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Theorem mulgfng 13194
Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b |- B = ( Base ` G )
mulgfn.t |- .x. = (.g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgfng |- ( G e. V -> .x. Fn ( ZZ X. B ) )
Proof of Theorem mulgfng
Dummy variables u v n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2771 . . . . . . 7 |- ( G e. V -> G e. _V )
2 fn0g 12958 . . . . . . . 8 |- 0g Fn _V
3 funfvex 5571 . . . . . . . . 9 |- ( ( Fun 0g /\ G e. dom 0g ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
43funfni 5354 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g Fn _V /\ G e. _V ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
52, 4mpan 424 . . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( 0g ` G ) e. _V )
61, 5syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. V -> ( 0g ` G ) e. _V )
76ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ n = 0 ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
8 nnuz 9628 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9 1zzd 9344 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> 1 e. ZZ )
10 fvconst2g 5772 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) = x )
11 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> x e. B )
1210, 11eqeltrd 2270 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. B )
1312elexd 2773 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. _V )
1413adantll 476 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. _V )
15 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16 plusgslid 12730 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
1716slotex 12645 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
20 ovexg 5952 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
228, 9, 14, 21seqf 10535 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
2322adantrl 478 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
2423ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
25 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> n e. ZZ )
2625ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> n e. ZZ )
27 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> 0 < n )
28 elnnz 9327 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
2926, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> n e. NN )
3024, 29ffvelcdmd 5694 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) e. _V )
31 mulgfn.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
32 eqid 2193 . . . . . . . . . 10 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3331, 32grpinvfng 13116 . . . . . . . . 9 |- ( G e. V -> ( invg ` G ) Fn B )
34 basfn 12676 . . . . . . . . . . . 12 |- Base Fn _V
35 funfvex 5571 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3635funfni 5354 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3734, 36mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. _V -> ( Base ` G ) e. _V )
3831, 37eqeltrid 2280 . . . . . . . . . 10 |- ( G e. _V -> B e. _V )
391, 38syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( G e. V -> B e. _V )
40 fnex 5780 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( invg ` G ) Fn B /\ B e. _V ) -> ( invg ` G ) e. _V )
4133, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( G e. V -> ( invg ` G ) e. _V )
4241ad3antrrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( invg ` G ) e. _V )
4323ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
4425znegcld 9441 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> -u n e. ZZ )
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -u n e. ZZ )
46 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -. n = 0 )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -. 0 < n )
48 ztri3or0 9359 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
4925, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
5049ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
5146, 47, 50ecase23d 1361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> n < 0 )
5225zred 9439 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> n e. RR )
5352ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> n e. RR )
5453lt0neg1d 8534 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( n < 0 <-> 0 < -u n ) )
5551, 54mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> 0 < -u n )
56 elnnz 9327 . . . . . . . . 9 |- ( -u n e. NN <-> ( -u n e. ZZ /\ 0 < -u n ) )
5745, 55, 56sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -u n e. NN )
5843, 57ffvelcdmd 5694 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) e. _V )
59 fvexg 5573 . . . . . . 7 |- ( ( ( invg ` G ) e. _V /\ ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) e. _V ) -> ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) e. _V )
6042, 58, 59syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) e. _V )
61 0zd 9329 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> 0 e. ZZ )
62 simplrl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> n e. ZZ )
63 zdclt 9394 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> DECID 0 < n )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> DECID 0 < n )
6530, 60, 64ifcldadc 3586 . . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) e. _V )
66 0zd 9329 . . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> 0 e. ZZ )
67 zdceq 9392 . . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID n = 0 )
6825, 66, 67syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> DECID n = 0 )
697, 65, 68ifcldadc 3586 . . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V )
7069ralrimivva 2576 . . 3 |- ( G e. V -> A. n e. ZZ A. x e. B if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V )
71 eqid 2193 . . . 4 |- ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) = ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) )
7271fnmpo 6255 . . 3 |- ( A. n e. ZZ A. x e. B if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V -> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) )
7370, 72syl 14 . 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) )
74 eqid 2193 . . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
75 eqid 2193 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
76 mulgfn.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7731, 74, 75, 32, 76mulgfvalg 13191 . . 3 |- ( G e. V -> .x. = ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7877fneq1d 5344 . 2 |- ( G e. V -> ( .x. Fn ( ZZ X. B ) <-> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) ) )
7973, 78mpbird 167 1 |- ( G e. V -> .x. Fn ( ZZ X. B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   _Vcvv 2760   ifcif 3557   {csn 3618   class class class wbr 4029   X. cxp 4657   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   < clt 8054   -ucneg 8191   NNcn 8982   ZZcz 9317   seqcseq 10518   Basecbs 12618   +g cplusg 12695   0gc0g 12867   invgcminusg 13073  .gcmg 13189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-minusg 13076  df-mulg 13190
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