Theorem 3brtr4d 4066

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 4047	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   class class class wbr 4034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-un 3161  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-br 4035

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5877  prarloclemarch2  7503  caucvgprprlemmu  7779  caucvgsrlembound  7878  mulap0  8698  lediv12a  8938  recp1lt1  8943  xleadd1a  9965  fldiv4p1lem1div2  10412  fldiv4lem1div2  10414  intfracq  10429  modqmulnn  10451  addmodlteq  10507  frecfzennn  10535  monoord2  10595  expgt1  10686  leexp2r  10702  leexp1a  10703  bernneq  10769  faclbnd  10850  faclbnd6  10853  facubnd  10854  hashunlem  10913  zfz1isolemiso  10948  sqrtgt0  11216  absrele  11265  absimle  11266  abstri  11286  abs2difabs  11290  bdtrilem  11421  bdtri  11422  xrmaxifle  11428  xrmaxadd  11443  xrbdtri  11458  climsqz  11517  climsqz2  11518  fsum3cvg2  11576  isumle  11677  expcnvap0  11684  expcnvre  11685  explecnv  11687  cvgratz  11714  efcllemp  11840  ege2le3  11853  eflegeo  11883  cos12dec  11950  fsumdvds  12024  phibnd  12410  pcdvdstr  12521  pcprmpw2  12527  pockthg  12551  2expltfac  12633  znrrg  14292  psmetres2  14653  xmetres2  14699  comet  14819  bdxmet  14821  cnmet  14850  ivthdec  14964  limcimolemlt  14984  tangtx  15158  logbgcd1irraplemap  15289  2lgslem1c  15415  cvgcmp2nlemabs  15763  trilpolemlt1  15772