Theorem ine0 8466

Description: The imaginary unit _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	|- _i =/= 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8072	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		0lt1 8199	. . . . 5 |- 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8168	. . . 4 |- 1 =/= 0
4	3	neii 2378	. . 3 |- -. 1 = 0
5		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( _i = 0 -> ( _i x. _i ) = ( _i x. 0 ) )
6		ax-icn 8020	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	mul01i 8463	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2255	. . . . 5 |- ( _i = 0 -> 0 = ( _i x. _i ) )
9	8	oveq1d 5959	. . . 4 |- ( _i = 0 -> ( 0 + 1 ) = ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
10		ax-1cn 8018	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	10	addlidi 8215	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
12		ax-i2m1 8030	. . . 4 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2261	. . 3 |- ( _i = 0 -> 1 = 0 )
14	4, 13	mto 664	. 2 |- -. _i = 0
15	14	neir 2379	1 |- _i =/= 0

Syntax hints:   = wceq 1373   =/= wne 2376  (class class class)co 5944   0cc0 7925   1c1 7926   _ici 7927   + caddc 7928   x. cmul 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245

This theorem is referenced by:  inelr  8657