Theorem 2logb9irrap 15564

Description: Example for logbgcd1irrap 15557. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	|- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10818	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
2	1	eqcomi 2211	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
3	2	oveq1i 5977	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
4		2re 9141	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		2lt3 9242	. . . . . 6 |- 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8203	. . . . 5 |- 3 =/= 2
7		3prm 12565	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
8		2prm 12564	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
9		prmrp 12582	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
12		3z 9436	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
13		2z 9435	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
14		2nn0 9347	. . . . 5 |- 2 e. NN0
15		rpexp1i 12591	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1350	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
18	3, 17	eqtri 2228	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
19		9nn 9240	. . . . 5 |- 9 e. NN
20	19	nnzi 9428	. . . 4 |- 9 e. ZZ
21		9re 9158	. . . . 5 |- 9 e. RR
22		2lt9 9275	. . . . 5 |- 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8210	. . . 4 |- 2 <_ 9
24		eluz2 9689	. . . 4 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1182	. . 3 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
26		uzid 9697	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
28		logbgcd1irrap 15557	. . 3 |- ( ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 |- ( ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
30	18, 29	mpan 424	1 |- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   class class class wbr 4059   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1c1 7961   <_ cle 8143   # cap 8689   2c2 9122   3c3 9123   9c9 9129   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   QQcq 9775   ^cexp 10720   gcd cgcd 12389   Primecprime 12544   log_b clogb 15530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079  ax-caucvg 8080  ax-pre-suploc 8081  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-disj 4036  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-isom 5299  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-of 6181  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-irdg 6479  df-frec 6500  df-1o 6525  df-2o 6526  df-oadd 6529  df-er 6643  df-map 6760  df-pm 6761  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-sup 7112  df-inf 7113  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-q 9776  df-rp 9811  df-xneg 9929  df-xadd 9930  df-ioo 10049  df-ico 10051  df-icc 10052  df-fz 10166  df-fzo 10300  df-fl 10450  df-mod 10505  df-seqfrec 10630  df-exp 10721  df-fac 10908  df-bc 10930  df-ihash 10958  df-shft 11241  df-cj 11268  df-re 11269  df-im 11270  df-rsqrt 11424  df-abs 11425  df-clim 11705  df-sumdc 11780  df-ef 12074  df-e 12075  df-dvds 12214  df-gcd 12390  df-prm 12545  df-rest 13188  df-topgen 13207  df-psmet 14420  df-xmet 14421  df-met 14422  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-top 14585  df-topon 14598  df-bases 14630  df-ntr 14683  df-cn 14775  df-cnp 14776  df-tx 14840  df-cncf 15158  df-limced 15243  df-dvap 15244  df-relog 15445  df-rpcxp 15446  df-logb 15531

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15565