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Theorem summodc 11375
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summodclem2.g |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
summodc.3 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   ph, k, n   A, f, j, m, k, n   B, n   f, F, k, m   ph, f, m, x, k, n   x, A, j   B, f, j, m   j, F, x   n, G, x   ph, j, x
Allowed substitution hints:   B( x, k)   G( f, j, k, m)
Proof of Theorem summodc
Dummy variables a g y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5511 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` n ) )
21sseq2d 3185 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` n ) ) )
31raleqdv 2678 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A ) )
4 seqeq1 10434 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> seq m ( + , F ) = seq n ( + , F ) )
54breq1d 4010 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( seq m ( + , F ) ~~> y <-> seq n ( + , F ) ~~> y ) )
62, 3, 53anbi123d 1312 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
76cbvrexv 2704 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) )
8 reeanv 2646 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
9 simprl3 1044 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq m ( + , F ) ~~> x )
10 isummo.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
11 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ph )
12 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
14 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> m e. ZZ )
15 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> n e. ZZ )
16 simprl1 1042 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
17 simprr1 1045 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` n ) )
18 eleq1w 2238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
1918dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
20 simprl2 1043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
2319, 21, 22rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
24 simprr2 1046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
26 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
2719, 25, 26rspcdva 2846 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> DECID k e. A )
2810, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 27sumrbdc 11371 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq n ( + , F ) ~~> x ) )
299, 28mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> x )
30 simprr3 1047 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> y )
31 climuni 11285 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq n ( + , F ) ~~> x /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> x = y )
3332exp31 364 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) ) )
3433rexlimdvv 2601 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
358, 34biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
3635expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
377, 36biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
38 summodc.3 . . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
3910, 12, 38summodclem2 11374 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4037, 39jaod 717 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
4110, 12, 38summodclem2 11374 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> y = x ) )
42 equcom 1706 . . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
4341, 42syl6ib 161 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4443impancom 260 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
45 oveq2 5877 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
46 f1oeq2 5446 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
48 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) )
4948eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) )
5047, 49anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
5150exbidv 1825 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
52 f1oeq1 5445 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
53 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
54 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = a -> ( f ` n ) = ( f ` a ) )
5554csbeq1d 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
5653, 55ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
5756cbvmptv 4096 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
58 fveq1 5510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f ` a ) = ( g ` a ) )
5958csbeq1d 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> [_ ( f ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
6059ifeq1d 3551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
6160mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6257, 61eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6338, 62eqtrid 2222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6463seqeq3d 10439 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
6564fveq1d 5513 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( seq 1 ( + , G ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
6665eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6752, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
6867cbvexv 1918 . . . . . . . . 9 |- ( E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6951, 68bitrdi 196 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
7069cbvrexv 2704 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
71 reeanv 2646 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
72 eeanv 1932 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
73 an4 586 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
74 1zzd 9269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
75 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN )
7675nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. ZZ )
7774, 76fzfigd 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
78 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
7977, 78fihasheqf1od 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = (♯ ` A ) )
8075nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN0 )
81 hashfz1 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8379, 82eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) = n )
8483breq2d 4012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> a <_ n ) )
8584ifbid 3555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
8685mpteq2dv 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
8786seqeq3d 10439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
8887fveq1d 5513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
8988eqeq2d 2189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
9089anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) <-> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
91 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
9291nnnn0d 9218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN0 )
93 hashfz1 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9591nnzd 9363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
9674, 95fzfigd 10417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
97 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
9896, 97fihasheqf1od 10753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
9994, 98eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m = (♯ ` A ) )
10099fveq2d 5515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) )
101 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ph )
102101, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10399, 91eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
104103, 75jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN /\ n e. NN ) )
10599oveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
106 f1oeq2 5446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
10897, 107mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
109 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
110 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
111110csbeq1d 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
112109, 111ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
113112cbvmptv 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
11438, 113eqtri 2198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
115 breq1 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> ( a <_ n <-> j <_ n ) )
116 fveq2 5511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = j -> ( g ` a ) = ( g ` j ) )
117116csbeq1d 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> [_ ( g ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
118115, 117ifbieq1d 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = j -> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
119118cbvmptv 4096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
12010, 102, 104, 108, 78, 114, 119summodclem3 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
121100, 120eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
122 eqeq12 2190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
123121, 122syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
12490, 123sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
125124expimpd 363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12673, 125biimtrid 152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
127126exlimdvv 1897 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12872, 127biimtrrid 153 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
129128rexlimdvva 2602 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
13071, 129biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
131130expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
13270, 131biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
13344, 132jaod 717 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
13440, 133jaodan 797 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
135134expimpd 363 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
136135alrimivv 1875 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
137 breq2 4004 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq m ( + , F ) ~~> y ) )
1381373anbi3d 1318 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
139138rexbidv 2478 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
140 eqeq1 2184 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
141140anbi2d 464 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
142141exbidv 1825 . . . . 5 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
143142rexbidv 2478 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
144139, 143orbi12d 793 . . 3 |- ( x = y -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) )
145144mo4 2087 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
146136, 145sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   /\ w3a 978   A.wal 1351   = wceq 1353   E.wex 1492   E*wmo 2027   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   [_csb 3057   C_ wss 3129   ifcif 3534   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   <_ cle 7983   NNcn 8908   NN0cn0 9165   ZZcz 9242   ZZ>=cuz 9517   ...cfz 9995   seqcseq 10431  ♯chash 10739   ~~> cli 11270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-ihash 10740  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271
This theorem is referenced by:  fsum3  11379
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