Theorem 2logb9irrap 13233

Description: Example for logbgcd1irrap 13226. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	|- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10493	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
2	1	eqcomi 2158	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
3	2	oveq1i 5824	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
4		2re 8882	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		2lt3 8982	. . . . . 6 |- 2 < 3
6	4, 5	gtneii 7951	. . . . 5 |- 3 =/= 2
7		3prm 11976	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
8		2prm 11975	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
9		prmrp 11990	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
10	7, 8, 9	mp2an 423	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
11	6, 10	mpbir 145	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
12		3z 9175	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
13		2z 9174	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
14		2nn0 9086	. . . . 5 |- 2 e. NN0
15		rpexp1i 11999	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1316	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
18	3, 17	eqtri 2175	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
19		9nn 8980	. . . . 5 |- 9 e. NN
20	19	nnzi 9167	. . . 4 |- 9 e. ZZ
21		9re 8899	. . . . 5 |- 9 e. RR
22		2lt9 9015	. . . . 5 |- 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 7958	. . . 4 |- 2 <_ 9
24		eluz2 9424	. . . 4 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1164	. . 3 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
26		uzid 9432	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
28		logbgcd1irrap 13226	. . 3 |- ( ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
29	25, 27, 28	mpanl12 433	. 2 |- ( ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
30	18, 29	mpan 421	1 |- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 2125   =/= wne 2324   class class class wbr 3961   ` cfv 5163  (class class class)co 5814   1c1 7712   <_ cle 7892   # cap 8435   2c2 8863   3c3 8864   9c9 8870   NN0cn0 9069   ZZcz 9146   ZZ>=cuz 9418   QQcq 9506   ^cexp 10396   gcd cgcd 11802   Primecprime 11955   log_b clogb 13199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831  ax-pre-suploc 7832  ax-addf 7833  ax-mulf 7834

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-disj 3939  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-of 6022  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-irdg 6307  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-oadd 6357  df-er 6469  df-map 6584  df-pm 6585  df-en 6675  df-dom 6676  df-fin 6677  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-5 8874  df-6 8875  df-7 8876  df-8 8877  df-9 8878  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-xneg 9657  df-xadd 9658  df-ioo 9774  df-ico 9776  df-icc 9777  df-fz 9891  df-fzo 10020  df-fl 10147  df-mod 10200  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-fac 10577  df-bc 10599  df-ihash 10627  df-shft 10692  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-clim 11153  df-sumdc 11228  df-ef 11522  df-e 11523  df-dvds 11661  df-gcd 11803  df-prm 11956  df-rest 12292  df-topgen 12311  df-psmet 12326  df-xmet 12327  df-met 12328  df-bl 12329  df-mopn 12330  df-top 12335  df-topon 12348  df-bases 12380  df-ntr 12435  df-cn 12527  df-cnp 12528  df-tx 12592  df-cncf 12897  df-limced 12964  df-dvap 12965  df-relog 13118  df-rpcxp 13119  df-logb 13200

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  13234