Theorem dsndxnmulrndx 12910

Description: The slot for the distance function is not the slot for the ring multiplication operation in an extensible structure. (Contributed by AV, 31-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dsndxnmulrndx	|- ( dist ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Proof of Theorem dsndxnmulrndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3re 9067	. . 3 |- 3 e. RR
2		1nn 9004	. . . 4 |- 1 e. NN
3		2nn0 9269	. . . 4 |- 2 e. NN0
4		3nn0 9270	. . . 4 |- 3 e. NN0
5		3lt10 9596	. . . 4 |- 3 < ; 1 0
6	2, 3, 4, 5	declti 9497	. . 3 |- 3 < ; 1 2
7	1, 6	gtneii 8125	. 2 |- ; 1 2 =/= 3
8		dsndx 12903	. . 3 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
9		mulrndx 12818	. . 3 |- ( .r ` ndx ) = 3
10	8, 9	neeq12i 2384	. 2 |- ( ( dist ` ndx ) =/= ( .r ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 3 )
11	7, 10	mpbir 146	1 |- ( dist ` ndx ) =/= ( .r ` ndx )

Syntax hints:   =/= wne 2367   ` cfv 5259   1c1 7883   2c2 9044   3c3 9045  ;cdc 9460   ndxcnx 12686   .rcmulr 12767   distcds 12775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-5 9055  df-6 9056  df-7 9057  df-8 9058  df-9 9059  df-n0 9253  df-z 9330  df-dec 9461  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-mulr 12780  df-ds 12788

This theorem is referenced by: (None)