Theorem slotsdnscsi 13170

Description: The slots Scalar, .s and .i are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	|- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9150	. . . 4 |- 5 e. RR
2		1nn 9082	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9347	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		5nn0 9350	. . . . 5 |- 5 e. NN0
5		5lt10 9673	. . . . 5 |- 5 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9576	. . . 4 |- 5 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8203	. . 3 |- ; 1 2 =/= 5
8		dsndx 13162	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		scandx 13098	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
10	8, 9	neeq12i 2395	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
12		6re 9152	. . . 4 |- 6 e. RR
13		6nn0 9351	. . . . 5 |- 6 e. NN0
14		6lt10 9672	. . . . 5 |- 6 < ; 1 0
15	2, 3, 13, 14	declti 9576	. . . 4 |- 6 < ; 1 2
16	12, 15	gtneii 8203	. . 3 |- ; 1 2 =/= 6
17		vscandx 13104	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	8, 17	neeq12i 2395	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
19	16, 18	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
20		8re 9156	. . . 4 |- 8 e. RR
21		8nn0 9353	. . . . 5 |- 8 e. NN0
22		8lt10 9670	. . . . 5 |- 8 < ; 1 0
23	2, 3, 21, 22	declti 9576	. . . 4 |- 8 < ; 1 2
24	20, 23	gtneii 8203	. . 3 |- ; 1 2 =/= 8
25		ipndx 13116	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
26	8, 25	neeq12i 2395	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 8 )
27	24, 26	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1178	1 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 981   =/= wne 2378   ` cfv 5290   1c1 7961   2c2 9122   5c5 9125   6c6 9126   8c8 9128  ;cdc 9539   ndxcnx 12944  Scalarcsca 13027   .scvsca 13028   .icip 13029   distcds 13033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-ds 13046

This theorem is referenced by:  sradsg  14325