Theorem 3brtr4d 3960

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 3942	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 166	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   class class class wbr 3929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-br 3930

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5728  prarloclemarch2  7227  caucvgprprlemmu  7503  caucvgsrlembound  7602  mulap0  8415  lediv12a  8652  recp1lt1  8657  xleadd1a  9656  fldiv4p1lem1div2  10078  intfracq  10093  modqmulnn  10115  addmodlteq  10171  frecfzennn  10199  monoord2  10250  expgt1  10331  leexp2r  10347  leexp1a  10348  bernneq  10412  faclbnd  10487  faclbnd6  10490  facubnd  10491  hashunlem  10550  zfz1isolemiso  10582  sqrtgt0  10806  absrele  10855  absimle  10856  abstri  10876  abs2difabs  10880  bdtrilem  11010  bdtri  11011  xrmaxifle  11015  xrmaxadd  11030  xrbdtri  11045  climsqz  11104  climsqz2  11105  fsum3cvg2  11163  isumle  11264  expcnvap0  11271  expcnvre  11272  explecnv  11274  cvgratz  11301  efcllemp  11364  ege2le3  11377  eflegeo  11408  cos12dec  11474  phibnd  11893  psmetres2  12502  xmetres2  12548  comet  12668  bdxmet  12670  cnmet  12699  ivthdec  12791  limcimolemlt  12802  tangtx  12919  cvgcmp2nlemabs  13227  trilpolemlt1  13234