Theorem elnn1uz2 9609

Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Assertion

Ref	Expression
elnn1uz2	|- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Proof of Theorem elnn1uz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 711	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. NN ) )
2		nnz 9274	. . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. ZZ )
3		1z 9281	. . . . . . . 8 |- 1 e. ZZ
4		zdceq 9330	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> DECID N = 1 )
5	3, 4	mpan2 425	. . . . . . 7 |- ( N e. ZZ -> DECID N = 1 )
6		df-dc 835	. . . . . . 7 |- (DECID N = 1 <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
7	5, 6	sylib 122	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
8		df-ne 2348	. . . . . . 7 |- ( N =/= 1 <-> -. N = 1 )
9	8	orbi2i 762	. . . . . 6 |- ( ( N = 1 \/ N =/= 1 ) <-> ( N = 1 \/ -. N = 1 ) )
10	7, 9	sylibr 134	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
11	2, 10	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N =/= 1 ) )
12		ordi 816	. . . 4 |- ( ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) <-> ( ( N = 1 \/ N e. NN ) /\ ( N = 1 \/ N =/= 1 ) ) )
13	1, 11, 12	sylanbrc 417	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
14		eluz2b3 9606	. . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( N e. NN /\ N =/= 1 ) )
15	14	orbi2i 762	. . 3 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) <-> ( N = 1 \/ ( N e. NN /\ N =/= 1 ) ) )
16	13, 15	sylibr 134	. 2 |- ( N e. NN -> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )
17		1nn 8932	. . . 4 |- 1 e. NN
18		eleq1 2240	. . . 4 |- ( N = 1 -> ( N e. NN <-> 1 e. NN ) )
19	17, 18	mpbiri 168	. . 3 |- ( N = 1 -> N e. NN )
20		eluz2nn 9568	. . 3 |- ( N e. ( ZZ>= ` 2 ) -> N e. NN )
21	19, 20	jaoi 716	. 2 |- ( ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) -> N e. NN )
22	16, 21	impbii 126	1 |- ( N e. NN <-> ( N = 1 \/ N e. ( ZZ>= ` 2 ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   ` cfv 5218   1c1 7814   NNcn 8921   2c2 8972   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  indstr2  9611  prmdc  12132  dfphi2  12222  pc2dvds  12331  oddprmdvds  12354