Theorem 2logb9irr 15361

Description: Example for logbgcd1irr 15357. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 15367 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	|- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9382	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		9nn 9187	. . . 4 |- 9 e. NN
3	2	nnzi 9375	. . 3 |- 9 e. ZZ
4		2re 9088	. . . 4 |- 2 e. RR
5		9re 9105	. . . 4 |- 9 e. RR
6		2lt9 9222	. . . 4 |- 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8157	. . 3 |- 2 <_ 9
8		eluz2 9636	. . 3 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1181	. 2 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uzid 9644	. . 3 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
12		sq3 10762	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
13	12	eqcomi 2208	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
14	13	oveq1i 5944	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
15		2lt3 9189	. . . . . 6 |- 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8150	. . . . 5 |- 3 =/= 2
17		3prm 12369	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
18		2prm 12368	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
19		prmrp 12386	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
20	17, 18, 19	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
21	16, 20	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
22		3z 9383	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
23		2nn0 9294	. . . . 5 |- 2 e. NN0
24		rpexp1i 12395	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1349	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
27	14, 26	eqtri 2225	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
28		logbgcd1irr 15357	. 2 |- ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 9 gcd 2 ) = 1 ) -> ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) )
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1349	1 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   \ cdif 3162   class class class wbr 4043   ` cfv 5268  (class class class)co 5934   RRcr 7906   1c1 7908   <_ cle 8090   2c2 9069   3c3 9070   9c9 9076   NN0cn0 9277   ZZcz 9354   ZZ>=cuz 9630   QQcq 9722   ^cexp 10664   gcd cgcd 12193   Primecprime 12348   log_b clogb 15333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027  ax-pre-suploc 8028  ax-addf 8029  ax-mulf 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-of 6148  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-2o 6493  df-oadd 6496  df-er 6610  df-map 6727  df-pm 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-xneg 9876  df-xadd 9877  df-ioo 9996  df-ico 9998  df-icc 9999  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-fl 10394  df-mod 10449  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-fac 10852  df-bc 10874  df-ihash 10902  df-shft 11045  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584  df-ef 11878  df-e 11879  df-dvds 12018  df-gcd 12194  df-prm 12349  df-rest 12991  df-topgen 13010  df-psmet 14223  df-xmet 14224  df-met 14225  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-top 14388  df-topon 14401  df-bases 14433  df-ntr 14486  df-cn 14578  df-cnp 14579  df-tx 14643  df-cncf 14961  df-limced 15046  df-dvap 15047  df-relog 15248  df-rpcxp 15249  df-logb 15334

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15366  2irrexpqap  15368