ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn1uz2 Unicode version

Theorem elnn1uz2 9094
Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
elnn1uz2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )

Proof of Theorem elnn1uz2
StepHypRef Expression
1 olc 667 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  NN )
)
2 nnz 8769 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
3 1z 8776 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 zdceq 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  1 )
53, 4mpan2 416 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  1
)
6 df-dc 781 . . . . . . 7  |-  (DECID  N  =  1  <->  ( N  =  1  \/  -.  N  =  1 ) )
75, 6sylib 120 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =  1  \/  -.  N  =  1
) )
8 df-ne 2256 . . . . . . 7  |-  ( N  =/=  1  <->  -.  N  =  1 )
98orbi2i 714 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  1  \/  N  =/=  1 )  <-> 
( N  =  1  \/  -.  N  =  1 ) )
107, 9sylibr 132 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
112, 10syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
12 ordi 765 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  \/  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )  <->  ( ( N  =  1  \/  N  e.  NN )  /\  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) ) )
131, 11, 12sylanbrc 408 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) ) )
14 eluz2b3 9091 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
1514orbi2i 714 . . 3  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  <->  ( N  =  1  \/  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) ) )
1613, 15sylibr 132 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
17 1nn 8433 . . . 4  |-  1  e.  NN
18 eleq1 2150 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
1917, 18mpbiri 166 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  N  e.  NN )
20 eluz2nn 9057 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
2119, 20jaoi 671 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  N  e.  NN )
2216, 21impbii 124 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664  DECID wdc 780    = wceq 1289    e. wcel 1438    =/= wne 2255   ` cfv 5015   1c1 7351   NNcn 8422   2c2 8473   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-2 8481  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020
This theorem is referenced by:  indstr2  9096  dfphi2  11474
  Copyright terms: Public domain W3C validator