Theorem dsndxnmulrndx 13250

Description: The slot for the distance function is not the slot for the ring multiplication operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 31-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxnmulrndx	|- ( dist ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem dsndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9180	. . 3 |- 3 e. RR
2		1nn 9117	. . . 4 |- 1 e. NN
3		2nn0 9382	. . . 4 |- 2 e. NN0
4		3nn0 9383	. . . 4 |- 3 e. NN0
5		3lt10 9710	. . . 4 |- 3 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9611	. . 3 |- 3 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8238	. 2 |- ; 1 2 =/= 3
8		dsndx 13243	. . 3 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		mulrndx 13158	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
10	8, 9	neeq12i 2417	. 2 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .r ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 3 )
11	7, 10	mpbir 146	1 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2400   ` cfv 5317   1c1 7996   2c2 9157   3c3 9158  ;cdc 9574   ndxcnx 13024   .rcmulr 13106   distcds 13114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-mulr 13119  df-ds 13127

This theorem is referenced by: (None)