Theorem 3brtr4d 4125

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 4106	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5978  prarloclemarch2  7699  caucvgprprlemmu  7975  caucvgsrlembound  8074  mulap0  8893  lediv12a  9133  recp1lt1  9138  xleadd1a  10169  fldiv4p1lem1div2  10628  fldiv4lem1div2  10630  intfracq  10645  modqmulnn  10667  addmodlteq  10723  frecfzennn  10751  monoord2  10811  expgt1  10902  leexp2r  10918  leexp1a  10919  bernneq  10985  faclbnd  11066  faclbnd6  11069  facubnd  11070  hashunlem  11130  zfz1isolemiso  11166  sqrtgt0  11674  absrele  11723  absimle  11724  abstri  11744  abs2difabs  11748  bdtrilem  11879  bdtri  11880  xrmaxifle  11886  xrmaxadd  11901  xrbdtri  11916  climsqz  11975  climsqz2  11976  fsum3cvg2  12035  isumle  12136  expcnvap0  12143  expcnvre  12144  explecnv  12146  cvgratz  12173  efcllemp  12299  ege2le3  12312  eflegeo  12342  cos12dec  12409  fsumdvds  12483  phibnd  12869  pcdvdstr  12980  pcprmpw2  12986  pockthg  13010  2expltfac  13092  znrrg  14756  psmetres2  15144  xmetres2  15190  comet  15310  bdxmet  15312  cnmet  15341  ivthdec  15455  limcimolemlt  15475  tangtx  15649  logbgcd1irraplemap  15780  2lgslem1c  15909  cvgcmp2nlemabs  16764  trilpolemlt1  16773