Theorem fzrevral2 9917

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral2	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ph <-> A. k e. ( M ... N ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzrevral2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubcl 9119	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K - N ) e. ZZ )
2	1	3adant2 1001	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K - N ) e. ZZ )
3		zsubcl 9119	. . . . 5 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
4	3	3adant3 1002	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( K - M ) e. ZZ )
5		simp1 982	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> K e. ZZ )
6		fzrevral 9916	. . . 4 |- ( ( ( K - N ) e. ZZ /\ ( K - M ) e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ph <-> A. k e. ( ( K - ( K - M ) ) ... ( K - ( K - N ) ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
7	2, 4, 5, 6	syl3anc 1217	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ph <-> A. k e. ( ( K - ( K - M ) ) ... ( K - ( K - N ) ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
8		zcn 9083	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
9		zcn 9083	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
10		zcn 9083	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
11		nncan 8015	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC ) -> ( K - ( K - M ) ) = M )
12	11	3adant3 1002	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( K - M ) ) = M )
13		nncan 8015	. . . . . . 7 |- ( ( K e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( K - N ) ) = N )
14	13	3adant2 1001	. . . . . 6 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( K - ( K - N ) ) = N )
15	12, 14	oveq12d 5800	. . . . 5 |- ( ( K e. CC /\ M e. CC /\ N e. CC ) -> ( ( K - ( K - M ) ) ... ( K - ( K - N ) ) ) = ( M ... N ) )
16	8, 9, 10, 15	syl3an 1259	. . . 4 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( K - ( K - M ) ) ... ( K - ( K - N ) ) ) = ( M ... N ) )
17	16	raleqdv 2635	. . 3 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - ( K - M ) ) ... ( K - ( K - N ) ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph <-> A. k e. ( M ... N ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
18	7, 17	bitrd 187	. 2 |- ( ( K e. ZZ /\ M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( A. j e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ph <-> A. k e. ( M ... N ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
19	18	3coml 1189	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ph <-> A. k e. ( M ... N ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   [.wsbc 2913  (class class class)co 5782   CCcc 7642   - cmin 7957   ZZcz 9078   ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by: (None)