Theorem dsndxnplusgndx 13624

Description: The slot for the distance function is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxnplusgndx	|- ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Proof of Theorem dsndxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9376	. . 3 |- 2 e. RR
2		1nn 9317	. . . 4 |- 1 e. NN
3		2nn0 9584	. . . 4 |- 2 e. NN0
4		2lt10 9923	. . . 4 |- 2 < ; 1 0
5	2, 3, 3, 4	declti 9823	. . 3 |- 2 < ; 1 2
6	1, 5	gtneii 8422	. 2 |- ; 1 2 =/= 2
7		dsndx 13618	. . 3 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
8		plusgndx 13512	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
9	7, 8	neeq12i 2437	. 2 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 2 )
10	6, 9	mpbir 146	1 |- ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

This proof depends on syntax axioms:   =/= wne 2420   ` cfv 5377   1c1 8180   2c2 9357  ;cdc 9781   ndxcnx 13398   +g cplusg 13480   distcds 13489

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-dec 9782  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-plusg 13493  df-ds 13502

This theorem is used by:  mgpdsg  14278