Theorem 2logb9irr 13683

Description: Example for logbgcd1irr 13679. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 13689 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	|- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9240	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		9nn 9046	. . . 4 |- 9 e. NN
3	2	nnzi 9233	. . 3 |- 9 e. ZZ
4		2re 8948	. . . 4 |- 2 e. RR
5		9re 8965	. . . 4 |- 9 e. RR
6		2lt9 9081	. . . 4 |- 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8022	. . 3 |- 2 <_ 9
8		eluz2 9493	. . 3 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1174	. 2 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uzid 9501	. . 3 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
12		sq3 10572	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
13	12	eqcomi 2174	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
14	13	oveq1i 5863	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
15		2lt3 9048	. . . . . 6 |- 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8015	. . . . 5 |- 3 =/= 2
17		3prm 12082	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
18		2prm 12081	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
19		prmrp 12099	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
20	17, 18, 19	mp2an 424	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
21	16, 20	mpbir 145	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
22		3z 9241	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
23		2nn0 9152	. . . . 5 |- 2 e. NN0
24		rpexp1i 12108	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1332	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
27	14, 26	eqtri 2191	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
28		logbgcd1irr 13679	. 2 |- ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 9 gcd 2 ) = 1 ) -> ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) )
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1332	1 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   \ cdif 3118   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   1c1 7775   <_ cle 7955   2c2 8929   3c3 8930   9c9 8936   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   QQcq 9578   ^cexp 10475   gcd cgcd 11897   Primecprime 12061   log_b clogb 13655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-e 11612  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420  df-relog 13573  df-rpcxp 13574  df-logb 13656

This theorem is referenced by:  2irrexpq  13688  2irrexpqap  13690