Theorem ine0 8269

Description: The imaginary unit _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	|- _i =/= 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7878	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		0lt1 8002	. . . . 5 |- 0 < 1
3	1, 2	gtneii 7972	. . . 4 |- 1 =/= 0
4	3	neii 2329	. . 3 |- -. 1 = 0
5		oveq2 5832	. . . . . 6 |- ( _i = 0 -> ( _i x. _i ) = ( _i x. 0 ) )
6		ax-icn 7827	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	mul01i 8266	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2207	. . . . 5 |- ( _i = 0 -> 0 = ( _i x. _i ) )
9	8	oveq1d 5839	. . . 4 |- ( _i = 0 -> ( 0 + 1 ) = ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
10		ax-1cn 7825	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	10	addid2i 8018	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
12		ax-i2m1 7837	. . . 4 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2213	. . 3 |- ( _i = 0 -> 1 = 0 )
14	4, 13	mto 652	. 2 |- -. _i = 0
15	14	neir 2330	1 |- _i =/= 0

Syntax hints:   = wceq 1335   =/= wne 2327  (class class class)co 5824   0cc0 7732   1c1 7733   _ici 7734   + caddc 7735   x. cmul 7737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-sub 8048

This theorem is referenced by:  inelr  8459