Theorem slotsdnscsi 13386

Description: The slots Scalar, .s and .i are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	|- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9281	. . . 4 |- 5 e. RR
2		1nn 9213	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9478	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		5nn0 9481	. . . . 5 |- 5 e. NN0
5		5lt10 9806	. . . . 5 |- 5 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9709	. . . 4 |- 5 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8334	. . 3 |- ; 1 2 =/= 5
8		dsndx 13378	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		scandx 13314	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
10	8, 9	neeq12i 2420	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
12		6re 9283	. . . 4 |- 6 e. RR
13		6nn0 9482	. . . . 5 |- 6 e. NN0
14		6lt10 9805	. . . . 5 |- 6 < ; 1 0
15	2, 3, 13, 14	declti 9709	. . . 4 |- 6 < ; 1 2
16	12, 15	gtneii 8334	. . 3 |- ; 1 2 =/= 6
17		vscandx 13320	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	8, 17	neeq12i 2420	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
19	16, 18	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
20		8re 9287	. . . 4 |- 8 e. RR
21		8nn0 9484	. . . . 5 |- 8 e. NN0
22		8lt10 9803	. . . . 5 |- 8 < ; 1 0
23	2, 3, 21, 22	declti 9709	. . . 4 |- 8 < ; 1 2
24	20, 23	gtneii 8334	. . 3 |- ; 1 2 =/= 8
25		ipndx 13332	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
26	8, 25	neeq12i 2420	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 8 )
27	24, 26	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1202	1 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1005   =/= wne 2403   ` cfv 5333   1c1 8093   2c2 9253   5c5 9256   6c6 9257   8c8 9259  ;cdc 9672   ndxcnx 13159  Scalarcsca 13243   .scvsca 13244   .icip 13245   distcds 13249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-5 9264  df-6 9265  df-7 9266  df-8 9267  df-9 9268  df-n0 9462  df-z 9541  df-dec 9673  df-ndx 13165  df-slot 13166  df-sca 13256  df-vsca 13257  df-ip 13258  df-ds 13262

This theorem is referenced by:  sradsg  14544