Theorem grplcan 13137

Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grplcan.b	|- B = ( Base ` G )
grplcan.p	|- .+ = ( +g ` G )

Assertion

Ref	Expression
grplcan	|- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Proof of Theorem grplcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
2	1	adantl 277	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
3		grplcan.b	. . . . . . . . . . 11 |- B = ( Base ` G )
4		grplcan.p	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
5		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
6		eqid 2193	. . . . . . . . . . 11 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
7	3, 4, 5, 6	grplinv 13125	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
8	7	adantlr 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
9	8	oveq1d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( 0g ` G ) .+ X ) )
10	3, 6	grpinvcl 13123	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ Z e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
11	10	adantrl 478	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
12		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
13		simprl 529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> X e. B )
14	11, 12, 13	3jca 1179	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) )
15	3, 4	grpass 13084	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
16	14, 15	syldan 282	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
17	16	anassrs 400	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ X ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) )
18	3, 4, 5	grplid 13106	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
19	18	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ X ) = X )
20	9, 17, 19	3eqtr3d 2234	. . . . . . 7 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ Z e. B ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
21	20	adantrl 478	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
22	21	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ X ) ) = X )
23	7	adantrl 478	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) = ( 0g ` G ) )
24	23	oveq1d 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( 0g ` G ) .+ Y ) )
25	10	adantrl 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B )
26		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Z e. B )
27		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> Y e. B )
28	25, 26, 27	3jca 1179	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) )
29	3, 4	grpass 13084	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` Z ) e. B /\ Z e. B /\ Y e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
30	28, 29	syldan 282	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ Z ) .+ Y ) = ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) )
31	3, 4, 5	grplid 13106	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ Y e. B ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
32	31	adantrr 479	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( 0g ` G ) .+ Y ) = Y )
33	24, 30, 32	3eqtr3d 2234	. . . . . . 7 |- ( ( G e. Grp /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
34	33	adantlr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
35	34	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` Z ) .+ ( Z .+ Y ) ) = Y )
36	2, 22, 35	3eqtr3d 2234	. . . 4 |- ( ( ( ( G e. Grp /\ X e. B ) /\ ( Y e. B /\ Z e. B ) ) /\ ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) ) -> X = Y )
37	36	exp53 377	. . 3 |- ( G e. Grp -> ( X e. B -> ( Y e. B -> ( Z e. B -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) ) ) ) )
38	37	3imp2 1224	. 2 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) -> X = Y ) )
39		oveq2 5927	. 2 |- ( X = Y -> ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) )
40	38, 39	impbid1 142	1 |- ( ( G e. Grp /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) ) -> ( ( Z .+ X ) = ( Z .+ Y ) <-> X = Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   Basecbs 12621   +g cplusg 12698   0gc0g 12870   Grpcgrp 13075   invgcminusg 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-inn 8985  df-2 9043  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-0g 12872  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-grp 13078  df-minusg 13079

This theorem is referenced by:  grpidrcan  13140  grpinvinv  13142  grplmulf1o  13149  grplactcnv  13177  conjghm  13349  conjnmzb  13353  rnglz  13444  ringcom  13530  ringlz  13542  lmodlcan  13803  lmodfopne  13825