ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn1uz2 Unicode version

Theorem elnn1uz2 9605
Description: A positive integer is either 1 or greater than or equal to 2. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
elnn1uz2  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )

Proof of Theorem elnn1uz2
StepHypRef Expression
1 olc 711 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  NN )
)
2 nnz 9270 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
3 1z 9277 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
4 zdceq 9326 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  -> DECID  N  =  1 )
53, 4mpan2 425 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  -> DECID  N  =  1
)
6 df-dc 835 . . . . . . 7  |-  (DECID  N  =  1  <->  ( N  =  1  \/  -.  N  =  1 ) )
75, 6sylib 122 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =  1  \/  -.  N  =  1
) )
8 df-ne 2348 . . . . . . 7  |-  ( N  =/=  1  <->  -.  N  =  1 )
98orbi2i 762 . . . . . 6  |-  ( ( N  =  1  \/  N  =/=  1 )  <-> 
( N  =  1  \/  -.  N  =  1 ) )
107, 9sylibr 134 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
112, 10syl 14 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) )
12 ordi 816 . . . 4  |-  ( ( N  =  1  \/  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )  <->  ( ( N  =  1  \/  N  e.  NN )  /\  ( N  =  1  \/  N  =/=  1 ) ) )
131, 11, 12sylanbrc 417 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) ) )
14 eluz2b3 9602 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) )
1514orbi2i 762 . . 3  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  <->  ( N  =  1  \/  ( N  e.  NN  /\  N  =/=  1 ) ) )
1613, 15sylibr 134 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) ) )
17 1nn 8928 . . . 4  |-  1  e.  NN
18 eleq1 2240 . . . 4  |-  ( N  =  1  ->  ( N  e.  NN  <->  1  e.  NN ) )
1917, 18mpbiri 168 . . 3  |-  ( N  =  1  ->  N  e.  NN )
20 eluz2nn 9564 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  N  e.  NN )
2119, 20jaoi 716 . 2  |-  ( ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  N  e.  NN )
2216, 21impbii 126 1  |-  ( N  e.  NN  <->  ( N  =  1  \/  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 708  DECID wdc 834    = wceq 1353    e. wcel 2148    =/= wne 2347   ` cfv 5216   1c1 7811   NNcn 8917   2c2 8968   ZZcz 9251   ZZ>=cuz 9526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527
This theorem is referenced by:  indstr2  9607  prmdc  12124  dfphi2  12214  pc2dvds  12323  oddprmdvds  12346
  Copyright terms: Public domain W3C validator