Theorem elnn1uz2 9566

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	|- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 706	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. NN ) )
2		nnz 9231	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1z 9238	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		zdceq 9287	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
5	3, 4	mpan2 423	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 1 )
6		df-dc 830	. . . . . . 7 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
8		df-ne 2341	. . . . . . 7 |- ( N =/= 1 <-> -. N = 1 )
9	8	orbi2i 757	. . . . . 6 |- ( ( N = 1 \/ N =/= 1 ) <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
10	7, 9	sylibr 133	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
11	2, 10	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
12		ordi 811	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) <-> ( ( N = 1 \/ N e. NN ) /\ ( N = 1 \/ N =/= 1 ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 415	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
14		eluz2b3 9563	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
15	14	orbi2i 757	. . 3 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) <-> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
16	13, 15	sylibr 133	. 2 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
17		1nn 8889	. . . 4 |- 1 e. NN
18		eleq1 2233	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( N e. NN <-> 1 e. NN ) )
19	17, 18	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 1 -> N e. NN )
20		eluz2nn 9525	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
21	19, 20	jaoi 711	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN )
22	16, 21	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   ` cfv 5198   1c1 7775   NNcn 8878   2c2 8929   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488

This theorem is referenced by:  indstr2  9568  prmdc  12084  dfphi2  12174  pc2dvds  12283  oddprmdvds  12306