ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 8269
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7878 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 0lt1 8002 . . . . 5  |-  0  <  1
31, 2gtneii 7972 . . . 4  |-  1  =/=  0
43neii 2329 . . 3  |-  -.  1  =  0
5 oveq2 5832 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
6 ax-icn 7827 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76mul01i 8266 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
85, 7eqtr2di 2207 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
98oveq1d 5839 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
10 ax-1cn 7825 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1110addid2i 8018 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 ax-i2m1 7837 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
139, 11, 123eqtr3g 2213 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
144, 13mto 652 . 2  |-  -.  _i  =  0
1514neir 2330 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1335    =/= wne 2327  (class class class)co 5824   0cc0 7732   1c1 7733   _ici 7734    + caddc 7735    x. cmul 7737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-ltxr 7917  df-sub 8048
This theorem is referenced by:  inelr  8459
  Copyright terms: Public domain W3C validator