Theorem nn0z 9617

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	|- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9615	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2	1	sseli 3238	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205   NN0cn0 9516   ZZcz 9597

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-inn 9258  df-n0 9517  df-z 9598

This theorem is referenced by:  nn0negz  9631  nn0ltp1le  9660  nn0leltp1  9661  nn0ltlem1  9662  nn0sub  9664  nn0n0n1ge2b  9678  nn0lt10b  9679  nn0lt2  9680  nn0le2is012  9681  nn0lem1lt  9682  fnn0ind  9715  nn0pzuz  9940  nn01to3  9970  nn0ge2m1nnALT  9971  fz1n  10401  ige2m1fz  10469  elfz2nn0  10471  fznn0  10472  elfz0add  10479  fzctr  10492  difelfzle  10493  fzoun  10542  fzo1fzo0n0  10547  fzofzim  10552  elincfzoext  10563  elfzodifsumelfzo  10571  zpnn0elfzo  10577  fzossfzop1  10582  ubmelm1fzo  10596  adddivflid  10679  fldivnn0  10682  divfl0  10683  flqmulnn0  10686  fldivnn0le  10690  zmodidfzoimp  10743  modqmuladdnn0  10757  modifeq2int  10775  modfzo0difsn  10784  uzennn  10825  expdivap  10979  faclbnd3  11133  bccmpl  11144  bcnp1n  11149  bcn2  11154  bcp1m1  11155  iswrd  11254  wrdval  11255  wrdexg  11263  ffz0iswrdnn0  11279  wrdnval  11283  wrdred1  11295  wrdred1hash  11296  ccatalpha  11329  swrdfv2  11383  swrdsb0eq  11385  swrdsbslen  11386  swrdspsleq  11387  swrdlsw  11389  pfx0g  11396  fnpfx  11397  pfxclg  11398  pfxnd  11409  pfxwrdsymbg  11410  pfxccatin12lem4  11446  pfxccatin12lem3  11452  pfxccat3  11454  swrdccat  11455  pfxccat3a  11458  cats1fvd  11486  nn0maxcl  11938  modfsummodlemstep  12171  bcxmas  12203  geo2sum2  12229  mertenslemi1  12249  mertensabs  12251  esum  12376  efcvgfsum  12381  ege2le3  12385  eftlcl  12402  reeftlcl  12403  eftlub  12404  effsumlt  12406  eirraplem  12491  dvds1  12567  dvdsext  12569  addmodlteqALT  12573  3dvds  12578  oddnn02np1  12594  oddge22np1  12595  nn0ehalf  12617  nn0o1gt2  12619  nno  12620  nn0o  12621  nn0oddm1d2  12623  modremain  12643  bitsmod  12670  bitsinv1  12676  gcdn0gt0  12702  nn0gcdid0  12705  bezoutlemmain  12722  nn0seqcvgd  12766  algcvgblem  12774  algcvga  12776  eucalgf  12780  prmndvdsfaclt  12881  nn0sqrtelqelz  12931  nonsq  12932  crth  12949  odzdvds  12971  coprimeprodsq  12983  coprimeprodsq2  12984  oddprm  12985  pcexp  13035  pcdvdsb  13046  pc11  13057  dvdsprmpweqle  13063  difsqpwdvds  13064  pcfac  13076  prmunb  13088  4sqexercise1  13124  4sqexercise2  13125  4sqlemsdc  13126  modxai  13142  mulgaddcom  13902  mulginvcom  13903  mulgz  13906  mulgdirlem  13909  mulgass  13915  mulgass2  14304  zncrng  14922  znzrh2  14923  zndvds  14926  znf1o  14928  znunit  14936  elply2  15729  elplyd  15735  dvply2g  15760  sgmnncl  15985  0sgmppw  15990  lgsneg1  16027  lgsdirnn0  16049  lgsdinn0  16050  2lgslem1c  16092  2lgslem3a1  16099  2lgslem3b1  16100  2lgslem3c1  16101  2lgsoddprmlem2  16108  wlkv0  16493