Theorem setsmsdsg 12469

Description: The distance function of a constructed metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
setsms.x	|- ( ph -> X = ( Base ` M ) )
setsms.d	|- ( ph -> D = ( ( dist ` M ) |` ( X X. X ) ) )
setsms.k	|- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
setsmsbasg.m	|- ( ph -> M e. V )
setsmsbasg.d	|- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )

Assertion

Ref	Expression
setsmsdsg	|- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Proof of Theorem setsmsdsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		setsmsbasg.m	. . 3 |- ( ph -> M e. V )
2		setsmsbasg.d	. . 3 |- ( ph -> ( MetOpen ` D ) e. W )
3		dsslid 11962	. . . 4 |- ( dist = Slot ( dist ` ndx ) /\ ( dist ` ndx ) e. NN )
4		9re 8717	. . . . . 6 |- 9 e. RR
5		1nn 8641	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
6		2nn0 8898	. . . . . . 7 |- 2 e. NN0
7		9nn0 8905	. . . . . . 7 |- 9 e. NN0
8		9lt10 9216	. . . . . . 7 |- 9 < ; 1 0
9	5, 6, 7, 8	declti 9123	. . . . . 6 |- 9 < ; 1 2
10	4, 9	gtneii 7782	. . . . 5 |- ; 1 2 =/= 9
11		dsndx 11960	. . . . . 6 |- ( dist ` ndx ) = ; 1 2
12		tsetndx 11950	. . . . . 6 |- (TopSet ` ndx ) = 9
13	11, 12	neeq12i 2299	. . . . 5 |- ( ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx ) <-> ; 1 2 =/= 9 )
14	10, 13	mpbir 145	. . . 4 |- ( dist ` ndx ) =/= (TopSet ` ndx )
15		tsetslid 11952	. . . . 5 |- (TopSet = Slot (TopSet ` ndx ) /\ (TopSet ` ndx ) e. NN )
16	15	simpri 112	. . . 4 |- (TopSet ` ndx ) e. NN
17	3, 14, 16	setsslnid 11853	. . 3 |- ( ( M e. V /\ ( MetOpen ` D ) e. W ) -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
18	1, 2, 17	syl2anc 406	. 2 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
19		setsms.k	. . 3 |- ( ph -> K = ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) )
20	19	fveq2d 5379	. 2 |- ( ph -> ( dist ` K ) = ( dist ` ( M sSet <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` D ) >. ) ) )
21	18, 20	eqtr4d 2150	1 |- ( ph -> ( dist ` M ) = ( dist ` K ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1314   e. wcel 1463   =/= wne 2282   <.cop 3496   X. cxp 4497   |` cres 4501   ` cfv 5081  (class class class)co 5728   1c1 7548   NNcn 8630   2c2 8681   9c9 8688  ;cdc 9086   ndxcnx 11799   sSet csts 11800  Slot cslot 11801   Basecbs 11802  TopSetcts 11870   distcds 11873   MetOpencmopn 11997

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-5 8692  df-6 8693  df-7 8694  df-8 8695  df-9 8696  df-n0 8882  df-z 8959  df-dec 9087  df-ndx 11805  df-slot 11806  df-sets 11809  df-tset 11883  df-ds 11886

This theorem is referenced by: (None)