Theorem nn0z 9664

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	|- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9662	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NN0cn0 9563   ZZcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  nn0negz  9678  nn0ltp1le  9707  nn0leltp1  9708  nn0ltlem1  9709  nn0sub  9711  nn0n0n1ge2b  9725  nn0lt10b  9726  nn0lt2  9727  nn0le2is012  9728  nn0lem1lt  9729  fnn0ind  9762  nn0pzuz  9987  nn01to3  10017  nn0ge2m1nnALT  10018  fz1n  10448  ige2m1fz  10517  elfz2nn0  10519  fznn0  10520  elfz0add  10527  fzctr  10540  difelfzle  10541  fzoun  10590  fzo1fzo0n0  10595  fzofzim  10600  elincfzoext  10611  elfzodifsumelfzo  10619  zpnn0elfzo  10625  fzossfzop1  10630  ubmelm1fzo  10644  adddivflid  10727  fldivnn0  10730  divfl0  10731  flqmulnn0  10734  fldivnn0le  10738  zmodidfzoimp  10791  modqmuladdnn0  10805  modifeq2int  10823  modfzo0difsn  10832  uzennn  10873  expdivap  11027  faclbnd3  11181  bccmpl  11192  bcnp1n  11197  bcn2  11202  bcp1m1  11203  iswrd  11306  wrdval  11307  wrdexg  11315  ffz0iswrdnn0  11331  wrdnval  11335  wrdred1  11347  wrdred1hash  11348  ccatalpha  11381  swrdfv2  11435  swrdsb0eq  11437  swrdsbslen  11438  swrdspsleq  11439  swrdlsw  11441  pfx0g  11448  fnpfx  11449  pfxclg  11450  pfxnd  11461  pfxwrdsymbg  11462  pfxccatin12lem4  11498  pfxccatin12lem3  11504  pfxccat3  11506  swrdccat  11507  pfxccat3a  11510  cats1fvd  11538  nn0maxcl  11991  modfsummodlemstep  12224  bcxmas  12256  geo2sum2  12282  mertenslemi1  12302  mertensabs  12304  esum  12429  efcvgfsum  12434  ege2le3  12438  eftlcl  12455  reeftlcl  12456  eftlub  12457  effsumlt  12459  eirraplem  12544  dvds1  12620  dvdsext  12622  addmodlteqALT  12626  3dvds  12631  oddnn02np1  12647  oddge22np1  12648  nn0ehalf  12670  nn0o1gt2  12672  nno  12673  nn0o  12674  nn0oddm1d2  12676  modremain  12696  bitsmod  12723  bitsinv1  12729  gcdn0gt0  12755  nn0gcdid0  12758  bezoutlemmain  12775  nn0seqcvgd  12819  algcvgblem  12827  algcvga  12829  eucalgf  12833  prmndvdsfaclt  12934  nn0sqrtelqelz  12984  nonsq  12985  crth  13002  odzdvds  13024  coprimeprodsq  13036  coprimeprodsq2  13037  oddprm  13038  pcexp  13088  pcdvdsb  13099  pc11  13110  dvdsprmpweqle  13116  difsqpwdvds  13117  pcfac  13129  prmunb  13141  4sqexercise1  13177  4sqexercise2  13178  4sqlemsdc  13179  modxai  13195  mulgaddcom  13949  mulginvcom  13950  mulgz  13953  mulgdirlem  13956  mulgass  13962  mulgass2  14363  zncrng  14980  znzrh2  14981  zndvds  14984  znf1o  14986  znunit  14994  elply2  15836  elplyd  15842  dvply2g  15867  log2tlbndlog2  16082  birthdaylem1g  16087  birthdaylem3  16089  sgmnncl  16102  0sgmppw  16107  lgsneg1  16144  lgsdirnn0  16166  lgsdinn0  16167  2lgslem1c  16209  2lgslem3a1  16216  2lgslem3b1  16217  2lgslem3c1  16218  2lgsoddprmlem2  16225  wlkv0  16610