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Theorem summodc 11164
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summodclem2.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
summodc.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodc  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A   
n, F    ph, k, n    A, f, j, m, k, n    B, n    f, F, k, m    ph, f, m, x, k, n    x, A, j    B, f, j, m    j, F, x   
n, G, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)    G( f, j, k, m)

Proof of Theorem summodc
Dummy variables  a  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  n )
)
21sseq2d 3127 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  n ) ) )
31raleqdv 2632 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A ) )
4 seqeq1 10233 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  seq m (  +  ,  F )  =  seq n (  +  ,  F ) )
54breq1d 3939 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
62, 3, 53anbi123d 1290 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
76cbvrexv 2655 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
8 reeanv 2600 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )
9 simprl3 1028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )
10 isummo.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
11 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  ph )
12 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1311, 12sylan 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
14 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
15 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
16 simprl1 1026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)
17 simprr1 1029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  n )
)
18 eleq1w 2200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
1918dcbid 823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
20 simprl2 1027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
2120adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
22 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
2319, 21, 22rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  -> DECID  k  e.  A
)
24 simprr2 1030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A )
2524adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A )
26 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
2719, 25, 26rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  -> DECID  k  e.  A
)
2810, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 27sumrbdc 11160 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )
299, 28mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq n (  +  ,  F )  ~~>  x )
30 simprr3 1031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y )
31 climuni 11074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq n (  +  ,  F )  ~~>  x  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y )
3229, 30, 31syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  x  =  y )
3332exp31 361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
3433rexlimdvv 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
358, 34syl5bir 152 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
3635expdimp 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
377, 36syl5bi 151 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
38 summodc.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
3910, 12, 38summodclem2 11163 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
4037, 39jaod 706 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  y ) )
4110, 12, 38summodclem2 11163 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  y  =  x ) )
42 equcom 1682 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
4341, 42syl6ib 160 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
4443impancom 258 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
45 oveq2 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
46 f1oeq2 5357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... n )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
48 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
) )
4948eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) ) )
5047, 49anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 n ) ) ) )
5150exbidv 1797 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) ) ) )
52 f1oeq1 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
53 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  a  <_  ( `  A ) ) )
54 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  a  ->  (
f `  n )  =  ( f `  a ) )
5554csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B )
5653, 55ifbieq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) )
5756cbvmptv 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) )
58 fveq1 5420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  a )  =  ( g `  a ) )
5958csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  a )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B )
6059ifeq1d 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) )
6160mpteq2dv 4019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
6257, 61syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
6338, 62syl5eq 2184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
6463seqeq3d 10238 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
6564fveq1d 5423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
6665eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
6752, 66anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n ) ) ) )
6867cbvexv 1890 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
6951, 68syl6bb 195 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
7069cbvrexv 2655 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
71 reeanv 2600 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  <->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
72 eeanv 1904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  <->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
73 an4 575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
74 1zzd 9093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
75 simplrr 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  n  e.  NN )
7675nnzd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  n  e.  ZZ )
7774, 76fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... n
)  e.  Fin )
78 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
7977, 78fihasheqf1od 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... n ) )  =  ( `  A )
)
8075nnnn0d 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  n  e.  NN0 )
81 hashfz1 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... n ) )  =  n )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... n ) )  =  n )
8379, 82eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  =  n )
8483breq2d 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( a  <_  ( `  A )  <->  a  <_  n ) )
8584ifbid 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
8685mpteq2dv 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
8786seqeq3d 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
8887fveq1d 5423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
8988eqeq2d 2151 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
9089anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  <->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
91 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  NN )
9291nnnn0d 9042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  NN0 )
93 hashfz1 10541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... m ) )  =  m )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... m ) )  =  m )
9591nnzd 9184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  ZZ )
9674, 95fzfigd 10216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... m
)  e.  Fin )
97 simprl 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
9896, 97fihasheqf1od 10548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... m ) )  =  ( `  A )
)
9994, 98eqtr3d 2174 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  =  ( `  A
) )
10099fveq2d 5425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  ( `  A ) ) )
101 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
102101, 12sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
10399, 91eqeltrrd 2217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
104103, 75jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( `  A
)  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)
10599oveq2d 5790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... m
)  =  ( 1 ... ( `  A
) ) )
106 f1oeq2 5357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <-> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
10897, 107mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
109 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  j  <_  ( `  A ) ) )
110 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
111110csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
112109, 111ifbieq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  j )  /  k ]_ B ,  0 ) )
113112cbvmptv 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B ,  0 ) )
11438, 113eqtri 2160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
115 breq1 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  j  ->  (
a  <_  n  <->  j  <_  n ) )
116 fveq2 5421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  j  ->  (
g `  a )  =  ( g `  j ) )
117116csbeq1d 3010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  j  ->  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
118115, 117ifbieq1d 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  j  ->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  <_  n ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
119118cbvmptv 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  n ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
12010, 102, 104, 108, 78, 114, 119summodclem3 11161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  ( `  A ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
121100, 120eqtrd 2172 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
122 eqeq12 2152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  (
x  =  y  <->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
123121, 122syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  x  =  y ) )
12490, 123sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  x  =  y ) )
125124expimpd 360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
12673, 125syl5bi 151 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
127126exlimdvv 1869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
12872, 127syl5bir 152 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
129128rexlimdvva 2557 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
13071, 129syl5bir 152 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
131130expdimp 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  x  =  y ) )
13270, 131syl5bi 151 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
13344, 132jaod 706 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  y ) )
13440, 133jaodan 786 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
135134expimpd 360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
136135alrimivv 1847 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
137 breq2 3933 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
1381373anbi3d 1296 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
139138rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
140 eqeq1 2146 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )
141140anbi2d 459 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) ) ) )
142141exbidv 1797 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
143142rexbidv 2438 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
144139, 143orbi12d 782 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) ) )
145144mo4 2060 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  <->  A. x A. y ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
146136, 145sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819    /\ w3a 962   A.wal 1329    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   E*wmo 2000   A.wral 2416   E.wrex 2417   [_csb 3003    C_ wss 3071   ifcif 3474   class class class wbr 3929    |-> cmpt 3989   -1-1-onto->wf1o 5122   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   CCcc 7630   0cc0 7632   1c1 7633    + caddc 7635    <_ cle 7813   NNcn 8732   NN0cn0 8989   ZZcz 9066   ZZ>=cuz 9338   ...cfz 9802    seqcseq 10230  ♯chash 10533    ~~> cli 11059
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751  ax-caucvg 7752
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-q 9424  df-rp 9454  df-fz 9803  df-fzo 9932  df-seqfrec 10231  df-exp 10305  df-ihash 10534  df-cj 10626  df-re 10627  df-im 10628  df-rsqrt 10782  df-abs 10783  df-clim 11060
This theorem is referenced by:  fsum3  11168
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