ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzrevral2 GIF version

Theorem fzrevral2 9893
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral2
StepHypRef Expression
1 zsubcl 9102 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
213adant2 1000 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑁) ∈ ℤ)
3 zsubcl 9102 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
433adant3 1001 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾𝑀) ∈ ℤ)
5 simp1 981 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 fzrevral 9892 . . . 4 (((𝐾𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐾𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
72, 4, 5, 6syl3anc 1216 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
8 zcn 9066 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
9 zcn 9066 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
10 zcn 9066 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
11 nncan 7998 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑀)) = 𝑀)
12113adant3 1001 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑀)) = 𝑀)
13 nncan 7998 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑁)) = 𝑁)
14133adant2 1000 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑁)) = 𝑁)
1512, 14oveq12d 5792 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁))) = (𝑀...𝑁))
168, 9, 10, 15syl3an 1258 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁))) = (𝑀...𝑁))
1716raleqdv 2632 . . 3 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − (𝐾𝑀))...(𝐾 − (𝐾𝑁)))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
187, 17bitrd 187 . 2 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
19183coml 1188 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  [wsbc 2909  (class class class)co 5774  cc 7625  cmin 7940  cz 9061  ...cfz 9797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator