Theorem setsmsdsg 13120

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsmsbasg.m	|- ( ph -> M e. V )
setsmsbasg.d	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	|- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
2		setsmsbasg.d	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )
3		dsslid 12555	. . . 4 |- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )
4		9re 8944	. . . . . 6 |- 9 e. RR
5		1nn 8868	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
6		2nn0 9131	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
7		9nn0 9138	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
8		9lt10 9452	. . . . . . 7 |- 9 < ; 1 0
9	5, 6, 7, 8	declti 9359	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 2
10	4, 9	gtneii 7994	. . . . 5 |- ; 1 2 =/= 9
11		dsndx 12553	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
12		tsetndx 12543	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
13	11, 12	neeq12i 2353	. . . . 5 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 9 )
14	10, 13	mpbir 145	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
15		tsetslid 12545	. . . . 5 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 112	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) e. NN
17	3, 14, 16	setsslnid 12445	. . 3 |- ( ( M e. V /\ ( MetOpen ` D ) e. W ) -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
18	1, 2, 17	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
19		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
20	19	fveq2d 5490	. 2 |- ( ph -> ( dist ` K ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2201	1 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   <.cop 3579   X. cxp 4602   |` cres 4606   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   1c1 7754   NNcn 8857   2c2 8908   9c9 8915  ;cdc 9322   ndxcnx 12391   sSet csts 12392  Slot cslot 12393   Basecbs 12394  TopSetcts 12463   distcds 12466   MetOpencmopn 12625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-dec 9323  df-ndx 12397  df-slot 12398  df-sets 12401  df-tset 12476  df-ds 12479

This theorem is referenced by: (None)