Theorem grplcan 12956

Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grplcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5896	. . . . . 6 |- ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
3		grplcan.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` G )
4		grplcan.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
5		eqid 2187	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6		eqid 2187	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grplinv 12944	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
8	7	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
9	8	oveq1d 5903	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
10	3, 6	grpinvcl 12942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
11	10	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
12		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
13		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
14	11, 12, 13	3jca 1178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) )
15	3, 4	grpass 12905	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
16	14, 15	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
17	16	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
18	3, 4, 5	grplid 12925	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2228	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
21	20	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
23	7	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq1d 5903	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( 0g ` G ) .+ Y ) )
25	10	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
26		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
27		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
28	25, 26, 27	3jca 1178	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) )
29	3, 4	grpass 12905	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
30	28, 29	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
31	3, 4, 5	grplid 12925	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
32	31	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
33	24, 30, 32	3eqtr3d 2228	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
34	33	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
35	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
36	2, 22, 35	3eqtr3d 2228	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> X = Y )
37	36	exp53 377	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( Z e. B -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
38	37	3imp2 1223	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) )
39		oveq2 5896	. 2 |- ( X = Y -> ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) )
40	38, 39	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   0gc0g 12722   Grpcgrp 12896   invgcminusg 12897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-inn 8933  df-2 8991  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-plusg 12563  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900

This theorem is referenced by:  grpidrcan  12959  grpinvinv  12961  grplmulf1o  12968  grplactcnv  12996  rnglz  13187  ringcom  13268  ringlz  13280  lmodlcan  13457  lmodfopne  13479