Theorem 3brtr4d 4141

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 4122	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   class class class wbr 4109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110

This theorem is referenced by:  f1oiso2  6000  prarloclemarch2  7734  caucvgprprlemmu  8010  caucvgsrlembound  8109  mulap0  8928  lediv12a  9168  recp1lt1  9173  xleadd1a  10206  fldiv4p1lem1div2  10665  fldiv4lem1div2  10667  intfracq  10682  modqmulnn  10704  addmodlteq  10760  frecfzennn  10788  monoord2  10848  expgt1  10939  leexp2r  10955  leexp1a  10956  bernneq  11022  faclbnd  11103  faclbnd6  11106  facubnd  11107  hashunlem  11168  zfz1isolemiso  11211  sqrtgt0  11719  absrele  11768  absimle  11769  abstri  11789  abs2difabs  11793  bdtrilem  11924  bdtri  11925  xrmaxifle  11931  xrmaxadd  11946  xrbdtri  11961  climsqz  12020  climsqz2  12021  fsum3cvg2  12080  isumle  12181  expcnvap0  12188  expcnvre  12189  explecnv  12191  cvgratz  12218  efcllemp  12344  ege2le3  12357  eflegeo  12387  cos12dec  12454  fsumdvds  12528  phibnd  12914  pcdvdstr  13025  pcprmpw2  13031  pockthg  13055  2expltfac  13137  znrrg  14808  psmetres2  15198  xmetres2  15244  comet  15364  bdxmet  15366  cnmet  15395  ivthdec  15509  limcimolemlt  15529  tangtx  15703  logbgcd1irraplemap  15834  2lgslem1c  15963  cvgcmp2nlemabs  16816  trilpolemlt1  16825