ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2logb9irr Unicode version

Theorem 2logb9irr 14022
Description: Example for logbgcd1irr 14018. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 14028 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)
Assertion
Ref Expression
2logb9irr  |-  ( 2 logb  9 )  e.  ( RR 
\  QQ )

Proof of Theorem 2logb9irr
StepHypRef Expression
1 2z 9257 . . 3  |-  2  e.  ZZ
2 9nn 9063 . . . 4  |-  9  e.  NN
32nnzi 9250 . . 3  |-  9  e.  ZZ
4 2re 8965 . . . 4  |-  2  e.  RR
5 9re 8982 . . . 4  |-  9  e.  RR
6 2lt9 9098 . . . 4  |-  2  <  9
74, 5, 6ltleii 8037 . . 3  |-  2  <_  9
8 eluz2 9510 . . 3  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  9  e.  ZZ  /\  2  <_ 
9 ) )
91, 3, 7, 8mpbir3an 1179 . 2  |-  9  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 uzid 9518 . . 3  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
111, 10ax-mp 5 . 2  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
12 sq3 10589 . . . . 5  |-  ( 3 ^ 2 )  =  9
1312eqcomi 2181 . . . 4  |-  9  =  ( 3 ^ 2 )
1413oveq1i 5878 . . 3  |-  ( 9  gcd  2 )  =  ( ( 3 ^ 2 )  gcd  2
)
15 2lt3 9065 . . . . . 6  |-  2  <  3
164, 15gtneii 8030 . . . . 5  |-  3  =/=  2
17 3prm 12098 . . . . . 6  |-  3  e.  Prime
18 2prm 12097 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
19 prmrp 12115 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( 3  gcd  2
)  =  1  <->  3  =/=  2 ) )
2017, 18, 19mp2an 426 . . . . 5  |-  ( ( 3  gcd  2 )  =  1  <->  3  =/=  2 )
2116, 20mpbir 146 . . . 4  |-  ( 3  gcd  2 )  =  1
22 3z 9258 . . . . 5  |-  3  e.  ZZ
23 2nn0 9169 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
24 rpexp1i 12124 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  2  e.  NN0 )  ->  (
( 3  gcd  2
)  =  1  -> 
( ( 3 ^ 2 )  gcd  2
)  =  1 ) )
2522, 1, 23, 24mp3an 1337 . . . 4  |-  ( ( 3  gcd  2 )  =  1  ->  (
( 3 ^ 2 )  gcd  2 )  =  1 )
2621, 25ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 3 ^ 2 )  gcd  2 )  =  1
2714, 26eqtri 2198 . 2  |-  ( 9  gcd  2 )  =  1
28 logbgcd1irr 14018 . 2  |-  ( ( 9  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  2  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( 9  gcd  2
)  =  1 )  ->  ( 2 logb  9 )  e.  ( RR  \  QQ ) )
299, 11, 27, 28mp3an 1337 1  |-  ( 2 logb  9 )  e.  ( RR 
\  QQ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347    \ cdif 3126   class class class wbr 4000   ` cfv 5211  (class class class)co 5868   RRcr 7788   1c1 7790    <_ cle 7970   2c2 8946   3c3 8947   9c9 8953   NN0cn0 9152   ZZcz 9229   ZZ>=cuz 9504   QQcq 9595   ^cexp 10492    gcd cgcd 11913   Primecprime 12077   logb clogb 13994
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909  ax-pre-suploc 7910  ax-addf 7911  ax-mulf 7912
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-of 6076  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-2o 6411  df-oadd 6414  df-er 6528  df-map 6643  df-pm 6644  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-9 8961  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-ioo 9866  df-ico 9868  df-icc 9869  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-fl 10243  df-mod 10296  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-fac 10677  df-bc 10699  df-ihash 10727  df-shft 10795  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333  df-ef 11627  df-e 11628  df-dvds 11766  df-gcd 11914  df-prm 12078  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-cn 13321  df-cnp 13322  df-tx 13386  df-cncf 13691  df-limced 13758  df-dvap 13759  df-relog 13912  df-rpcxp 13913  df-logb 13995
This theorem is referenced by:  2irrexpq  14027  2irrexpqap  14029
  Copyright terms: Public domain W3C validator