Theorem ine0 8437

Description: The imaginary unit _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ine0	|- _i =/= 0

Proof of Theorem ine0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8043	. . . . 5 |- 0 e. RR
2		0lt1 8170	. . . . 5 |- 0 < 1
3	1, 2	gtneii 8139	. . . 4 |- 1 =/= 0
4	3	neii 2369	. . 3 |- -. 1 = 0
5		oveq2 5933	. . . . . 6 |- ( _i = 0 -> ( _i x. _i ) = ( _i x. 0 ) )
6		ax-icn 7991	. . . . . . 7 |- _i e. CC
7	6	mul01i 8434	. . . . . 6 |- ( _i x. 0 ) = 0
8	5, 7	eqtr2di 2246	. . . . 5 |- ( _i = 0 -> 0 = ( _i x. _i ) )
9	8	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( _i = 0 -> ( 0 + 1 ) = ( ( _i x. _i ) + 1 ) )
10		ax-1cn 7989	. . . . 5 |- 1 e. CC
11	10	addlidi 8186	. . . 4 |- ( 0 + 1 ) = 1
12		ax-i2m1 8001	. . . 4 |- ( ( _i x. _i ) + 1 ) = 0
13	9, 11, 12	3eqtr3g 2252	. . 3 |- ( _i = 0 -> 1 = 0 )
14	4, 13	mto 663	. 2 |- -. _i = 0
15	14	neir 2370	1 |- _i =/= 0

Syntax hints:   = wceq 1364   =/= wne 2367  (class class class)co 5925   0cc0 7896   1c1 7897   _ici 7898   + caddc 7899   x. cmul 7901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216

This theorem is referenced by:  inelr  8628