Theorem slotsdnscsi 13554

Description: The slots Scalar, .s and .i are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	|- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9362	. . . 4 |- 5 e. RR
2		1nn 9294	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9559	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		5nn0 9562	. . . . 5 |- 5 e. NN0
5		5lt10 9890	. . . . 5 |- 5 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9793	. . . 4 |- 5 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8411	. . 3 |- ; 1 2 =/= 5
8		dsndx 13546	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		scandx 13482	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
10	8, 9	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
12		6re 9364	. . . 4 |- 6 e. RR
13		6nn0 9563	. . . . 5 |- 6 e. NN0
14		6lt10 9889	. . . . 5 |- 6 < ; 1 0
15	2, 3, 13, 14	declti 9793	. . . 4 |- 6 < ; 1 2
16	12, 15	gtneii 8411	. . 3 |- ; 1 2 =/= 6
17		vscandx 13488	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	8, 17	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
19	16, 18	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
20		8re 9368	. . . 4 |- 8 e. RR
21		8nn0 9565	. . . . 5 |- 8 e. NN0
22		8lt10 9887	. . . . 5 |- 8 < ; 1 0
23	2, 3, 21, 22	declti 9793	. . . 4 |- 8 < ; 1 2
24	20, 23	gtneii 8411	. . 3 |- ; 1 2 =/= 8
25		ipndx 13500	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
26	8, 25	neeq12i 2437	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 8 )
27	24, 26	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1206	1 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1009   =/= wne 2420   ` cfv 5372   1c1 8170   2c2 9334   5c5 9337   6c6 9338   8c8 9340  ;cdc 9756   ndxcnx 13327  Scalarcsca 13411   .scvsca 13412   .icip 13413   distcds 13417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-sca 13424  df-vsca 13425  df-ip 13426  df-ds 13430

This theorem is referenced by:  sradsg  14757