Theorem 2logb9irrap 14691

Description: Example for logbgcd1irrap 14684. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	|- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10631	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
2	1	eqcomi 2191	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
3	2	oveq1i 5898	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
4		2re 9003	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		2lt3 9103	. . . . . 6 |- 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8067	. . . . 5 |- 3 =/= 2
7		3prm 12142	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
8		2prm 12141	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
9		prmrp 12159	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
12		3z 9296	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
13		2z 9295	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
14		2nn0 9207	. . . . 5 |- 2 e. NN0
15		rpexp1i 12168	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1347	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
18	3, 17	eqtri 2208	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
19		9nn 9101	. . . . 5 |- 9 e. NN
20	19	nnzi 9288	. . . 4 |- 9 e. ZZ
21		9re 9020	. . . . 5 |- 9 e. RR
22		2lt9 9136	. . . . 5 |- 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8074	. . . 4 |- 2 <_ 9
24		eluz2 9548	. . . 4 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1180	. . 3 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
26		uzid 9556	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
28		logbgcd1irrap 14684	. . 3 |- ( ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 |- ( ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
30	18, 29	mpan 424	1 |- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1363   e. wcel 2158   =/= wne 2357   class class class wbr 4015   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   1c1 7826   <_ cle 8007   # cap 8552   2c2 8984   3c3 8985   9c9 8991   NN0cn0 9190   ZZcz 9267   ZZ>=cuz 9542   QQcq 9633   ^cexp 10533   gcd cgcd 11957   Primecprime 12121   log_b clogb 14657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945  ax-pre-suploc 7946  ax-addf 7947  ax-mulf 7948

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-disj 3993  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-of 6097  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-er 6549  df-map 6664  df-pm 6665  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-9 8999  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-xneg 9786  df-xadd 9787  df-ioo 9906  df-ico 9908  df-icc 9909  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-fac 10720  df-bc 10742  df-ihash 10770  df-shft 10838  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-sumdc 11376  df-ef 11670  df-e 11671  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-rest 12708  df-topgen 12727  df-psmet 13729  df-xmet 13730  df-met 13731  df-bl 13732  df-mopn 13733  df-top 13794  df-topon 13807  df-bases 13839  df-ntr 13892  df-cn 13984  df-cnp 13985  df-tx 14049  df-cncf 14354  df-limced 14421  df-dvap 14422  df-relog 14575  df-rpcxp 14576  df-logb 14658

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  14692