Theorem fzrevral 10439

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
2		elfzelz 10359	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> k e. ZZ )
3		fzrev 10418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
4	3	anassrs 400	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( K - k ) e. ( M ... N ) )
7		rspsbc 3126	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ( M ... N ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
10	9	3impa 1221	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
11	10	com23 78	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
12	11	ralrimdv 2621	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
13		nfv 1577	. . . 4 |- F/ j K e. ZZ
14		nfcv 2384	. . . . 5 |- F/_ j ( ( K - N ) ... ( K - M ) )
15		nfsbc1v 3061	. . . . 5 |- F/ j [. ( K - k ) / j ]. ph
16	14, 15	nfralxy 2580	. . . 4 |- F/ j A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph
17		fzrev2i 10420	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
18		oveq2 6058	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K - j ) -> ( K - k ) = ( K - ( K - j ) ) )
19	18	sbceq1d 3047	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K - j ) -> ( [. ( K - k ) / j ]. ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
20	19	rspcv 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
22		zcn 9582	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
23		elfzelz 10359	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
24	23	zcnd 9701	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. CC )
25		nncan 8502	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ j e. CC ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
27	26	eqcomd 2238	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> j = ( K - ( K - j ) ) )
28		sbceq1a 3052	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - ( K - j ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
30	21, 29	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) )
31	30	ex 115	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( j e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) ) )
32	31	com23 78	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ( j e. ( M ... N ) -> ph ) ) )
33	13, 16, 32	ralrimd 2620	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
34	33	3ad2ant3 1047	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
35	12, 34	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   [.wsbc 3042  (class class class)co 6050   CCcc 8125   - cmin 8444   ZZcz 9577   ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by:  fzrevral2  10440  fzrevral3  10441  fzshftral  10442