ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  indstr2 GIF version

Theorem indstr2 9539
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr2.1 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
indstr2.2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
indstr2.3 𝜒
indstr2.4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
Assertion
Ref Expression
indstr2 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2
StepHypRef Expression
1 indstr2.2 . 2 (𝑥 = 𝑦 → (𝜑𝜓))
2 elnn1uz2 9537 . . 3 (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)))
3 indstr2.3 . . . . 5 𝜒
4 nnnlt1 8875 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
54adantl 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6 breq2 3981 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
76adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < 1))
85, 7mtbird 663 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
98pm2.21d 609 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥𝜓))
109ralrimiva 2537 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓))
11 pm5.5 241 . . . . . . 7 (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
1210, 11syl 14 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13 indstr2.1 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝜑𝜒))
1412, 13bitrd 187 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
153, 14mpbiri 167 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
16 indstr2.4 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℤ‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
1715, 16jaoi 706 . . 3 ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
182, 17sylbi 120 . 2 (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝜓) → 𝜑))
191, 18indstr 9523 1 (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698   = wceq 1342  wcel 2135  wral 2442   class class class wbr 3977  cfv 5183  1c1 7746   < clt 7925  cn 8849  2c2 8900  cuz 9458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4095  ax-pow 4148  ax-pr 4182  ax-un 4406  ax-setind 4509  ax-cnex 7836  ax-resscn 7837  ax-1cn 7838  ax-1re 7839  ax-icn 7840  ax-addcl 7841  ax-addrcl 7842  ax-mulcl 7843  ax-addcom 7845  ax-addass 7847  ax-distr 7849  ax-i2m1 7850  ax-0lt1 7851  ax-0id 7853  ax-rnegex 7854  ax-cnre 7856  ax-pre-ltirr 7857  ax-pre-ltwlin 7858  ax-pre-lttrn 7859  ax-pre-ltadd 7861
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2724  df-sbc 2948  df-dif 3114  df-un 3116  df-in 3118  df-ss 3125  df-pw 3556  df-sn 3577  df-pr 3578  df-op 3580  df-uni 3785  df-int 3820  df-br 3978  df-opab 4039  df-mpt 4040  df-id 4266  df-xp 4605  df-rel 4606  df-cnv 4607  df-co 4608  df-dm 4609  df-rn 4610  df-res 4611  df-ima 4612  df-iota 5148  df-fun 5185  df-fn 5186  df-f 5187  df-fv 5191  df-riota 5793  df-ov 5840  df-oprab 5841  df-mpo 5842  df-pnf 7927  df-mnf 7928  df-xr 7929  df-ltxr 7930  df-le 7931  df-sub 8063  df-neg 8064  df-inn 8850  df-2 8908  df-n0 9107  df-z 9184  df-uz 9459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator