Theorem slotsdnscsi 12927

Description: The slots Scalar, .s and .i are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	|- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9088	. . . 4 |- 5 e. RR
2		1nn 9020	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9285	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		5nn0 9288	. . . . 5 |- 5 e. NN0
5		5lt10 9610	. . . . 5 |- 5 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9513	. . . 4 |- 5 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8141	. . 3 |- ; 1 2 =/= 5
8		dsndx 12919	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		scandx 12855	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
10	8, 9	neeq12i 2384	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
12		6re 9090	. . . 4 |- 6 e. RR
13		6nn0 9289	. . . . 5 |- 6 e. NN0
14		6lt10 9609	. . . . 5 |- 6 < ; 1 0
15	2, 3, 13, 14	declti 9513	. . . 4 |- 6 < ; 1 2
16	12, 15	gtneii 8141	. . 3 |- ; 1 2 =/= 6
17		vscandx 12861	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	8, 17	neeq12i 2384	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
19	16, 18	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
20		8re 9094	. . . 4 |- 8 e. RR
21		8nn0 9291	. . . . 5 |- 8 e. NN0
22		8lt10 9607	. . . . 5 |- 8 < ; 1 0
23	2, 3, 21, 22	declti 9513	. . . 4 |- 8 < ; 1 2
24	20, 23	gtneii 8141	. . 3 |- ; 1 2 =/= 8
25		ipndx 12873	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
26	8, 25	neeq12i 2384	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 8 )
27	24, 26	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1177	1 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 980   =/= wne 2367   ` cfv 5259   1c1 7899   2c2 9060   5c5 9063   6c6 9064   8c8 9066  ;cdc 9476   ndxcnx 12702  Scalarcsca 12785   .scvsca 12786   .icip 12787   distcds 12791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-dec 9477  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-sca 12798  df-vsca 12799  df-ip 12800  df-ds 12804

This theorem is referenced by:  sradsg  14082