Theorem grplcan 12926

Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grplcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5882	. . . . . 6 |- ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
3		grplcan.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` G )
4		grplcan.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
5		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grplinv 12916	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
8	7	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
9	8	oveq1d 5889	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
10	3, 6	grpinvcl 12915	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
11	10	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
12		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
13		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
14	11, 12, 13	3jca 1177	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) )
15	3, 4	grpass 12880	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
16	14, 15	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
17	16	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
18	3, 4, 5	grplid 12900	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2218	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
21	20	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
23	7	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq1d 5889	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( 0g ` G ) .+ Y ) )
25	10	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
26		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
27		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
28	25, 26, 27	3jca 1177	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) )
29	3, 4	grpass 12880	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
30	28, 29	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
31	3, 4, 5	grplid 12900	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
32	31	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
33	24, 30, 32	3eqtr3d 2218	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
34	33	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
35	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
36	2, 22, 35	3eqtr3d 2218	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> X = Y )
37	36	exp53 377	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( Z e. B -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
38	37	3imp2 1222	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) )
39		oveq2 5882	. 2 |- ( X = Y -> ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) )
40	38, 39	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   +g cplusg 12530   0gc0g 12699   Grpcgrp 12871   invgcminusg 12872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-plusg 12543  df-0g 12701  df-mgm 12769  df-sgrp 12802  df-mnd 12812  df-grp 12874  df-minusg 12875

This theorem is referenced by:  grpidrcan  12929  grpinvinv  12931  grplmulf1o  12938  grplactcnv  12966  ringcom  13207  ringlz  13215