Theorem 2logb9irr 13248

Description: Example for logbgcd1irr 13244. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 13254 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	|- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9178	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		9nn 8984	. . . 4 |- 9 e. NN
3	2	nnzi 9171	. . 3 |- 9 e. ZZ
4		2re 8886	. . . 4 |- 2 e. RR
5		9re 8903	. . . 4 |- 9 e. RR
6		2lt9 9019	. . . 4 |- 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 7962	. . 3 |- 2 <_ 9
8		eluz2 9428	. . 3 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1164	. 2 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uzid 9436	. . 3 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
12		sq3 10497	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
13	12	eqcomi 2161	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
14	13	oveq1i 5828	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
15		2lt3 8986	. . . . . 6 |- 2 < 3
16	4, 15	gtneii 7955	. . . . 5 |- 3 =/= 2
17		3prm 11985	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
18		2prm 11984	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
19		prmrp 11999	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
20	17, 18, 19	mp2an 423	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
21	16, 20	mpbir 145	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
22		3z 9179	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
23		2nn0 9090	. . . . 5 |- 2 e. NN0
24		rpexp1i 12008	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1319	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
27	14, 26	eqtri 2178	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
28		logbgcd1irr 13244	. 2 |- ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 9 gcd 2 ) = 1 ) -> ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) )
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1319	1 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   =/= wne 2327   \ cdif 3099   class class class wbr 3965   ` cfv 5167  (class class class)co 5818   RRcr 7714   1c1 7716   <_ cle 7896   2c2 8867   3c3 8868   9c9 8874   NN0cn0 9073   ZZcz 9150   ZZ>=cuz 9422   QQcq 9510   ^cexp 10400   gcd cgcd 11810   Primecprime 11964   log_b clogb 13220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545  ax-cnex 7806  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-1re 7809  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-mulrcl 7814  ax-addcom 7815  ax-mulcom 7816  ax-addass 7817  ax-mulass 7818  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0lt1 7821  ax-1rid 7822  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-precex 7825  ax-cnre 7826  ax-pre-ltirr 7827  ax-pre-ltwlin 7828  ax-pre-lttrn 7829  ax-pre-apti 7830  ax-pre-ltadd 7831  ax-pre-mulgt0 7832  ax-pre-mulext 7833  ax-arch 7834  ax-caucvg 7835  ax-pre-suploc 7836  ax-addf 7837  ax-mulf 7838

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-disj 3943  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-po 4255  df-iso 4256  df-iord 4325  df-on 4327  df-ilim 4328  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-isom 5176  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-of 6026  df-1st 6082  df-2nd 6083  df-recs 6246  df-irdg 6311  df-frec 6332  df-1o 6357  df-2o 6358  df-oadd 6361  df-er 6473  df-map 6588  df-pm 6589  df-en 6679  df-dom 6680  df-fin 6681  df-sup 6920  df-inf 6921  df-pnf 7897  df-mnf 7898  df-xr 7899  df-ltxr 7900  df-le 7901  df-sub 8031  df-neg 8032  df-reap 8433  df-ap 8440  df-div 8529  df-inn 8817  df-2 8875  df-3 8876  df-4 8877  df-5 8878  df-6 8879  df-7 8880  df-8 8881  df-9 8882  df-n0 9074  df-z 9151  df-uz 9423  df-q 9511  df-rp 9543  df-xneg 9661  df-xadd 9662  df-ioo 9778  df-ico 9780  df-icc 9781  df-fz 9895  df-fzo 10024  df-fl 10151  df-mod 10204  df-seqfrec 10327  df-exp 10401  df-fac 10582  df-bc 10604  df-ihash 10632  df-shft 10697  df-cj 10724  df-re 10725  df-im 10726  df-rsqrt 10880  df-abs 10881  df-clim 11158  df-sumdc 11233  df-ef 11527  df-e 11528  df-dvds 11666  df-gcd 11811  df-prm 11965  df-rest 12313  df-topgen 12332  df-psmet 12347  df-xmet 12348  df-met 12349  df-bl 12350  df-mopn 12351  df-top 12356  df-topon 12369  df-bases 12401  df-ntr 12456  df-cn 12548  df-cnp 12549  df-tx 12613  df-cncf 12918  df-limced 12985  df-dvap 12986  df-relog 13139  df-rpcxp 13140  df-logb 13221

This theorem is referenced by:  2irrexpq  13253  2irrexpqap  13255