Theorem 3brtr4d 4116

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 4097	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4085

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5961  prarloclemarch2  7627  caucvgprprlemmu  7903  caucvgsrlembound  8002  mulap0  8822  lediv12a  9062  recp1lt1  9067  xleadd1a  10096  fldiv4p1lem1div2  10553  fldiv4lem1div2  10555  intfracq  10570  modqmulnn  10592  addmodlteq  10648  frecfzennn  10676  monoord2  10736  expgt1  10827  leexp2r  10843  leexp1a  10844  bernneq  10910  faclbnd  10991  faclbnd6  10994  facubnd  10995  hashunlem  11054  zfz1isolemiso  11090  sqrtgt0  11582  absrele  11631  absimle  11632  abstri  11652  abs2difabs  11656  bdtrilem  11787  bdtri  11788  xrmaxifle  11794  xrmaxadd  11809  xrbdtri  11824  climsqz  11883  climsqz2  11884  fsum3cvg2  11942  isumle  12043  expcnvap0  12050  expcnvre  12051  explecnv  12053  cvgratz  12080  efcllemp  12206  ege2le3  12219  eflegeo  12249  cos12dec  12316  fsumdvds  12390  phibnd  12776  pcdvdstr  12887  pcprmpw2  12893  pockthg  12917  2expltfac  12999  znrrg  14661  psmetres2  15044  xmetres2  15090  comet  15210  bdxmet  15212  cnmet  15241  ivthdec  15355  limcimolemlt  15375  tangtx  15549  logbgcd1irraplemap  15680  2lgslem1c  15806  cvgcmp2nlemabs  16546  trilpolemlt1  16555