Theorem indstr2 9988

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). The first two hypotheses give us the substitution instances we need; the last two are the basis and the induction step. (Contributed by Paul Chapman, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
indstr2.1	⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
indstr2.2	⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
indstr2.3	⊢ 𝜒
indstr2.4	⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
indstr2	⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑦   𝜓,𝑥   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑦)   𝜒(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem indstr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indstr2.2	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		elnn1uz2 9986	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ ↔ (𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)))
3		indstr2.3	. . . . 5 ⊢ 𝜒
4		nnnlt1 9309	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑦 < 1)
5	4	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 1)
6		breq2 4129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < 1))
8	5, 7	mtbird 684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ¬ 𝑦 < 𝑥)
9	8	pm2.21d 628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
10	9	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓))
11		pm5.5 242	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
12	10, 11	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜑))
13		indstr2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝜑 ↔ 𝜒))
14	12, 13	bitrd 188	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑) ↔ 𝜒))
15	3, 14	mpbiri 168	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
16		indstr2.4	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
17	15, 16	jaoi 728	. . 3 ⊢ ((𝑥 = 1 ∨ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
18	2, 17	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥 → 𝜓) → 𝜑))
19	1, 18	indstr 9972	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝜑)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  1c1 8170   < clt 8350  ℕcn 9283  2c2 9334  ℤ_≥cuz 9900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901

This theorem is referenced by: (None)