Theorem fzrevral 10490

Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Distinct variable groups:   j, k, K   j, M, k   j, N, k   ph, k

Allowed substitution hint:   ph( j)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
2		elfzelz 10407	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> k e. ZZ )
3		fzrev 10469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ ( K e. ZZ /\ k e. ZZ ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
4	3	anassrs 404	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
5	2, 4	sylan2 286	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) <-> ( K - k ) e. ( M ... N ) ) )
6	1, 5	mpbid 147	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( K - k ) e. ( M ... N ) )
7		rspsbc 3135	. . . . . . 7 |- ( ( K - k ) e. ( M ... N ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) /\ k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
10	9	3impa 1225	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
11	10	com23 78	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> ( k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> [. ( K - k ) / j ]. ph ) ) )
12	11	ralrimdv 2629	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph -> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )
13		nfv 1581	. . . 4 |- F/ j K e. ZZ
14		nfcv 2392	. . . . 5 |- F/_ j ( ( K - N ) ... ( K - M ) )
15		nfsbc1v 3070	. . . . 5 |- F/ j [. ( K - k ) / j ]. ph
16	14, 15	nfralxy 2588	. . . 4 |- F/ j A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph
17		fzrev2i 10471	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) )
18		oveq2 6083	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( K - j ) -> ( K - k ) = ( K - ( K - j ) ) )
19	18	sbceq1d 3056	. . . . . . . . 9 |- ( k = ( K - j ) -> ( [. ( K - k ) / j ]. ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
20	19	rspcv 2925	. . . . . . . 8 |- ( ( K - j ) e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
21	17, 20	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
22		zcn 9628	. . . . . . . . . 10 |- ( K e. ZZ -> K e. CC )
23		elfzelz 10407	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. ZZ )
24	23	zcnd 9748	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. ( M ... N ) -> j e. CC )
25		nncan 8545	. . . . . . . . . 10 |- ( ( K e. CC /\ j e. CC ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . . . . 9 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( K - ( K - j ) ) = j )
27	26	eqcomd 2244	. . . . . . . 8 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> j = ( K - ( K - j ) ) )
28		sbceq1a 3061	. . . . . . . 8 |- ( j = ( K - ( K - j ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
29	27, 28	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( ph <-> [. ( K - ( K - j ) ) / j ]. ph ) )
30	21, 29	sylibrd 169	. . . . . 6 |- ( ( K e. ZZ /\ j e. ( M ... N ) ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) )
31	30	ex 115	. . . . 5 |- ( K e. ZZ -> ( j e. ( M ... N ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ph ) ) )
32	31	com23 78	. . . 4 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> ( j e. ( M ... N ) -> ph ) ) )
33	13, 16, 32	ralrimd 2628	. . 3 |- ( K e. ZZ -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
34	33	3ad2ant3 1051	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph -> A. j e. ( M ... N ) ph ) )
35	12, 34	impbid 129	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ /\ K e. ZZ ) -> ( A. j e. ( M ... N ) ph <-> A. k e. ( ( K - N ) ... ( K - M ) ) [. ( K - k ) / j ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   [.wsbc 3051  (class class class)co 6075   CCcc 8167   - cmin 8487   ZZcz 9623   ...cfz 10390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391

This theorem is referenced by:  fzrevral2  10491  fzrevral3  10492  fzshftral  10493