Theorem ine0 8632

Description: The imaginary unit _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	|- _i =/= 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8239	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		0lt1 8365	. . . . 5 |- 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8334	. . . 4 |- 1 =/= 0
4	3	neii 2405	. . 3 |- -. 1 = 0
5		oveq2 6036	. . . . . 6 |- ( _i = 0 -> ( _i x. _i ) = ( _i x. 0 ) )
6		ax-icn 8187	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	mul01i 8629	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2281	. . . . 5 |- ( _i = 0 -> 0 = ( _i x. _i ) )
9	8	oveq1d 6043	. . . 4 |- ( _i = 0 -> ( 0 + 1 ) = ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
10		ax-1cn 8185	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	10	addlidi 8381	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
12		ax-i2m1 8197	. . . 4 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2287	. . 3 |- ( _i = 0 -> 1 = 0 )
14	4, 13	mto 668	. 2 |- -. _i = 0
15	14	neir 2406	1 |- _i =/= 0

Syntax hints:   = wceq 1398   =/= wne 2403  (class class class)co 6028   0cc0 8092   1c1 8093   _ici 8094   + caddc 8095   x. cmul 8097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-ltxr 8278  df-sub 8411

This theorem is referenced by:  inelr  8823