Theorem slotsdnscsi 13305

Description: The slots Scalar, .s and .i are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	|- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9221	. . . 4 |- 5 e. RR
2		1nn 9153	. . . . 5 |- 1 e. NN
3		2nn0 9418	. . . . 5 |- 2 e. NN0
4		5nn0 9421	. . . . 5 |- 5 e. NN0
5		5lt10 9744	. . . . 5 |- 5 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9647	. . . 4 |- 5 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8274	. . 3 |- ; 1 2 =/= 5
8		dsndx 13297	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		scandx 13233	. . . 4 |- (Scalar ` ndx ) = 5
10	8, 9	neeq12i 2419	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 5 )
11	7, 10	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx )
12		6re 9223	. . . 4 |- 6 e. RR
13		6nn0 9422	. . . . 5 |- 6 e. NN0
14		6lt10 9743	. . . . 5 |- 6 < ; 1 0
15	2, 3, 13, 14	declti 9647	. . . 4 |- 6 < ; 1 2
16	12, 15	gtneii 8274	. . 3 |- ; 1 2 =/= 6
17		vscandx 13239	. . . 4 |- ( .s ` ndx ) = 6
18	8, 17	neeq12i 2419	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 6 )
19	16, 18	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx )
20		8re 9227	. . . 4 |- 8 e. RR
21		8nn0 9424	. . . . 5 |- 8 e. NN0
22		8lt10 9741	. . . . 5 |- 8 < ; 1 0
23	2, 3, 21, 22	declti 9647	. . . 4 |- 8 < ; 1 2
24	20, 23	gtneii 8274	. . 3 |- ; 1 2 =/= 8
25		ipndx 13251	. . . 4 |- ( .i ` ndx ) = 8
26	8, 25	neeq12i 2419	. . 3 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 8 )
27	24, 26	mpbir 146	. 2 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx )
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1201	1 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (Scalar ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .s ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) =/= ( .i ` ndx ) )

Syntax hints:   /\ w3a 1004   =/= wne 2402   ` cfv 5326   1c1 8032   2c2 9193   5c5 9196   6c6 9197   8c8 9199  ;cdc 9610   ndxcnx 13078  Scalarcsca 13162   .scvsca 13163   .icip 13164   distcds 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-ds 13181

This theorem is referenced by:  sradsg  14461