ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 7870
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7486 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 0lt1 7608 . . . . 5  |-  0  <  1
31, 2gtneii 7578 . . . 4  |-  1  =/=  0
43neii 2257 . . 3  |-  -.  1  =  0
5 oveq2 5660 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
6 ax-icn 7438 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76mul01i 7867 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
85, 7syl6req 2137 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
98oveq1d 5667 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
10 ax-1cn 7436 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1110addid2i 7623 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 ax-i2m1 7448 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
139, 11, 123eqtr3g 2143 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
144, 13mto 623 . 2  |-  -.  _i  =  0
1514neir 2258 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1289    =/= wne 2255  (class class class)co 5652   0cc0 7348   1c1 7349   _ici 7350    + caddc 7351    x. cmul 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-mulcom 7444  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-ltxr 7525  df-sub 7653
This theorem is referenced by:  inelr  8059
  Copyright terms: Public domain W3C validator