Theorem 2logb9irrap 15610

Description: Example for logbgcd1irrap 15603. The logarithm of nine to base two is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by Jim Kingdon, 12-Jul-2024.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irrap	|- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Proof of Theorem 2logb9irrap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sq3 10820	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
2	1	eqcomi 2211	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
3	2	oveq1i 5979	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
4		2re 9143	. . . . . 6 |- 2 e. RR
5		2lt3 9244	. . . . . 6 |- 2 < 3
6	4, 5	gtneii 8205	. . . . 5 |- 3 =/= 2
7		3prm 12611	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
8		2prm 12610	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
9		prmrp 12628	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
10	7, 8, 9	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
11	6, 10	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
12		3z 9438	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
13		2z 9437	. . . . 5 |- 2 e. ZZ
14		2nn0 9349	. . . . 5 |- 2 e. NN0
15		rpexp1i 12637	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
16	12, 13, 14, 15	mp3an 1350	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
17	11, 16	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
18	3, 17	eqtri 2228	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
19		9nn 9242	. . . . 5 |- 9 e. NN
20	19	nnzi 9430	. . . 4 |- 9 e. ZZ
21		9re 9160	. . . . 5 |- 9 e. RR
22		2lt9 9277	. . . . 5 |- 2 < 9
23	4, 21, 22	ltleii 8212	. . . 4 |- 2 <_ 9
24		eluz2 9691	. . . 4 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
25	13, 20, 23, 24	mpbir3an 1182	. . 3 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
26		uzid 9699	. . . 4 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
27	13, 26	ax-mp 5	. . 3 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
28		logbgcd1irrap 15603	. . 3 |- ( ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) ) /\ ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
29	25, 27, 28	mpanl12 436	. 2 |- ( ( ( 9 gcd 2 ) = 1 /\ Q e. QQ ) -> ( 2 logb 9 ) # Q )
30	18, 29	mpan 424	1 |- ( Q e. QQ -> ( 2 logb 9 ) # Q )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   class class class wbr 4060   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   1c1 7963   <_ cle 8145   # cap 8691   2c2 9124   3c3 9125   9c9 9131   NN0cn0 9332   ZZcz 9409   ZZ>=cuz 9685   QQcq 9777   ^cexp 10722   gcd cgcd 12435   Primecprime 12590   log_b clogb 15576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080  ax-arch 8081  ax-caucvg 8082  ax-pre-suploc 8083  ax-addf 8084  ax-mulf 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-disj 4037  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-isom 5300  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-of 6183  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-irdg 6481  df-frec 6502  df-1o 6527  df-2o 6528  df-oadd 6531  df-er 6645  df-map 6762  df-pm 6763  df-en 6853  df-dom 6854  df-fin 6855  df-sup 7114  df-inf 7115  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-q 9778  df-rp 9813  df-xneg 9931  df-xadd 9932  df-ioo 10051  df-ico 10053  df-icc 10054  df-fz 10168  df-fzo 10302  df-fl 10452  df-mod 10507  df-seqfrec 10632  df-exp 10723  df-fac 10910  df-bc 10932  df-ihash 10960  df-shft 11287  df-cj 11314  df-re 11315  df-im 11316  df-rsqrt 11470  df-abs 11471  df-clim 11751  df-sumdc 11826  df-ef 12120  df-e 12121  df-dvds 12260  df-gcd 12436  df-prm 12591  df-rest 13234  df-topgen 13253  df-psmet 14466  df-xmet 14467  df-met 14468  df-bl 14469  df-mopn 14470  df-top 14631  df-topon 14644  df-bases 14676  df-ntr 14729  df-cn 14821  df-cnp 14822  df-tx 14886  df-cncf 15204  df-limced 15289  df-dvap 15290  df-relog 15491  df-rpcxp 15492  df-logb 15577

This theorem is referenced by:  2irrexpqap  15611