Theorem ine0 8163

Description: The imaginary unit _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	|- _i =/= 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 7773	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		0lt1 7896	. . . . 5 |- 0 < 1
3	1, 2	gtneii 7866	. . . 4 |- 1 =/= 0
4	3	neii 2310	. . 3 |- -. 1 = 0
5		oveq2 5782	. . . . . 6 |- ( _i = 0 -> ( _i x. _i ) = ( _i x. 0 ) )
6		ax-icn 7722	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	mul01i 8160	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
8	5, 7	syl6req 2189	. . . . 5 |- ( _i = 0 -> 0 = ( _i x. _i ) )
9	8	oveq1d 5789	. . . 4 |- ( _i = 0 -> ( 0 + 1 ) = ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
10		ax-1cn 7720	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	10	addid2i 7912	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
12		ax-i2m1 7732	. . . 4 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2195	. . 3 |- ( _i = 0 -> 1 = 0 )
14	4, 13	mto 651	. 2 |- -. _i = 0
15	14	neir 2311	1 |- _i =/= 0

Syntax hints:   = wceq 1331   =/= wne 2308  (class class class)co 5774   0cc0 7627   1c1 7628   _ici 7629   + caddc 7630   x. cmul 7632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-ltxr 7812  df-sub 7942

This theorem is referenced by:  inelr  8353