ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ine0 Unicode version

Theorem ine0 8120
Description: The imaginary unit  _i is not zero. (Contributed by NM, 6-May-1999.)
Assertion
Ref Expression
ine0  |-  _i  =/=  0

Proof of Theorem ine0
StepHypRef Expression
1 0re 7730 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2 0lt1 7853 . . . . 5  |-  0  <  1
31, 2gtneii 7823 . . . 4  |-  1  =/=  0
43neii 2285 . . 3  |-  -.  1  =  0
5 oveq2 5748 . . . . . 6  |-  ( _i  =  0  ->  (
_i  x.  _i )  =  ( _i  x.  0 ) )
6 ax-icn 7679 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
76mul01i 8117 . . . . . 6  |-  ( _i  x.  0 )  =  0
85, 7syl6req 2165 . . . . 5  |-  ( _i  =  0  ->  0  =  ( _i  x.  _i ) )
98oveq1d 5755 . . . 4  |-  ( _i  =  0  ->  (
0  +  1 )  =  ( ( _i  x.  _i )  +  1 ) )
10 ax-1cn 7677 . . . . 5  |-  1  e.  CC
1110addid2i 7869 . . . 4  |-  ( 0  +  1 )  =  1
12 ax-i2m1 7689 . . . 4  |-  ( ( _i  x.  _i )  +  1 )  =  0
139, 11, 123eqtr3g 2171 . . 3  |-  ( _i  =  0  ->  1  =  0 )
144, 13mto 634 . 2  |-  -.  _i  =  0
1514neir 2286 1  |-  _i  =/=  0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1314    =/= wne 2283  (class class class)co 5740   0cc0 7584   1c1 7585   _ici 7586    + caddc 7587    x. cmul 7589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-ltxr 7769  df-sub 7899
This theorem is referenced by:  inelr  8309
  Copyright terms: Public domain W3C validator