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Theorem mulgfng 12873
Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
mulgfn.t  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
mulgfng  |-  ( G  e.  V  ->  .x.  Fn  ( ZZ  X.  B
) )

Proof of Theorem mulgfng
Dummy variables  u  v  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2748 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  V  ->  G  e.  _V )
2 fn0g 12683 . . . . . . . 8  |-  0g  Fn  _V
3 funfvex 5528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  0g  /\  G  e.  dom  0g )  -> 
( 0g `  G
)  e.  _V )
43funfni 5312 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0g  Fn  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( 0g `  G
)  e.  _V )
52, 4mpan 424 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  _V  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
61, 5syl 14 . . . . . 6  |-  ( G  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
76ad2antrr 488 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  n  =  0 )  ->  ( 0g `  G )  e. 
_V )
8 nnuz 9549 . . . . . . . . . 10  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9 1zzd 9266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  1  e.  ZZ )
10 fvconst2g 5726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { x } ) `
 u )  =  x )
11 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  x  e.  B )
1210, 11eqeltrd 2254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { x } ) `
 u )  e.  B )
1312elexd 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  B  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { x } ) `
 u )  e. 
_V )
1413adantll 476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  u  e.  NN )  ->  ( ( NN  X.  { x } ) `  u
)  e.  _V )
15 simprl 529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e. 
_V ) )  ->  u  e.  _V )
16 plusgslid 12548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  = Slot  ( +g  `  ndx )  /\  ( +g  `  ndx )  e.  NN )
1716slotex 12469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e. 
_V )
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e. 
_V ) )  -> 
( +g  `  G )  e.  _V )
19 simprr 531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e. 
_V ) )  -> 
v  e.  _V )
20 ovexg 5903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( +g  `  G )  e.  _V  /\  v  e.  _V )  ->  (
u ( +g  `  G
) v )  e. 
_V )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B
)  /\  ( u  e.  _V  /\  v  e. 
_V ) )  -> 
( u ( +g  `  G ) v )  e.  _V )
228, 9, 14, 21seqf 10444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  V  /\  x  e.  B )  ->  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) : NN --> _V )
2322adantrl 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) : NN --> _V )
2423ad2antrr 488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  0  <  n )  ->  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) : NN --> _V )
25 simprl 529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  n  e.  ZZ )
2625ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  0  <  n )  ->  n  e.  ZZ )
27 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  0  <  n )  ->  0  <  n )
28 elnnz 9249 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  <->  ( n  e.  ZZ  /\  0  < 
n ) )
2926, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  0  <  n )  ->  n  e.  NN )
3024, 29ffvelcdmd 5648 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  0  <  n )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  n )  e.  _V )
31 mulgfn.b . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  G
)
32 eqid 2177 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
3331, 32grpinvfng 12804 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  V  ->  ( invg `  G )  Fn  B )
34 basfn 12499 . . . . . . . . . . . 12  |-  Base  Fn  _V
35 funfvex 5528 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  Base  /\  G  e. 
dom  Base )  ->  ( Base `  G )  e. 
_V )
3635funfni 5312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
Base  Fn  _V  /\  G  e.  _V )  ->  ( Base `  G )  e. 
_V )
3734, 36mpan 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  _V  ->  ( Base `  G )  e. 
_V )
3831, 37eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  _V  ->  B  e.  _V )
391, 38syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  V  ->  B  e.  _V )
40 fnex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( invg `  G )  Fn  B  /\  B  e.  _V )  ->  ( invg `  G )  e.  _V )
4133, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  _V )
4241ad3antrrr 492 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  ( invg `  G )  e.  _V )
4323ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) : NN --> _V )
4425znegcld 9363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  -u n  e.  ZZ )
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  -u n  e.  ZZ )
46 simplr 528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  -.  n  =  0 )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  -.  0  <  n )
48 ztri3or0 9281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  <  0  \/  n  =  0  \/  0  <  n ) )
4925, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  ( n  <  0  \/  n  =  0  \/  0  < 
n ) )
5049ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  (
n  <  0  \/  n  =  0  \/  0  <  n ) )
5146, 47, 50ecase23d 1350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  n  <  0 )
5225zred 9361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  n  e.  RR )
5352ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  n  e.  RR )
5453lt0neg1d 8459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  (
n  <  0  <->  0  <  -u n ) )
5551, 54mpbid 147 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  0  <  -u n )
56 elnnz 9249 . . . . . . . . 9  |-  ( -u n  e.  NN  <->  ( -u n  e.  ZZ  /\  0  <  -u n ) )
5745, 55, 56sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  -u n  e.  NN )
5843, 57ffvelcdmd 5648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n )  e.  _V )
59 fvexg 5530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( invg `  G )  e.  _V  /\  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  -u n
)  e.  _V )  ->  ( ( invg `  G ) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) )  e. 
_V )
6042, 58, 59syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0
)  /\  -.  0  <  n )  ->  (
( invg `  G ) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) )  e. 
_V )
61 0zd 9251 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0 )  -> 
0  e.  ZZ )
62 simplrl 535 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0 )  ->  n  e.  ZZ )
63 zdclt 9316 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  -> DECID  0  <  n )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0 )  -> DECID  0  <  n )
6530, 60, 64ifcldadc 3563 . . . . 5  |-  ( ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  /\  -.  n  =  0 )  ->  if ( 0  <  n ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) )  e.  _V )
66 0zd 9251 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  0  e.  ZZ )
67 zdceq 9314 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  n  =  0 )
6825, 66, 67syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  -> DECID  n  =  0
)
697, 65, 68ifcldadc 3563 . . . 4  |-  ( ( G  e.  V  /\  ( n  e.  ZZ  /\  x  e.  B ) )  ->  if (
n  =  0 ,  ( 0g `  G
) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) )  e.  _V )
7069ralrimivva 2559 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  A. n  e.  ZZ  A. x  e.  B  if ( n  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  n ) ,  ( ( invg `  G ) `
 (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  -u n
) ) ) )  e.  _V )
71 eqid 2177 . . . 4  |-  ( n  e.  ZZ ,  x  e.  B  |->  if ( n  =  0 ,  ( 0g `  G
) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) ) )  =  ( n  e.  ZZ ,  x  e.  B  |->  if ( n  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) ) )
7271fnmpo 6197 . . 3  |-  ( A. n  e.  ZZ  A. x  e.  B  if (
n  =  0 ,  ( 0g `  G
) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) )  e.  _V  ->  ( n  e.  ZZ ,  x  e.  B  |->  if ( n  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ  X.  B ) )
7370, 72syl 14 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  (
n  e.  ZZ ,  x  e.  B  |->  if ( n  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  n
) ,  ( ( invg `  G
) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) ) )  Fn  ( ZZ  X.  B ) )
74 eqid 2177 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
75 eqid 2177 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
76 mulgfn.t . . . 4  |-  .x.  =  (.g
`  G )
7731, 74, 75, 32, 76mulgfvalg 12871 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  .x.  =  ( n  e.  ZZ ,  x  e.  B  |->  if ( n  =  0 ,  ( 0g
`  G ) ,  if ( 0  < 
n ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  n ) ,  ( ( invg `  G ) `  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  -u n ) ) ) ) ) )
7877fneq1d 5302 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  (  .x.  Fn  ( ZZ  X.  B )  <->  ( n  e.  ZZ ,  x  e.  B  |->  if ( n  =  0 ,  ( 0g `  G ) ,  if ( 0  <  n ,  (  seq 1 ( ( +g  `  G ) ,  ( NN  X.  { x } ) ) `  n ) ,  ( ( invg `  G ) `
 (  seq 1
( ( +g  `  G
) ,  ( NN 
X.  { x }
) ) `  -u n
) ) ) ) )  Fn  ( ZZ 
X.  B ) ) )
7973, 78mpbird 167 1  |-  ( G  e.  V  ->  .x.  Fn  ( ZZ  X.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 834    \/ w3o 977    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   _Vcvv 2737   ifcif 3534   {csn 3591   class class class wbr 4000    X. cxp 4621    Fn wfn 5207   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869    e. cmpo 5871   RRcr 7798   0cc0 7799   1c1 7800    < clt 7979   -ucneg 8116   NNcn 8905   ZZcz 9239    seqcseq 10428   Basecbs 12442   +g cplusg 12515   0gc0g 12650   invgcminusg 12765  .gcmg 12869
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-addcom 7899  ax-addass 7901  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-ltadd 7915
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-inn 8906  df-2 8964  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-seqfrec 10429  df-ndx 12445  df-slot 12446  df-base 12448  df-plusg 12528  df-0g 12652  df-minusg 12768  df-mulg 12870
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