ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  summodc Unicode version
Theorem summodc 11943
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
isummo.2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
summodclem2.g |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
summodc.3 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodc |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Distinct variable groups:   k, n, A   n, F   ph, k, n   A, f, j, m, k, n   B, n   f, F, k, m   ph, f, m, x, k, n   x, A, j   B, f, j, m   j, F, x   n, G, x   ph, j, x
Allowed substitution hints:   B( x, k)   G( f, j, k, m)
Proof of Theorem summodc
Dummy variables a g y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5639 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ZZ>= ` m ) = ( ZZ>= ` n ) )
21sseq2d 3257 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) <-> A C_ ( ZZ>= ` n ) ) )
31raleqdv 2736 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A <-> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A ) )
4 seqeq1 10711 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> seq m ( + , F ) = seq n ( + , F ) )
54breq1d 4098 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( seq m ( + , F ) ~~> y <-> seq n ( + , F ) ~~> y ) )
62, 3, 53anbi123d 1348 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
76cbvrexv 2768 . . . . . . 7 |- ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) <-> E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) )
8 reeanv 2703 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) )
9 simprl3 1070 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq m ( + , F ) ~~> x )
10 isummo.1 . . . . . . . . . . . . . 14 |- F = ( k e. ZZ |-> if ( k e. A , B , 0 ) )
11 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ph )
12 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
14 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> m e. ZZ )
15 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> n e. ZZ )
16 simprl1 1068 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` m ) )
17 simprr1 1071 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A C_ ( ZZ>= ` n ) )
18 eleq1w 2292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = k -> ( j e. A <-> k e. A ) )
1918dcbid 845 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = k -> (DECID j e. A <-> DECID k e. A ) )
20 simprl2 1069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A )
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> k e. ( ZZ>= ` m ) )
2319, 21, 22rspcdva 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` m ) ) -> DECID k e. A )
24 simprr2 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A )
26 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> k e. ( ZZ>= ` n ) )
2719, 25, 26rspcdva 2915 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) /\ k e. ( ZZ>= ` n ) ) -> DECID k e. A )
2810, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 27sumrbdc 11939 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq n ( + , F ) ~~> x ) )
299, 28mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> x )
30 simprr3 1073 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> seq n ( + , F ) ~~> y )
31 climuni 11853 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( seq n ( + , F ) ~~> x /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) ) /\ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) ) -> x = y )
3332exp31 364 . . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( m e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) ) )
3433rexlimdvv 2657 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. ZZ E. n e. ZZ ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
358, 34biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) /\ E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) ) -> x = y ) )
3635expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. n e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` n ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` n )DECID j e. A /\ seq n ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
377, 36biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
38 summodc.3 . . . . . . 7 |- G = ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) )
3910, 12, 38summodclem2 11942 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4037, 39jaod 724 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
4110, 12, 38summodclem2 11942 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> y = x ) )
42 equcom 1754 . . . . . . . 8 |- ( y = x <-> x = y )
4341, 42imbitrdi 161 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
4443impancom 260 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) -> x = y ) )
45 oveq2 6025 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) )
46 f1oeq2 5572 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... n ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
48 fveq2 5639 . . . . . . . . . . . 12 |- ( m = n -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) )
4948eqeq2d 2243 . . . . . . . . . . 11 |- ( m = n -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) )
5047, 49anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( m = n -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
5150exbidv 1873 . . . . . . . . 9 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) ) )
52 f1oeq1 5571 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A <-> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) )
53 breq1 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> a <_ (♯ ` A ) ) )
54 fveq2 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = a -> ( f ` n ) = ( f ` a ) )
5554csbeq1d 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = a -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` a ) / k ]_ B )
5653, 55ifbieq1d 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = a -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
5756cbvmptv 4185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
58 fveq1 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( f = g -> ( f ` a ) = ( g ` a ) )
5958csbeq1d 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f = g -> [_ ( f ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` a ) / k ]_ B )
6059ifeq1d 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f = g -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
6160mpteq2dv 4180 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f = g -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6257, 61eqtrid 2276 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f = g -> ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6338, 62eqtrid 2276 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f = g -> G = ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
6463seqeq3d 10716 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( f = g -> seq 1 ( + , G ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
6564fveq1d 5641 . . . . . . . . . . . 12 |- ( f = g -> ( seq 1 ( + , G ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
6665eqeq2d 2243 . . . . . . . . . . 11 |- ( f = g -> ( y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6752, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . 10 |- ( f = g -> ( ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
6867cbvexv 1967 . . . . . . . . 9 |- ( E. f ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` n ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
6951, 68bitrdi 196 . . . . . . . 8 |- ( m = n -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
7069cbvrexv 2768 . . . . . . 7 |- ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
71 reeanv 2703 . . . . . . . . 9 |- ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
72 eeanv 1985 . . . . . . . . . . 11 |- ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
73 an4 588 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) <-> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
74 1zzd 9505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> 1 e. ZZ )
75 simplrr 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN )
7675nnzd 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. ZZ )
7774, 76fzfigd 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... n ) e. Fin )
78 simprr 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
7977, 78fihasheqf1od 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = (♯ ` A ) )
8075nnnn0d 9454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> n e. NN0 )
81 hashfz1 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( n e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... n ) ) = n )
8379, 82eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) = n )
8483breq2d 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a <_ (♯ ` A ) <-> a <_ n ) )
8584ifbid 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) )
8685mpteq2dv 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) )
8786seqeq3d 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) = seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) )
8887fveq1d 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
8988eqeq2d 2243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) <-> y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
9089anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) <-> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) )
91 simplrl 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN )
9291nnnn0d 9454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. NN0 )
93 hashfz1 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( m e. NN0 -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = m )
9591nnzd 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m e. ZZ )
9674, 95fzfigd 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) e. Fin )
97 simprl 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
9896, 97fihasheqf1od 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` ( 1 ... m ) ) = (♯ ` A ) )
9994, 98eqtr3d 2266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> m = (♯ ` A ) )
10099fveq2d 5643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) )
101 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ph )
102101, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) /\ k e. A ) -> B e. CC )
10399, 91eqeltrrd 2309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> (♯ ` A ) e. NN )
104103, 75jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( (♯ ` A ) e. NN /\ n e. NN ) )
10599oveq2d 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) )
106 f1oeq2 5572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 1 ... m ) = ( 1 ... (♯ ` A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A <-> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A ) )
10897, 107mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> f : ( 1 ... (♯ ` A ) ) -1-1-onto-> A )
109 breq1 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> ( n <_ (♯ ` A ) <-> j <_ (♯ ` A ) ) )
110 fveq2 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( n = j -> ( f ` n ) = ( f ` j ) )
111110csbeq1d 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = j -> [_ ( f ` n ) / k ]_ B = [_ ( f ` j ) / k ]_ B )
112109, 111ifbieq1d 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = j -> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
113112cbvmptv 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n e. NN |-> if ( n <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` n ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
11438, 113eqtri 2252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- G = ( j e. NN |-> if ( j <_ (♯ ` A ) , [_ ( f ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
115 breq1 4091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> ( a <_ n <-> j <_ n ) )
116 fveq2 5639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( a = j -> ( g ` a ) = ( g ` j ) )
117116csbeq1d 3134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( a = j -> [_ ( g ` a ) / k ]_ B = [_ ( g ` j ) / k ]_ B )
118115, 117ifbieq1d 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = j -> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) = if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
119118cbvmptv 4185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) = ( j e. NN |-> if ( j <_ n , [_ ( g ` j ) / k ]_ B , 0 ) )
12010, 102, 104, 108, 78, 114, 119summodclem3 11940 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` (♯ ` A ) ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
121100, 120eqtrd 2264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) )
122 eqeq12 2244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> ( x = y <-> ( seq 1 ( + , G ) ` m ) = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) )
123121, 122syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ n , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
12490, 123sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) /\ ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) ) -> ( ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
125124expimpd 363 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A ) /\ ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12673, 125biimtrid 152 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
127126exlimdvv 1946 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
12872, 127biimtrrid 153 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
129128rexlimdvva 2658 . . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( E. m e. NN E. n e. NN ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
13071, 129biimtrrid 153 . . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) /\ E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) ) -> x = y ) )
131130expdimp 259 . . . . . . 7 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. n e. NN E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , ( a e. NN |-> if ( a <_ (♯ ` A ) , [_ ( g ` a ) / k ]_ B , 0 ) ) ) ` n ) ) -> x = y ) )
13270, 131biimtrid 152 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) -> x = y ) )
13344, 132jaod 724 . . . . 5 |- ( ( ph /\ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
13440, 133jaodan 804 . . . 4 |- ( ( ph /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) -> x = y ) )
135134expimpd 363 . . 3 |- ( ph -> ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
136135alrimivv 1923 . 2 |- ( ph -> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
137 breq2 4092 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( seq m ( + , F ) ~~> x <-> seq m ( + , F ) ~~> y ) )
1381373anbi3d 1354 . . . . 5 |- ( x = y -> ( ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
139138rexbidv 2533 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) <-> E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) ) )
140 eqeq1 2238 . . . . . . 7 |- ( x = y -> ( x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) <-> y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) )
141140anbi2d 464 . . . . . 6 |- ( x = y -> ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
142141exbidv 1873 . . . . 5 |- ( x = y -> ( E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
143142rexbidv 2533 . . . 4 |- ( x = y -> ( E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) <-> E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
144139, 143orbi12d 800 . . 3 |- ( x = y -> ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) )
145144mo4 2141 . 2 |- ( E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) <-> A. x A. y ( ( ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) /\ ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> y ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ y = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) ) -> x = y ) )
146136, 145sylibr 134 1 |- ( ph -> E* x ( E. m e. ZZ ( A C_ ( ZZ>= ` m ) /\ A. j e. ( ZZ>= ` m )DECID j e. A /\ seq m ( + , F ) ~~> x ) \/ E. m e. NN E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A /\ x = ( seq 1 ( + , G ) ` m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715  DECID wdc 841   /\ w3a 1004   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   E*wmo 2080   e. wcel 2202   A.wral 2510   E.wrex 2511   [_csb 3127   C_ wss 3200   ifcif 3605   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   <_ cle 8214   NNcn 9142   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   ZZ>=cuz 9754   ...cfz 10242   seqcseq 10708  ♯chash 11036   ~~> cli 11838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-ihash 11037  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839
This theorem is referenced by:  fsum3  11947
  Copyright terms: Public domain W3C validator