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Theorem summodc 11409
Description: A sum has at most one limit. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 4-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
isummo.1  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
isummo.2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
summodclem2.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
summodc.3  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
summodc  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, n, A   
n, F    ph, k, n    A, f, j, m, k, n    B, n    f, F, k, m    ph, f, m, x, k, n    x, A, j    B, f, j, m    j, F, x   
n, G, x    ph, j, x
Allowed substitution hints:    B( x, k)    G( f, j, k, m)

Proof of Theorem summodc
Dummy variables  a  g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5530 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( ZZ>=
`  m )  =  ( ZZ>= `  n )
)
21sseq2d 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  <->  A  C_  ( ZZ>= `  n ) ) )
31raleqdv 2692 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( A. j  e.  ( ZZ>=
`  m )DECID  j  e.  A  <->  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A ) )
4 seqeq1 10466 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  seq m (  +  ,  F )  =  seq n (  +  ,  F ) )
54breq1d 4028 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y  <->  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
62, 3, 53anbi123d 1323 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
76cbvrexv 2719 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  <->  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
8 reeanv 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )
9 simprl3 1046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )
10 isummo.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( k  e.  ZZ  |->  if ( k  e.  A ,  B ,  0 ) )
11 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  ph )
12 isummo.2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1311, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
14 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  m  e.  ZZ )
15 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  n  e.  ZZ )
16 simprl1 1044 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  m )
)
17 simprr1 1047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A  C_  ( ZZ>= `  n )
)
18 eleq1w 2250 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  k  ->  (
j  e.  A  <->  k  e.  A ) )
1918dcbid 839 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  k  ->  (DECID  j  e.  A  <-> DECID  k  e.  A )
)
20 simprl2 1045 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
2120adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A )
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)
2319, 21, 22rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  m )
)  -> DECID  k  e.  A
)
24 simprr2 1048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A )
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A )
26 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)
2719, 25, 26rspcdva 2861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) ) )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  -> DECID  k  e.  A
)
2810, 13, 14, 15, 16, 17, 23, 27sumrbdc 11405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )
299, 28mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq n (  +  ,  F )  ~~>  x )
30 simprr3 1049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y )
31 climuni 11319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  seq n (  +  ,  F )  ~~>  x  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y )  ->  x  =  y )
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )
)  /\  ( ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )  ->  x  =  y )
3332exp31 364 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) ) )
3433rexlimdvv 2614 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  ( ( A 
C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n (  +  ,  F )  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
358, 34biimtrrid 153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  /\  E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  ->  x  =  y ) )
3635expdimp 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. n  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  n )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  n )DECID  j  e.  A  /\  seq n
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
377, 36biimtrid 152 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
38 summodc.3 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
3910, 12, 38summodclem2 11408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
4037, 39jaod 718 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  y ) )
4110, 12, 38summodclem2 11408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  y  =  x ) )
42 equcom 1717 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
4341, 42imbitrdi 161 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
4443impancom 260 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  ->  x  =  y )
)
45 oveq2 5899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
46 f1oeq2 5465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... n )  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
4745, 46syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
48 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
) )
4948eqeq2d 2201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) ) )
5047, 49anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 n ) ) ) )
5150exbidv 1836 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) ) ) )
52 f1oeq1 5464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  <->  g :
( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )
53 breq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  a  <_  ( `  A ) ) )
54 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  a  ->  (
f `  n )  =  ( f `  a ) )
5554csbeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  a  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B )
5653, 55ifbieq1d 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  a  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) )
5756cbvmptv 4114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) )
58 fveq1 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  g  ->  (
f `  a )  =  ( g `  a ) )
5958csbeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f  =  g  ->  [_ (
f `  a )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B )
6059ifeq1d 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f  =  g  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) )
6160mpteq2dv 4109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  g  ->  (
a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
6257, 61eqtrid 2234 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  g  ->  (
n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  n
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
6338, 62eqtrid 2234 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  g  ->  G  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
6463seqeq3d 10471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  g  ->  seq 1 (  +  ,  G )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
6564fveq1d 5532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  g  ->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
6665eqeq2d 2201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  g  ->  (
y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
6752, 66anbi12d 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  g  ->  (
( f : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A
) ,  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n ) ) ) )
6867cbvexv 1930 . . . . . . . . 9  |-  ( E. f ( f : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  n ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
6951, 68bitrdi 196 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
7069cbvrexv 2719 . . . . . . 7  |-  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
71 reeanv 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  <->  ( E. m  e.  NN  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
72 eeanv 1944 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  <->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
73 an4 586 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  <->  ( (
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
74 1zzd 9298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
1  e.  ZZ )
75 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  n  e.  NN )
7675nnzd 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  n  e.  ZZ )
7774, 76fzfigd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... n
)  e.  Fin )
78 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A )
7977, 78fihasheqf1od 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... n ) )  =  ( `  A )
)
8075nnnn0d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  n  e.  NN0 )
81 hashfz1 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... n ) )  =  n )
8280, 81syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... n ) )  =  n )
8379, 82eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  =  n )
8483breq2d 4030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( a  <_  ( `  A )  <->  a  <_  n ) )
8584ifbid 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
8685mpteq2dv 4109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )
8786seqeq3d 10471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) )  =  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) )
8887fveq1d 5532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
8988eqeq2d 2201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
9089anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  <->  ( x  =  (  seq 1
(  +  ,  G
) `  m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) ) )
91 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  NN )
9291nnnn0d 9247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  NN0 )
93 hashfz1 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( `  (
1 ... m ) )  =  m )
9492, 93syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... m ) )  =  m )
9591nnzd 9392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  e.  ZZ )
9674, 95fzfigd 10449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... m
)  e.  Fin )
97 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A )
9896, 97fihasheqf1od 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  ( 1 ... m ) )  =  ( `  A )
)
9994, 98eqtr3d 2224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  m  =  ( `  A
) )
10099fveq2d 5534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  ( `  A ) ) )
101 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  ->  ph )
102101, 12sylan 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  CC )
10399, 91eqeltrrd 2267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( `  A )  e.  NN )
104103, 75jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( `  A
)  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)
10599oveq2d 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( 1 ... m
)  =  ( 1 ... ( `  A
) ) )
106 f1oeq2 5465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 1 ... m )  =  ( 1 ... ( `  A )
)  ->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <->  f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
107105, 106syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  <-> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A ) )
10897, 107mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
f : ( 1 ... ( `  A
) ) -1-1-onto-> A )
109 breq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  (
n  <_  ( `  A
)  <->  j  <_  ( `  A ) ) )
110 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  =  j  ->  (
f `  n )  =  ( f `  j ) )
111110csbeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  j  ->  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B  =  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B )
112109, 111ifbieq1d 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  j  ->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  <_ 
( `  A ) , 
[_ ( f `  j )  /  k ]_ B ,  0 ) )
113112cbvmptv 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( n  <_  ( `  A
) ,  [_ (
f `  n )  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j )  /  k ]_ B ,  0 ) )
11438, 113eqtri 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  G  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  ( `  A ) ,  [_ ( f `  j
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
115 breq1 4021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  j  ->  (
a  <_  n  <->  j  <_  n ) )
116 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( a  =  j  ->  (
g `  a )  =  ( g `  j ) )
117116csbeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( a  =  j  ->  [_ (
g `  a )  /  k ]_ B  =  [_ ( g `  j )  /  k ]_ B )
118115, 117ifbieq1d 3571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  j  ->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 )  =  if ( j  <_  n ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
119118cbvmptv 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) )  =  ( j  e.  NN  |->  if ( j  <_  n ,  [_ ( g `  j
)  /  k ]_ B ,  0 ) )
12010, 102, 104, 108, 78, 114, 119summodclem3 11406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  ( `  A ) )  =  (  seq 1
(  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
121100, 120eqtrd 2222 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
(  seq 1 (  +  ,  G ) `  m )  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )
122 eqeq12 2202 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  (
x  =  y  <->  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )
123121, 122syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  n ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  x  =  y ) )
12490, 123sylbid 150 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
m  e.  NN  /\  n  e.  NN )
)  /\  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A ) )  -> 
( ( x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m )  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  x  =  y ) )
125124expimpd 363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A )  /\  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
12673, 125biimtrid 152 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
127126exlimdvv 1909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( E. f E. g ( ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) )  /\  ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
12872, 127biimtrrid 153 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
129128rexlimdvva 2615 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  E. n  e.  NN  ( E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  /\  E. g ( g : ( 1 ... n
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
13071, 129biimtrrid 153 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  /\  E. n  e.  NN  E. g
( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  ( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a )  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) ) )  ->  x  =  y )
)
131130expdimp 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  E. g ( g : ( 1 ... n ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  , 
( a  e.  NN  |->  if ( a  <_  ( `  A ) ,  [_ ( g `  a
)  /  k ]_ B ,  0 ) ) ) `  n
) )  ->  x  =  y ) )
13270, 131biimtrid 152 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) )  ->  x  =  y ) )
13344, 132jaod 718 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  -> 
( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  ->  x  =  y ) )
13440, 133jaodan 798 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y )  \/  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) )  ->  x  =  y )
)
135134expimpd 363 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
136135alrimivv 1886 . 2  |-  ( ph  ->  A. x A. y
( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
137 breq2 4022 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x  <->  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y ) )
1381373anbi3d 1329 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <-> 
( A  C_  ( ZZ>=
`  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
139138rexbidv 2491 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  x )  <->  E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m (  +  ,  F )  ~~>  y ) ) )
140 eqeq1 2196 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
)  <->  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )
141140anbi2d 464 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `
 m ) ) ) )
142141exbidv 1836 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. f
( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
143142rexbidv 2491 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) )  <->  E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m ) -1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m
) ) ) )
144139, 143orbi12d 794 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  <-> 
( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) ) )
145144mo4 2099 . 2  |-  ( E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  <->  A. x A. y ( ( ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) )  /\  ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m )  /\  A. j  e.  (
ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  y )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  y  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )  ->  x  =  y ) )
146136, 145sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  E* x ( E. m  e.  ZZ  ( A  C_  ( ZZ>= `  m
)  /\  A. j  e.  ( ZZ>= `  m )DECID  j  e.  A  /\  seq m
(  +  ,  F
)  ~~>  x )  \/ 
E. m  e.  NN  E. f ( f : ( 1 ... m
)
-1-1-onto-> A  /\  x  =  (  seq 1 (  +  ,  G ) `  m ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709  DECID wdc 835    /\ w3a 980   A.wal 1362    = wceq 1364   E.wex 1503   E*wmo 2039    e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   [_csb 3072    C_ wss 3144   ifcif 3549   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   -1-1-onto->wf1o 5230   ` cfv 5231  (class class class)co 5891   CCcc 7827   0cc0 7829   1c1 7830    + caddc 7832    <_ cle 8011   NNcn 8937   NN0cn0 9194   ZZcz 9271   ZZ>=cuz 9546   ...cfz 10026    seqcseq 10463  ♯chash 10773    ~~> cli 11304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947  ax-arch 7948  ax-caucvg 7949
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-isom 5240  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-frec 6410  df-1o 6435  df-oadd 6439  df-er 6553  df-en 6759  df-dom 6760  df-fin 6761  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-2 8996  df-3 8997  df-4 8998  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-q 9638  df-rp 9672  df-fz 10027  df-fzo 10161  df-seqfrec 10464  df-exp 10538  df-ihash 10774  df-cj 10869  df-re 10870  df-im 10871  df-rsqrt 11025  df-abs 11026  df-clim 11305
This theorem is referenced by:  fsum3  11413
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