Theorem fnmpo 6438

Description: Functionality and domain of a class given by the maps-to notation. (Contributed by FL, 17-May-2010.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpo.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fnmpo	⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fnmpo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ V)
2	1	ralimi 2613	. . 3 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
3	2	ralimi 2613	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V)
4		fmpo.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	fmpo 6437	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶V)
6		dffn2 5535	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵) ↔ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)⟶V)
7	5, 6	bitr4i 187	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ V ↔ 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))
8	3, 7	sylib 122	1 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐹 Fn (𝐴 × 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  Vcvv 2821   × cxp 4772   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373   ∈ cmpo 6087

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375

This theorem is used by:  fnmpoi  6439  dmmpoga  6444  fnmpoovd  6451  f1od2  6471  mpomulf  8316  divfnzn  10021  cnref1o  10051  fnpfx  11449  plusffng  13685  mulgfng  13927  rhmfn  14479  scaffng  14646  hmeofn  15403