Theorem dsndxnplusgndx 12971

Description: The slot for the distance function is not the slot for the group operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 18-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxnplusgndx	|- ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Proof of Theorem dsndxnplusgndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9088	. . 3 |- 2 e. RR
2		1nn 9029	. . . 4 |- 1 e. NN
3		2nn0 9294	. . . 4 |- 2 e. NN0
4		2lt10 9623	. . . 4 |- 2 < ; 1 0
5	2, 3, 3, 4	declti 9523	. . 3 |- 2 < ; 1 2
6	1, 5	gtneii 8150	. 2 |- ; 1 2 =/= 2
7		dsndx 12965	. . 3 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
8		plusgndx 12860	. . 3 |- ( +g ` ndx ) = 2
9	7, 8	neeq12i 2392	. 2 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 2 )
10	6, 9	mpbir 146	1 |- ( dist ` ndx ) =/= ( +g ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2375   ` cfv 5268   1c1 7908   2c2 9069  ;cdc 9486   ndxcnx 12748   +g cplusg 12828   distcds 12837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-z 9355  df-dec 9487  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-plusg 12841  df-ds 12850

This theorem is referenced by:  mgpdsg  13610