Theorem dsndxnplusgndx 13138

Description: The slot for the distance function is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxnplusgndx	|- ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Proof of Theorem dsndxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9136	. . 3 |- 2 e. RR
2		1nn 9077	. . . 4 |- 1 e. NN
3		2nn0 9342	. . . 4 |- 2 e. NN0
4		2lt10 9671	. . . 4 |- 2 < ; 1 0
5	2, 3, 3, 4	declti 9571	. . 3 |- 2 < ; 1 2
6	1, 5	gtneii 8198	. 2 |- ; 1 2 =/= 2
7		dsndx 13132	. . 3 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
8		plusgndx 13026	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
9	7, 8	neeq12i 2394	. 2 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 2 )
10	6, 9	mpbir 146	1 |- ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2377   ` cfv 5285   1c1 7956   2c2 9117  ;cdc 9534   ndxcnx 12914   +g cplusg 12994   distcds 13003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-z 9403  df-dec 9535  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-plusg 13007  df-ds 13016

This theorem is referenced by:  mgpdsg  13777