Theorem 2logb9irr 15385

Description: Example for logbgcd1irr 15381. The logarithm of nine to base two is not rational. Also see 2logb9irrap 15391 which says that it is irrational (in the sense of being apart from any rational number). (Contributed by AV, 29-Dec-2022.)

Assertion

Ref	Expression
2logb9irr	|- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Proof of Theorem 2logb9irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 9399	. . 3 |- 2 e. ZZ
2		9nn 9204	. . . 4 |- 9 e. NN
3	2	nnzi 9392	. . 3 |- 9 e. ZZ
4		2re 9105	. . . 4 |- 2 e. RR
5		9re 9122	. . . 4 |- 9 e. RR
6		2lt9 9239	. . . 4 |- 2 < 9
7	4, 5, 6	ltleii 8174	. . 3 |- 2 <_ 9
8		eluz2 9653	. . 3 |- ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( 2 e. ZZ /\ 9 e. ZZ /\ 2 <_ 9 ) )
9	1, 3, 7, 8	mpbir3an 1181	. 2 |- 9 e. ( ZZ>= ` 2 )
10		uzid 9661	. . 3 |- ( 2 e. ZZ -> 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) )
11	1, 10	ax-mp 5	. 2 |- 2 e. ( ZZ>= ` 2 )
12		sq3 10779	. . . . 5 |- ( 3 ^ 2 ) = 9
13	12	eqcomi 2208	. . . 4 |- 9 = ( 3 ^ 2 )
14	13	oveq1i 5953	. . 3 |- ( 9 gcd 2 ) = ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 )
15		2lt3 9206	. . . . . 6 |- 2 < 3
16	4, 15	gtneii 8167	. . . . 5 |- 3 =/= 2
17		3prm 12392	. . . . . 6 |- 3 e. Prime
18		2prm 12391	. . . . . 6 |- 2 e. Prime
19		prmrp 12409	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 ) )
20	17, 18, 19	mp2an 426	. . . . 5 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 <-> 3 =/= 2 )
21	16, 20	mpbir 146	. . . 4 |- ( 3 gcd 2 ) = 1
22		3z 9400	. . . . 5 |- 3 e. ZZ
23		2nn0 9311	. . . . 5 |- 2 e. NN0
24		rpexp1i 12418	. . . . 5 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 2 e. NN0 ) -> ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 ) )
25	22, 1, 23, 24	mp3an 1349	. . . 4 |- ( ( 3 gcd 2 ) = 1 -> ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1 )
26	21, 25	ax-mp 5	. . 3 |- ( ( 3 ^ 2 ) gcd 2 ) = 1
27	14, 26	eqtri 2225	. 2 |- ( 9 gcd 2 ) = 1
28		logbgcd1irr 15381	. 2 |- ( ( 9 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ 2 e. ( ZZ>= ` 2 ) /\ ( 9 gcd 2 ) = 1 ) -> ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ ) )
29	9, 11, 27, 28	mp3an 1349	1 |- ( 2 logb 9 ) e. ( RR \ QQ )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1372   e. wcel 2175   =/= wne 2375   \ cdif 3162   class class class wbr 4043   ` cfv 5270  (class class class)co 5943   RRcr 7923   1c1 7925   <_ cle 8107   2c2 9086   3c3 9087   9c9 9093   NN0cn0 9294   ZZcz 9371   ZZ>=cuz 9647   QQcq 9739   ^cexp 10681   gcd cgcd 12216   Primecprime 12371   log_b clogb 15357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044  ax-pre-suploc 8045  ax-addf 8046  ax-mulf 8047

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-of 6157  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-oadd 6505  df-er 6619  df-map 6736  df-pm 6737  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-sup 7085  df-inf 7086  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-9 9101  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-ioo 10013  df-ico 10015  df-icc 10016  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-fl 10411  df-mod 10466  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-fac 10869  df-bc 10891  df-ihash 10919  df-shft 11068  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-sumdc 11607  df-ef 11901  df-e 11902  df-dvds 12041  df-gcd 12217  df-prm 12372  df-rest 13015  df-topgen 13034  df-psmet 14247  df-xmet 14248  df-met 14249  df-bl 14250  df-mopn 14251  df-top 14412  df-topon 14425  df-bases 14457  df-ntr 14510  df-cn 14602  df-cnp 14603  df-tx 14667  df-cncf 14985  df-limced 15070  df-dvap 15071  df-relog 15272  df-rpcxp 15273  df-logb 15358

This theorem is referenced by:  2irrexpq  15390  2irrexpqap  15392