Theorem setsmsdsg 12649

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsmsbasg.m	|- ( ph -> M e. V )
setsmsbasg.d	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	|- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
2		setsmsbasg.d	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )
3		dsslid 12119	. . . 4 |- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )
4		9re 8807	. . . . . 6 |- 9 e. RR
5		1nn 8731	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
6		2nn0 8994	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
7		9nn0 9001	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
8		9lt10 9312	. . . . . . 7 |- 9 < ; 1 0
9	5, 6, 7, 8	declti 9219	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 2
10	4, 9	gtneii 7859	. . . . 5 |- ; 1 2 =/= 9
11		dsndx 12117	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
12		tsetndx 12107	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
13	11, 12	neeq12i 2325	. . . . 5 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 9 )
14	10, 13	mpbir 145	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
15		tsetslid 12109	. . . . 5 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 112	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) e. NN
17	3, 14, 16	setsslnid 12010	. . 3 |- ( ( M e. V /\ ( MetOpen ` D ) e. W ) -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
18	1, 2, 17	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
19		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
20	19	fveq2d 5425	. 2 |- ( ph -> ( dist ` K ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2175	1 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1331   e. wcel 1480   =/= wne 2308   <.cop 3530   X. cxp 4537   |` cres 4541   ` cfv 5123  (class class class)co 5774   1c1 7621   NNcn 8720   2c2 8771   9c9 8778  ;cdc 9182   ndxcnx 11956   sSet csts 11957  Slot cslot 11958   Basecbs 11959  TopSetcts 12027   distcds 12030   MetOpencmopn 12154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-5 8782  df-6 8783  df-7 8784  df-8 8785  df-9 8786  df-n0 8978  df-z 9055  df-dec 9183  df-ndx 11962  df-slot 11963  df-sets 11966  df-tset 12040  df-ds 12043

This theorem is referenced by: (None)