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Theorem mulgfng 13254
Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b |- B = ( Base ` G )
mulgfn.t |- .x. = (.g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgfng |- ( G e. V -> .x. Fn ( ZZ X. B ) )
Proof of Theorem mulgfng
Dummy variables u v n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2774 . . . . . . 7 |- ( G e. V -> G e. _V )
2 fn0g 13018 . . . . . . . 8 |- 0g Fn _V
3 funfvex 5575 . . . . . . . . 9 |- ( ( Fun 0g /\ G e. dom 0g ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
43funfni 5358 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g Fn _V /\ G e. _V ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
52, 4mpan 424 . . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( 0g ` G ) e. _V )
61, 5syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. V -> ( 0g ` G ) e. _V )
76ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ n = 0 ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
8 nnuz 9637 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9 1zzd 9353 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> 1 e. ZZ )
10 fvconst2g 5776 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) = x )
11 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> x e. B )
1210, 11eqeltrd 2273 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. B )
1312elexd 2776 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. _V )
1413adantll 476 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. _V )
15 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16 plusgslid 12790 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
1716slotex 12705 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
20 ovexg 5956 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1249 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
228, 9, 14, 21seqf 10556 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
2322adantrl 478 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
2423ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
25 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> n e. ZZ )
2625ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> n e. ZZ )
27 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> 0 < n )
28 elnnz 9336 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
2926, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> n e. NN )
3024, 29ffvelcdmd 5698 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) e. _V )
31 mulgfn.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
32 eqid 2196 . . . . . . . . . 10 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3331, 32grpinvfng 13176 . . . . . . . . 9 |- ( G e. V -> ( invg ` G ) Fn B )
34 basfn 12736 . . . . . . . . . . . 12 |- Base Fn _V
35 funfvex 5575 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3635funfni 5358 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3734, 36mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. _V -> ( Base ` G ) e. _V )
3831, 37eqeltrid 2283 . . . . . . . . . 10 |- ( G e. _V -> B e. _V )
391, 38syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( G e. V -> B e. _V )
40 fnex 5784 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( invg ` G ) Fn B /\ B e. _V ) -> ( invg ` G ) e. _V )
4133, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( G e. V -> ( invg ` G ) e. _V )
4241ad3antrrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( invg ` G ) e. _V )
4323ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
4425znegcld 9450 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> -u n e. ZZ )
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -u n e. ZZ )
46 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -. n = 0 )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -. 0 < n )
48 ztri3or0 9368 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
4925, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
5049ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
5146, 47, 50ecase23d 1361 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> n < 0 )
5225zred 9448 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> n e. RR )
5352ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> n e. RR )
5453lt0neg1d 8542 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( n < 0 <-> 0 < -u n ) )
5551, 54mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> 0 < -u n )
56 elnnz 9336 . . . . . . . . 9 |- ( -u n e. NN <-> ( -u n e. ZZ /\ 0 < -u n ) )
5745, 55, 56sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -u n e. NN )
5843, 57ffvelcdmd 5698 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) e. _V )
59 fvexg 5577 . . . . . . 7 |- ( ( ( invg ` G ) e. _V /\ ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) e. _V ) -> ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) e. _V )
6042, 58, 59syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) e. _V )
61 0zd 9338 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> 0 e. ZZ )
62 simplrl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> n e. ZZ )
63 zdclt 9403 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> DECID 0 < n )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> DECID 0 < n )
6530, 60, 64ifcldadc 3590 . . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) e. _V )
66 0zd 9338 . . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> 0 e. ZZ )
67 zdceq 9401 . . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID n = 0 )
6825, 66, 67syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> DECID n = 0 )
697, 65, 68ifcldadc 3590 . . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V )
7069ralrimivva 2579 . . 3 |- ( G e. V -> A. n e. ZZ A. x e. B if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V )
71 eqid 2196 . . . 4 |- ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) = ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) )
7271fnmpo 6260 . . 3 |- ( A. n e. ZZ A. x e. B if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V -> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) )
7370, 72syl 14 . 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) )
74 eqid 2196 . . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
75 eqid 2196 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
76 mulgfn.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7731, 74, 75, 32, 76mulgfvalg 13251 . . 3 |- ( G e. V -> .x. = ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7877fneq1d 5348 . 2 |- ( G e. V -> ( .x. Fn ( ZZ X. B ) <-> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) ) )
7973, 78mpbird 167 1 |- ( G e. V -> .x. Fn ( ZZ X. B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   _Vcvv 2763   ifcif 3561   {csn 3622   class class class wbr 4033   X. cxp 4661   Fn wfn 5253   -->wf 5254   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   e. cmpo 5924   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   < clt 8061   -ucneg 8198   NNcn 8990   ZZcz 9326   seqcseq 10539   Basecbs 12678   +g cplusg 12755   0gc0g 12927   invgcminusg 13133  .gcmg 13249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-plusg 12768  df-0g 12929  df-minusg 13136  df-mulg 13250
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