Theorem slotsdnscsi 13428

Description: The slots Scalar, .s and .i are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	|- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9315	. . . 4 |- 5 e. RR
2		1nn 9247	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9512	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		5nn0 9515	. . . . 5 |- 5 e. NN0
5		5lt10 9842	. . . . 5 |- 5 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9745	. . . 4 |- 5 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8368	. . 3 |- ; 1 2 =/= 5
8		dsndx 13420	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		scandx 13356	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
10	8, 9	neeq12i 2429	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
12		6re 9317	. . . 4 |- 6 e. RR
13		6nn0 9516	. . . . 5 |- 6 e. NN0
14		6lt10 9841	. . . . 5 |- 6 < ; 1 0
15	2, 3, 13, 14	declti 9745	. . . 4 |- 6 < ; 1 2
16	12, 15	gtneii 8368	. . 3 |- ; 1 2 =/= 6
17		vscandx 13362	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	8, 17	neeq12i 2429	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
19	16, 18	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
20		8re 9321	. . . 4 |- 8 e. RR
21		8nn0 9518	. . . . 5 |- 8 e. NN0
22		8lt10 9839	. . . . 5 |- 8 < ; 1 0
23	2, 3, 21, 22	declti 9745	. . . 4 |- 8 < ; 1 2
24	20, 23	gtneii 8368	. . 3 |- ; 1 2 =/= 8
25		ipndx 13374	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
26	8, 25	neeq12i 2429	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 8 )
27	24, 26	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1202	1 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1005   =/= wne 2412   ` cfv 5351   1c1 8127   2c2 9287   5c5 9290   6c6 9291   8c8 9293  ;cdc 9708   ndxcnx 13201  Scalarcsca 13285   .scvsca 13286   .icip 13287   distcds 13291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-ds 13304

This theorem is referenced by:  sradsg  14588