Theorem nn0z 9668

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	|- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9666	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NN0cn0 9567   ZZcz 9648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-inn 9307  df-n0 9568  df-z 9649

This theorem is used by:  nn0negz  9682  nn0ltp1le  9711  nn0leltp1  9712  nn0ltlem1  9713  nn0sub  9715  nn0n0n1ge2b  9729  nn0lt10b  9730  nn0lt2  9731  nn0le2is012  9732  nn0lem1lt  9733  fnn0ind  9766  nn0pzuz  9996  nn01to3  10026  nn0ge2m1nnALT  10027  fz1n  10458  ige2m1fz  10527  elfz2nn0  10529  fznn0  10530  elfz0add  10537  fzctr  10550  difelfzle  10551  fzoun  10600  fzo1fzo0n0  10605  fzofzim  10610  elincfzoext  10621  elfzodifsumelfzo  10629  zpnn0elfzo  10635  fzossfzop1  10640  ubmelm1fzo  10654  adddivflid  10740  fldivnn0  10743  divfl0  10744  flqmulnn0  10747  fldivnn0le  10751  zmodidfzoimp  10804  modqmuladdnn0  10818  modifeq2int  10836  modfzo0difsn  10845  uzennn  10886  expdivap  11040  nn0sqdc  11160  faclbnd3  11195  bccmpl  11206  bcnp1n  11211  bcn2  11216  bcp1m1  11217  iswrd  11320  wrdval  11321  wrdexg  11329  ffz0iswrdnn0  11345  wrdnval  11349  wrdred1  11361  wrdred1hash  11362  ccatalpha  11395  swrdfv2  11449  swrdsb0eq  11451  swrdsbslen  11452  swrdspsleq  11453  swrdlsw  11455  pfx0g  11462  fnpfx  11463  pfxclg  11464  pfxnd  11475  pfxwrdsymbg  11476  pfxccatin12lem4  11512  pfxccatin12lem3  11518  pfxccat3  11520  swrdccat  11521  pfxccat3a  11524  cats1fvd  11552  nn0maxcl  12006  modfsummodlemstep  12240  bcxmas  12272  geo2sum2  12298  mertenslemi1  12318  mertensabs  12320  esum  12445  efcvgfsum  12450  ege2le3  12454  eftlcl  12471  reeftlcl  12472  eftlub  12473  effsumlt  12475  eirraplem  12560  dvds1  12636  dvdsext  12638  addmodlteqALT  12642  3dvds  12647  oddnn02np1  12663  oddge22np1  12664  nn0ehalf  12686  nn0o1gt2  12688  nno  12689  nn0o  12690  nn0oddm1d2  12692  modremain  12712  bitsmod  12739  bitsinv1  12745  gcdn0gt0  12771  nn0gcdid0  12774  bezoutlemmain  12791  nn0seqcvgd  12835  algcvgblem  12843  algcvga  12845  eucalgf  12849  prmndvdsfaclt  12951  nn0sqrtelqelz  13002  nonsq  13003  sqrtrirr  13005  crth  13022  odzdvds  13044  coprimeprodsq  13056  coprimeprodsq2  13057  oddprm  13058  pcexp  13108  pcdvdsb  13119  pc11  13130  dvdsprmpweqle  13136  difsqpwdvds  13137  pcfac  13149  prmunb  13161  4sqexercise1  13197  4sqexercise2  13198  4sqlemsdc  13199  modxai  13215  mulgaddcom  13998  mulginvcom  13999  mulgz  14002  mulgdirlem  14005  mulgass  14011  mulgass2  14412  zncrng  15029  znzrh2  15030  zndvds  15033  znf1o  15035  znunit  15043  elply2  15885  elplyd  15891  dvply2g  15916  log2tlbndlog2  16139  birthdaylem1g  16144  birthdaylem3  16146  sgmnncl  16169  0sgmppw  16188  bcmono  16202  bcmax  16203  bcp1ctr  16204  lgsneg1  16242  lgsdirnn0  16264  lgsdinn0  16265  2lgslem1c  16307  2lgslem3a1  16314  2lgslem3b1  16315  2lgslem3c1  16316  2lgsoddprmlem2  16323  wlkv0  16708