Theorem elnn1uz2 9545

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	|- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 701	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. NN ) )
2		nnz 9210	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1z 9217	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		zdceq 9266	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
5	3, 4	mpan2 422	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 1 )
6		df-dc 825	. . . . . . 7 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
7	5, 6	sylib 121	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
8		df-ne 2337	. . . . . . 7 |- ( N =/= 1 <-> -. N = 1 )
9	8	orbi2i 752	. . . . . 6 |- ( ( N = 1 \/ N =/= 1 ) <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
10	7, 9	sylibr 133	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
11	2, 10	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
12		ordi 806	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) <-> ( ( N = 1 \/ N e. NN ) /\ ( N = 1 \/ N =/= 1 ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 414	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
14		eluz2b3 9542	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
15	14	orbi2i 752	. . 3 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) <-> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
16	13, 15	sylibr 133	. 2 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
17		1nn 8868	. . . 4 |- 1 e. NN
18		eleq1 2229	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( N e. NN <-> 1 e. NN ) )
19	17, 18	mpbiri 167	. . 3 |- ( N = 1 -> N e. NN )
20		eluz2nn 9504	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
21	19, 20	jaoi 706	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN )
22	16, 21	impbii 125	1 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698  DECID wdc 824   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   ` cfv 5188   1c1 7754   NNcn 8857   2c2 8908   ZZcz 9191   ZZ>=cuz 9466

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-2 8916  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by:  indstr2  9547  prmdc  12062  dfphi2  12152  pc2dvds  12261  oddprmdvds  12284