Theorem nn0z 9669

Description: A nonnegative integer is an integer. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0z	|- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

Proof of Theorem nn0z

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssz 9667	. 2 |- NN0 C_ ZZ
2	1	sseli 3244	1 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   NN0cn0 9568   ZZcz 9649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-n0 9569  df-z 9650

This theorem is used by:  nn0negz  9683  nn0ltp1le  9712  nn0leltp1  9713  nn0ltlem1  9714  nn0sub  9716  nn0n0n1ge2b  9730  nn0lt10b  9731  nn0lt2  9732  nn0le2is012  9733  nn0lem1lt  9734  fnn0ind  9767  nn0pzuz  9997  nn01to3  10027  nn0ge2m1nnALT  10028  fz1n  10459  ige2m1fz  10528  elfz2nn0  10530  fznn0  10531  elfz0add  10538  fzctr  10551  difelfzle  10552  fzoun  10601  fzo1fzo0n0  10606  fzofzim  10611  elincfzoext  10622  elfzodifsumelfzo  10630  zpnn0elfzo  10636  fzossfzop1  10641  ubmelm1fzo  10655  adddivflid  10742  fldivnn0  10745  divfl0  10746  flqmulnn0  10749  fldivnn0le  10753  zmodidfzoimp  10806  modqmuladdnn0  10820  modifeq2int  10838  modfzo0difsn  10847  uzennn  10888  expdivap  11042  nn0sqdc  11162  faclbnd3  11197  bccmpl  11208  bcnp1n  11213  bcn2  11218  bcp1m1  11219  iswrd  11322  wrdval  11323  wrdexg  11331  ffz0iswrdnn0  11347  wrdnval  11351  wrdred1  11363  wrdred1hash  11364  ccatalpha  11397  swrdfv2  11451  swrdsb0eq  11453  swrdsbslen  11454  swrdspsleq  11455  swrdlsw  11457  pfx0g  11464  fnpfx  11465  pfxclg  11466  pfxnd  11477  pfxwrdsymbg  11478  pfxccatin12lem4  11514  pfxccatin12lem3  11520  pfxccat3  11522  swrdccat  11523  pfxccat3a  11526  cats1fvd  11554  nn0maxcl  12008  modfsummodlemstep  12243  bcxmas  12275  geo2sum2  12301  mertenslemi1  12321  mertensabs  12323  esum  12448  efcvgfsum  12453  ege2le3  12457  eftlcl  12474  reeftlcl  12475  eftlub  12476  effsumlt  12478  eirraplem  12563  dvds1  12639  dvdsext  12641  addmodlteqALT  12645  3dvds  12650  oddnn02np1  12666  oddge22np1  12667  nn0ehalf  12689  nn0o1gt2  12691  nno  12692  nn0o  12693  nn0oddm1d2  12695  modremain  12715  bitsmod  12742  bitsinv1  12748  gcdn0gt0  12774  nn0gcdid0  12777  bezoutlemmain  12794  nn0seqcvgd  12838  algcvgblem  12846  algcvga  12848  eucalgf  12852  prmndvdsfaclt  12954  nn0sqrtelqelz  13005  nonsq  13006  sqrtrirr  13008  crth  13025  odzdvds  13047  coprimeprodsq  13059  coprimeprodsq2  13060  oddprm  13061  pcexp  13111  pcdvdsb  13122  pc11  13133  dvdsprmpweqle  13139  difsqpwdvds  13140  pcfac  13152  prmunb  13164  4sqexercise1  13200  4sqexercise2  13201  4sqlemsdc  13202  modxai  13218  mulgaddcom  14002  mulginvcom  14003  mulgz  14006  mulgdirlem  14009  mulgass  14015  mulgass2  14447  zncrng  15064  znzrh2  15065  zndvds  15068  znf1o  15070  znunit  15078  elply2  15927  elplyd  15933  dvply2g  15958  log2tlbndlog2  16181  birthdaylem1g  16186  birthdaylem3  16188  sgmnncl  16218  0sgmppw  16248  bcmono  16265  bcmax  16266  bcp1ctr  16267  lgsneg1  16310  lgsdirnn0  16332  lgsdinn0  16333  2lgslem1c  16375  2lgslem3a1  16382  2lgslem3b1  16383  2lgslem3c1  16384  2lgsoddprmlem2  16391  wlkv0  16776