Theorem 2logb9irrap 15150

Description: Example for logbgcd1irrap 15143. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	|- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10710	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
2	1	eqcomi 2197	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
3	2	oveq1i 5929	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
4		2re 9054	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		2lt3 9155	. . . . . 6 |- 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8117	. . . . 5 |- 3 =/= 2
7		3prm 12269	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
8		2prm 12268	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
9		prmrp 12286	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
12		3z 9349	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
13		2z 9348	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
14		2nn0 9260	. . . . 5 |- 2 e. NN0
15		rpexp1i 12295	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1348	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
18	3, 17	eqtri 2214	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
19		9nn 9153	. . . . 5 |- 9 e. NN
20	19	nnzi 9341	. . . 4 |- 9 e. ZZ
21		9re 9071	. . . . 5 |- 9 e. RR
22		2lt9 9188	. . . . 5 |- 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8124	. . . 4 |- 2 <_ 9
24		eluz2 9601	. . . 4 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1181	. . 3 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
26		uzid 9609	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
28		logbgcd1irrap 15143	. . 3 |- ( ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 |- ( ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
30	18, 29	mpan 424	1 |- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   1c1 7875   <_ cle 8057   # cap 8602   2c2 9035   3c3 9036   9c9 9042   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   QQcq 9687   ^cexp 10612   gcd cgcd 12082   Primecprime 12248   log_b clogb 15116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994  ax-pre-suploc 7995  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-disj 4008  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-of 6132  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-irdg 6425  df-frec 6446  df-1o 6471  df-2o 6472  df-oadd 6475  df-er 6589  df-map 6706  df-pm 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-fin 6799  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-xneg 9841  df-xadd 9842  df-ioo 9961  df-ico 9963  df-icc 9964  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800  df-bc 10822  df-ihash 10850  df-shft 10962  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-clim 11425  df-sumdc 11500  df-ef 11794  df-e 11795  df-dvds 11934  df-gcd 12083  df-prm 12249  df-rest 12855  df-topgen 12874  df-psmet 14042  df-xmet 14043  df-met 14044  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-top 14177  df-topon 14190  df-bases 14222  df-ntr 14275  df-cn 14367  df-cnp 14368  df-tx 14432  df-cncf 14750  df-limced 14835  df-dvap 14836  df-relog 15034  df-rpcxp 15035  df-logb 15117

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15151