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Theorem mulgfng 13460
Description: Functionality of the group multiple operation. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgfn.b |- B = ( Base ` G )
mulgfn.t |- .x. = (.g ` G )
Assertion
Ref Expression
mulgfng |- ( G e. V -> .x. Fn ( ZZ X. B ) )
Proof of Theorem mulgfng
Dummy variables u v n x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2783 . . . . . . 7 |- ( G e. V -> G e. _V )
2 fn0g 13207 . . . . . . . 8 |- 0g Fn _V
3 funfvex 5593 . . . . . . . . 9 |- ( ( Fun 0g /\ G e. dom 0g ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
43funfni 5376 . . . . . . . 8 |- ( ( 0g Fn _V /\ G e. _V ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
52, 4mpan 424 . . . . . . 7 |- ( G e. _V -> ( 0g ` G ) e. _V )
61, 5syl 14 . . . . . 6 |- ( G e. V -> ( 0g ` G ) e. _V )
76ad2antrr 488 . . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ n = 0 ) -> ( 0g ` G ) e. _V )
8 nnuz 9684 . . . . . . . . . 10 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9 1zzd 9399 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> 1 e. ZZ )
10 fvconst2g 5798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) = x )
11 simpl 109 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> x e. B )
1210, 11eqeltrd 2282 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. B )
1312elexd 2785 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. B /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. _V )
1413adantll 476 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ u e. NN ) -> ( ( NN X. { x } ) ` u ) e. _V )
15 simprl 529 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> u e. _V )
16 plusgslid 12944 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( +g = Slot ( +g ` ndx ) /\ ( +g ` ndx ) e. NN )
1716slotex 12859 . . . . . . . . . . . 12 |- ( G e. V -> ( +g ` G ) e. _V )
1817ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( +g ` G ) e. _V )
19 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> v e. _V )
20 ovexg 5978 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. _V /\ ( +g ` G ) e. _V /\ v e. _V ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
2115, 18, 19, 20syl3anc 1250 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( G e. V /\ x e. B ) /\ ( u e. _V /\ v e. _V ) ) -> ( u ( +g ` G ) v ) e. _V )
228, 9, 14, 21seqf 10609 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ x e. B ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
2322adantrl 478 . . . . . . . 8 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
2423ad2antrr 488 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
25 simprl 529 . . . . . . . . 9 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> n e. ZZ )
2625ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> n e. ZZ )
27 simpr 110 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> 0 < n )
28 elnnz 9382 . . . . . . . 8 |- ( n e. NN <-> ( n e. ZZ /\ 0 < n ) )
2926, 27, 28sylanbrc 417 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> n e. NN )
3024, 29ffvelcdmd 5716 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ 0 < n ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) e. _V )
31 mulgfn.b . . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` G )
32 eqid 2205 . . . . . . . . . 10 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
3331, 32grpinvfng 13376 . . . . . . . . 9 |- ( G e. V -> ( invg ` G ) Fn B )
34 basfn 12890 . . . . . . . . . . . 12 |- Base Fn _V
35 funfvex 5593 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun Base /\ G e. dom Base ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3635funfni 5376 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Base Fn _V /\ G e. _V ) -> ( Base ` G ) e. _V )
3734, 36mpan 424 . . . . . . . . . . 11 |- ( G e. _V -> ( Base ` G ) e. _V )
3831, 37eqeltrid 2292 . . . . . . . . . 10 |- ( G e. _V -> B e. _V )
391, 38syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( G e. V -> B e. _V )
40 fnex 5806 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( invg ` G ) Fn B /\ B e. _V ) -> ( invg ` G ) e. _V )
4133, 39, 40syl2anc 411 . . . . . . . 8 |- ( G e. V -> ( invg ` G ) e. _V )
4241ad3antrrr 492 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( invg ` G ) e. _V )
4323ad2antrr 488 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) : NN --> _V )
4425znegcld 9497 . . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> -u n e. ZZ )
4544ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -u n e. ZZ )
46 simplr 528 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -. n = 0 )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -. 0 < n )
48 ztri3or0 9414 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
4925, 48syl 14 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
5049ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( n < 0 \/ n = 0 \/ 0 < n ) )
5146, 47, 50ecase23d 1363 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> n < 0 )
5225zred 9495 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> n e. RR )
5352ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> n e. RR )
5453lt0neg1d 8588 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( n < 0 <-> 0 < -u n ) )
5551, 54mpbid 147 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> 0 < -u n )
56 elnnz 9382 . . . . . . . . 9 |- ( -u n e. NN <-> ( -u n e. ZZ /\ 0 < -u n ) )
5745, 55, 56sylanbrc 417 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> -u n e. NN )
5843, 57ffvelcdmd 5716 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) e. _V )
59 fvexg 5595 . . . . . . 7 |- ( ( ( invg ` G ) e. _V /\ ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) e. _V ) -> ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) e. _V )
6042, 58, 59syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) /\ -. 0 < n ) -> ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) e. _V )
61 0zd 9384 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> 0 e. ZZ )
62 simplrl 535 . . . . . . 7 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> n e. ZZ )
63 zdclt 9450 . . . . . . 7 |- ( ( 0 e. ZZ /\ n e. ZZ ) -> DECID 0 < n )
6461, 62, 63syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> DECID 0 < n )
6530, 60, 64ifcldadc 3600 . . . . 5 |- ( ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) /\ -. n = 0 ) -> if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) e. _V )
66 0zd 9384 . . . . . 6 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> 0 e. ZZ )
67 zdceq 9448 . . . . . 6 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> DECID n = 0 )
6825, 66, 67syl2anc 411 . . . . 5 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> DECID n = 0 )
697, 65, 68ifcldadc 3600 . . . 4 |- ( ( G e. V /\ ( n e. ZZ /\ x e. B ) ) -> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V )
7069ralrimivva 2588 . . 3 |- ( G e. V -> A. n e. ZZ A. x e. B if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V )
71 eqid 2205 . . . 4 |- ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) = ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) )
7271fnmpo 6288 . . 3 |- ( A. n e. ZZ A. x e. B if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) e. _V -> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) )
7370, 72syl 14 . 2 |- ( G e. V -> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) )
74 eqid 2205 . . . 4 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
75 eqid 2205 . . . 4 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
76 mulgfn.t . . . 4 |- .x. = (.g ` G )
7731, 74, 75, 32, 76mulgfvalg 13457 . . 3 |- ( G e. V -> .x. = ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) )
7877fneq1d 5364 . 2 |- ( G e. V -> ( .x. Fn ( ZZ X. B ) <-> ( n e. ZZ , x e. B |-> if ( n = 0 , ( 0g ` G ) , if ( 0 < n , ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` n ) , ( ( invg ` G ) ` ( seq 1 ( ( +g ` G ) , ( NN X. { x } ) ) ` -u n ) ) ) ) ) Fn ( ZZ X. B ) ) )
7973, 78mpbird 167 1 |- ( G e. V -> .x. Fn ( ZZ X. B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 836   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   _Vcvv 2772   ifcif 3571   {csn 3633   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   < clt 8107   -ucneg 8244   NNcn 9036   ZZcz 9372   seqcseq 10592   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   0gc0g 13088   invgcminusg 13333  .gcmg 13455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-seqfrec 10593  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-minusg 13336  df-mulg 13456
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