Theorem setsmsdsg 14648

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsmsbasg.m	|- ( ph -> M e. V )
setsmsbasg.d	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	|- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
2		setsmsbasg.d	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )
3		dsslid 12830	. . . 4 |- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )
4		9re 9069	. . . . . 6 |- 9 e. RR
5		1nn 8993	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
6		2nn0 9257	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
7		9nn0 9264	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
8		9lt10 9578	. . . . . . 7 |- 9 < ; 1 0
9	5, 6, 7, 8	declti 9485	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 2
10	4, 9	gtneii 8115	. . . . 5 |- ; 1 2 =/= 9
11		dsndx 12828	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
12		tsetndx 12803	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
13	11, 12	neeq12i 2381	. . . . 5 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 9 )
14	10, 13	mpbir 146	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
15		tsetslid 12805	. . . . 5 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 113	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) e. NN
17	3, 14, 16	setsslnid 12670	. . 3 |- ( ( M e. V /\ ( MetOpen ` D ) e. W ) -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
18	1, 2, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
19		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
20	19	fveq2d 5558	. 2 |- ( ph -> ( dist ` K ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2229	1 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   <.cop 3621   X. cxp 4657   |` cres 4661   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   1c1 7873   NNcn 8982   2c2 9033   9c9 9040  ;cdc 9448   ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Slot cslot 12617   Basecbs 12618  TopSetcts 12701   distcds 12704   MetOpencmopn 14037

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-sets 12625  df-tset 12714  df-ds 12717

This theorem is referenced by: (None)