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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > grplcan | Unicode version |
Description: Left cancellation law for groups. (Contributed by NM, 25-Aug-2011.) |
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grplcan.b |
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grplcan.p |
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grplcan |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5899 |
. . . . . 6
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2 | 1 | adantl 277 |
. . . . 5
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3 | grplcan.b |
. . . . . . . . . . 11
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4 | grplcan.p |
. . . . . . . . . . 11
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5 | eqid 2189 |
. . . . . . . . . . 11
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6 | eqid 2189 |
. . . . . . . . . . 11
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7 | 3, 4, 5, 6 | grplinv 12960 |
. . . . . . . . . 10
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8 | 7 | adantlr 477 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | oveq1d 5906 |
. . . . . . . 8
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10 | 3, 6 | grpinvcl 12958 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 10 | adantrl 478 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | simprr 531 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | simprl 529 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 11, 12, 13 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 3, 4 | grpass 12920 |
. . . . . . . . . 10
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16 | 14, 15 | syldan 282 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | anassrs 400 |
. . . . . . . 8
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18 | 3, 4, 5 | grplid 12941 |
. . . . . . . . 9
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19 | 18 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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20 | 9, 17, 19 | 3eqtr3d 2230 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | adantrl 478 |
. . . . . 6
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22 | 21 | adantr 276 |
. . . . 5
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23 | 7 | adantrl 478 |
. . . . . . . . 9
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24 | 23 | oveq1d 5906 |
. . . . . . . 8
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25 | 10 | adantrl 478 |
. . . . . . . . . 10
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26 | simprr 531 |
. . . . . . . . . 10
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27 | simprl 529 |
. . . . . . . . . 10
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28 | 25, 26, 27 | 3jca 1179 |
. . . . . . . . 9
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29 | 3, 4 | grpass 12920 |
. . . . . . . . 9
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30 | 28, 29 | syldan 282 |
. . . . . . . 8
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31 | 3, 4, 5 | grplid 12941 |
. . . . . . . . 9
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32 | 31 | adantrr 479 |
. . . . . . . 8
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33 | 24, 30, 32 | 3eqtr3d 2230 |
. . . . . . 7
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34 | 33 | adantlr 477 |
. . . . . 6
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35 | 34 | adantr 276 |
. . . . 5
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36 | 2, 22, 35 | 3eqtr3d 2230 |
. . . 4
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37 | 36 | exp53 377 |
. . 3
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38 | 37 | 3imp2 1224 |
. 2
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39 | oveq2 5899 |
. 2
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40 | 38, 39 | impbid1 142 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-io 710 ax-5 1458 ax-7 1459 ax-gen 1460 ax-ie1 1504 ax-ie2 1505 ax-8 1515 ax-10 1516 ax-11 1517 ax-i12 1518 ax-bndl 1520 ax-4 1521 ax-17 1537 ax-i9 1541 ax-ial 1545 ax-i5r 1546 ax-13 2162 ax-14 2163 ax-ext 2171 ax-coll 4133 ax-sep 4136 ax-pow 4189 ax-pr 4224 ax-un 4448 ax-cnex 7920 ax-resscn 7921 ax-1re 7923 ax-addrcl 7926 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3an 982 df-tru 1367 df-nf 1472 df-sb 1774 df-eu 2041 df-mo 2042 df-clab 2176 df-cleq 2182 df-clel 2185 df-nfc 2321 df-ral 2473 df-rex 2474 df-reu 2475 df-rmo 2476 df-rab 2477 df-v 2754 df-sbc 2978 df-csb 3073 df-un 3148 df-in 3150 df-ss 3157 df-pw 3592 df-sn 3613 df-pr 3614 df-op 3616 df-uni 3825 df-int 3860 df-iun 3903 df-br 4019 df-opab 4080 df-mpt 4081 df-id 4308 df-xp 4647 df-rel 4648 df-cnv 4649 df-co 4650 df-dm 4651 df-rn 4652 df-res 4653 df-ima 4654 df-iota 5193 df-fun 5233 df-fn 5234 df-f 5235 df-f1 5236 df-fo 5237 df-f1o 5238 df-fv 5239 df-riota 5847 df-ov 5894 df-inn 8938 df-2 8996 df-ndx 12483 df-slot 12484 df-base 12486 df-plusg 12568 df-0g 12729 df-mgm 12798 df-sgrp 12831 df-mnd 12844 df-grp 12914 df-minusg 12915 |
This theorem is referenced by: grpidrcan 12975 grpinvinv 12977 grplmulf1o 12984 grplactcnv 13012 conjghm 13176 conjnmzb 13180 rnglz 13260 ringcom 13346 ringlz 13358 lmodlcan 13581 lmodfopne 13603 |
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