Theorem 3brtr4d 4115

Description: Substitution of equality into both sides of a binary relation. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
3brtr4d.1	|- ( ph -> A R B )
3brtr4d.2	|- ( ph -> C = A )
3brtr4d.3	|- ( ph -> D = B )

Assertion

Ref	Expression
3brtr4d	|- ( ph -> C R D )

Proof of Theorem 3brtr4d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3brtr4d.1	. 2 |- ( ph -> A R B )
2		3brtr4d.2	. . 3 |- ( ph -> C = A )
3		3brtr4d.3	. . 3 |- ( ph -> D = B )
4	2, 3	breq12d 4096	. 2 |- ( ph -> ( C R D <-> A R B ) )
5	1, 4	mpbird 167	1 |- ( ph -> C R D )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084

This theorem is referenced by:  f1oiso2  5951  prarloclemarch2  7606  caucvgprprlemmu  7882  caucvgsrlembound  7981  mulap0  8801  lediv12a  9041  recp1lt1  9046  xleadd1a  10069  fldiv4p1lem1div2  10525  fldiv4lem1div2  10527  intfracq  10542  modqmulnn  10564  addmodlteq  10620  frecfzennn  10648  monoord2  10708  expgt1  10799  leexp2r  10815  leexp1a  10816  bernneq  10882  faclbnd  10963  faclbnd6  10966  facubnd  10967  hashunlem  11026  zfz1isolemiso  11061  sqrtgt0  11545  absrele  11594  absimle  11595  abstri  11615  abs2difabs  11619  bdtrilem  11750  bdtri  11751  xrmaxifle  11757  xrmaxadd  11772  xrbdtri  11787  climsqz  11846  climsqz2  11847  fsum3cvg2  11905  isumle  12006  expcnvap0  12013  expcnvre  12014  explecnv  12016  cvgratz  12043  efcllemp  12169  ege2le3  12182  eflegeo  12212  cos12dec  12279  fsumdvds  12353  phibnd  12739  pcdvdstr  12850  pcprmpw2  12856  pockthg  12880  2expltfac  12962  znrrg  14624  psmetres2  15007  xmetres2  15053  comet  15173  bdxmet  15175  cnmet  15204  ivthdec  15318  limcimolemlt  15338  tangtx  15512  logbgcd1irraplemap  15643  2lgslem1c  15769  cvgcmp2nlemabs  16400  trilpolemlt1  16409