28mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> x )
30 simprr3 1074 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> y )
31 climuni 12003 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq n ( + , F ) ~~> x /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> x = y )
3332exp31 364 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) ) )
3433rexlimdvv 2669 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
358, 34biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
3635expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
377, 36biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
38 summodc.3 . . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
3910, 12, 38summodclem2 12093 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4037, 39jaod 725 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
4110, 12, 38summodclem2 12093 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> y = x ) )
42 equcom 1754 . . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
4341, 42imbitrdi 161 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4443impancom 260 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
45 oveq2 6066 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
46 f1oeq2 5608 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
48 fveq2 5675 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) )
4948eqeq2d 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) )
5047, 49anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
5150exbidv 1874 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
52 f1oeq1 5607 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
53 breq1 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
54 fveq2 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = a -> ( f ` n ) = ( f ` a ) )
5554csbeq1d 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
5653, 55ifbieq1d 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
5756cbvmptv 4211 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
58 fveq1 5674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f ` a ) = ( g ` a ) )
5958csbeq1d 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> [_ ( f ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
6059ifeq1d 3644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
6160mpteq2dv 4206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6257, 61eqtrid 2279 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6338, 62eqtrid 2279 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6463seqeq3d 10841 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
6564fveq1d 5677 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( seq 1 ( + , G ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
6665eqeq2d 2246 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6752, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
6867cbvexv 1970 . . . . . . . . 9 |- ( E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6951, 68bitrdi 196 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
7069cbvrexv 2781 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
71 reeanv 2715 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
72 eeanv 1988 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
73 an4 588 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
74 1zzd 9621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
75 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN )
7675nnzd 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. ZZ )
7774, 76fzfigd 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
78 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
7977, 78fihasheqf1od 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = (♯ ` A ) )
8075nnnn0d 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN0 )
81 hashfz1 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8379, 82eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) = n )
8483breq2d 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> a <_ n ) )
8584ifbid 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
8685mpteq2dv 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
8786seqeq3d 10841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
8887fveq1d 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
8988eqeq2d 2246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
9089anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) <-> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
91 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
9291nnnn0d 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN0 )
93 hashfz1 11171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9591nnzd 9717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
9674, 95fzfigd 10817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
97 simprl 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
9896, 97fihasheqf1od 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
9994, 98eqtr3d 2269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m = (♯ ` A ) )
10099fveq2d 5679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) )
101 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ph )
102101, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10399, 91eqeltrrd 2312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
104103, 75jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN /\ n e. NN ) )
10599oveq2d 6074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
106 f1oeq2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
10897, 107mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
109 breq1 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
110 fveq2 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
111110csbeq1d 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
112109, 111ifbieq1d 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
113112cbvmptv 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
11438, 113eqtri 2255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
115 breq1 4117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> ( a <_ n <-> j <_ n ) )
116 fveq2 5675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = j -> ( g ` a ) = ( g ` j ) )
117116csbeq1d 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> [_ ( g ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
118115, 117ifbieq1d 3649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = j -> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
119118cbvmptv 4211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
12010, 102, 104, 108, 78, 114, 119summodclem3 12091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
121100, 120eqtrd 2267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
122 eqeq12 2247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
123121, 122syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
12490, 123sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
125124expimpd 363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12673, 125biimtrid 152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
127126exlimdvv 1949 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12872, 127biimtrrid 153 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
129128rexlimdvva 2670 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
13071, 129biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
131130expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
13270, 131biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
13344, 132jaod 725 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
13440, 133jaodan 805 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
135134expimpd 363 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
136135alrimivv 1924 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
137 breq2 4118 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq m ( + , F ) ~~> y ) )
1381373anbi3d 1355 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
139138rexbidv 2545 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
140 eqeq1 2241 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
141140anbi2d 464 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
142141exbidv 1874 . . . . 5 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
143142rexbidv 2545 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
144139, 143orbi12d 801 . . 3 |- ( x = y -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) )
145144mo4 2144 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
146136, 145sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   E*wmo 2083   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   [_csb 3141   C_ wss 3214   ifcif 3624   class class class wbr 4114   |-> cmpt 4176   -1-1-onto->wf1o 5356   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   CCcc 8141   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   <_ cle 8325   NNcn 9254   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   ZZ>=cuz 9871   ...cfz 10361   seqcseq 10833  ♯chash 11163   ~~> cli 11988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-isom 5366  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-frec 6635  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6780  df-en 6989  df-dom 6990  df-fin 6991  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-q 9970  df-rp 10005  df-fz 10362  df-fzo 10499  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-ihash 11164  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709  df-clim 11989
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