Theorem 3brtr4d 4077

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 4058	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   class class class wbr 4045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5898  prarloclemarch2  7534  caucvgprprlemmu  7810  caucvgsrlembound  7909  mulap0  8729  lediv12a  8969  recp1lt1  8974  xleadd1a  9997  fldiv4p1lem1div2  10450  fldiv4lem1div2  10452  intfracq  10467  modqmulnn  10489  addmodlteq  10545  frecfzennn  10573  monoord2  10633  expgt1  10724  leexp2r  10740  leexp1a  10741  bernneq  10807  faclbnd  10888  faclbnd6  10891  facubnd  10892  hashunlem  10951  zfz1isolemiso  10986  sqrtgt0  11378  absrele  11427  absimle  11428  abstri  11448  abs2difabs  11452  bdtrilem  11583  bdtri  11584  xrmaxifle  11590  xrmaxadd  11605  xrbdtri  11620  climsqz  11679  climsqz2  11680  fsum3cvg2  11738  isumle  11839  expcnvap0  11846  expcnvre  11847  explecnv  11849  cvgratz  11876  efcllemp  12002  ege2le3  12015  eflegeo  12045  cos12dec  12112  fsumdvds  12186  phibnd  12572  pcdvdstr  12683  pcprmpw2  12689  pockthg  12713  2expltfac  12795  znrrg  14455  psmetres2  14838  xmetres2  14884  comet  15004  bdxmet  15006  cnmet  15035  ivthdec  15149  limcimolemlt  15169  tangtx  15343  logbgcd1irraplemap  15474  2lgslem1c  15600  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemlt1  16017