ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz2mulcl Unicode version

Theorem uz2mulcl 9554
Description: Closure of multiplication of integers greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.)
Assertion
Ref Expression
uz2mulcl  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )

Proof of Theorem uz2mulcl
StepHypRef Expression
1 eluzelz 9483 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  M  e.  ZZ )
2 eluzelz 9483 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  ZZ )
3 zmulcl 9252 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  x.  N
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2an 287 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  ZZ )
5 eluz2b1 9547 . . . 4  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  1  < 
M ) )
6 zre 9203 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
76anim1i 338 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  1  <  M )  -> 
( M  e.  RR  /\  1  <  M ) )
85, 7sylbi 120 . . 3  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( M  e.  RR  /\  1  < 
M ) )
9 eluz2b1 9547 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  1  < 
N ) )
10 zre 9203 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
1110anim1i 338 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  <  N )  -> 
( N  e.  RR  /\  1  <  N ) )
129, 11sylbi 120 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( N  e.  RR  /\  1  < 
N ) )
13 mulgt1 8766 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  /\  ( 1  < 
M  /\  1  <  N ) )  ->  1  <  ( M  x.  N
) )
1413an4s 583 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  RR  /\  1  <  M )  /\  ( N  e.  RR  /\  1  < 
N ) )  -> 
1  <  ( M  x.  N ) )
158, 12, 14syl2an 287 . 2  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  1  <  ( M  x.  N ) )
16 eluz2b1 9547 . 2  |-  ( ( M  x.  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( M  x.  N )  e.  ZZ  /\  1  < 
( M  x.  N
) ) )
174, 15, 16sylanbrc 415 1  |-  ( ( M  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( M  x.  N )  e.  (
ZZ>= `  2 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 2141   class class class wbr 3987   ` cfv 5196  (class class class)co 5850   RRcr 7760   1c1 7762    x. cmul 7766    < clt 7941   2c2 8916   ZZcz 9199   ZZ>=cuz 9474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-2 8924  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator