Theorem fzrevral 10091

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
2		elfzelz 10011	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> k e. ZZ )
3		fzrev 10070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
4	3	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( K - k ) e. ( M ... N ) )
7		rspsbc 3045	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ( M ... N ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
10	9	3impa 1194	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
11	10	com23 78	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
12	11	ralrimdv 2556	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
13		nfv 1528	. . . 4 |- F/ j K e. ZZ
14		nfcv 2319	. . . . 5 |- F/_ j ( ( K - N ) ... ( K - M ) )
15		nfsbc1v 2981	. . . . 5 |- F/ j [. ( K - k ) / j ]. ph
16	14, 15	nfralxy 2515	. . . 4 |- F/ j A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph
17		fzrev2i 10072	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
18		oveq2 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K - j ) -> ( K - k ) = ( K - ( K - j ) ) )
19	18	sbceq1d 2967	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K - j ) -> ( [. ( K - k ) / j ]. ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
20	19	rspcv 2837	. . . . . . . 8 |- ( ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
22		zcn 9247	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
23		elfzelz 10011	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
24	23	zcnd 9365	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. CC )
25		nncan 8176	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ j e. CC ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
27	26	eqcomd 2183	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> j = ( K - ( K - j ) ) )
28		sbceq1a 2972	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - ( K - j ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
30	21, 29	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) )
31	30	ex 115	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( j e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) ) )
32	31	com23 78	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ( j e. ( M ... N ) -> ph ) ) )
33	13, 16, 32	ralrimd 2555	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
34	33	3ad2ant3 1020	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
35	12, 34	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   [.wsbc 2962  (class class class)co 5869   CCcc 7800   - cmin 8118   ZZcz 9242   ...cfz 9995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996

This theorem is referenced by:  fzrevral2  10092  fzrevral3  10093  fzshftral  10094